高三数学第一轮复习章节测试2-4 北师大版

用心 爱心 专心 1 第第 2 2 章章 第第 4 4 节节 一 选择题 1 函数 y cosx a 2 1 当 cosx a 时有最小值 当 cosx 1 时有最大值 则 a 的取 值范围是 A 1 0 B 1 1 C 0 D 0 1 答案 D 解析 函数 y cosx a 2 1 当 cosx a 时有最小值 1 a 1 当 cosx 1 时有最大值 a 0 0 a 1 2 2011 长沙调研 已知函数 f x 2ax2 ax 1 a 0 若 x1f x2 C f x1 f x2 D 与 a 的值有关 答案 C 解析 根据函数的图像开口向下 对称轴为 x 又依题意得 x10 且 x1 与 x2 1 4 关于 y 轴对称 则 x1 到 x 的距离大于 x2 到 x 的距离 即 x1 x2 故 f x1 0 二次函数 f x ax2 bx c 的图像可能是 答案 D 解析 若 a 0 则只能是 A 或 B 选项 A 中 0 b0 与 A 图不符 B 中 b 2a 0 b 0 c0 则抛物线开口向上 只能是 C 或 D 选项 当 b 2a b 0 时 有 c 0 与 C D 图不符 当 b 0 时 有 c0 f 0 c0 f p 0 B f p 1 0 知 f 1 0 又 f p 0 则必有 1 p0 f p 1 0 6 已知函数 f x x2 4x a x 0 1 若 f x 有最小值 2 则 f x 的最大值为 A 1 B 0 C 1 D 2 答案 C 解析 f x x 2 2 4 a 由 x 0 1 可知当 x 0 时 f x 取得最小值 2 即 a 2 所以 f x x 2 2 2 当 x 1 时 f x 取得最大值 1 7 北师大天津附中模拟 已知函数 f x 满足 f x 4 f x 又 f 3 x f 3 x 当 1 x 5 时 f x x2 bx 2 若 m f ln n f ln8 p f 则 m n p 的大小关 5 3 b 3 系是 A n p m B n m p C p m n D p n m 答案 A 解析 f 3 x f 3 x f 1 f 5 1 b 2 25 5b 2 4b 24 b 6 0 ln 1 4 4 ln 5 5 3 5 3 f ln f 4 ln f f f 2 5 3 5 3 b 3 6 3 2 lne2 ln8 lne3 3 f ln8 f f ln 即 n p0 a a 4 b 2a 1 2 0 a 4 则 a 的最小值为 5 故选 D 二 填空题 9 若函数 y x2 a 2 x 3 x a b 的图像关于直线 x 1 对称 则 b 答案 6 解析 二次函数 y x2 a 2 x 3 的图像关于直线 x 1 对称 说明二次函数的对称轴 为 1 即 1 所以 a 4 而 f x 是定义在 a b 上的 即 a b 关于 x 1 也是对称 a 2 2 的 所以 1 b 6 a b 2 10 2011 广东深圳一模 已知定义在区间 0 3 上的函数 f x kx2 2kx 的最大值为 3 那么实数 k 的取值集合为 答案 1 3 解析 f x kx2 2kx k x 1 2 k 1 当 k 0 时 二次函数开口向上 当 x 3 时 f x 有最大值 f 3 k 32 2k 3 3k 3 k 1 2 当 k0 恒成立 m 0 4 m 0 4 三 解答题 12 已知二次函数 f x 满足 f 2 1 f 1 1 且 f x 的最大值是 8 试确定此二 次函数 分析 由题目条件知二次函数过 2 1 1 1 两点 且知其最大值 所以可应用 一般式 顶点式或两根式解题 解析 方法 1 利用二次函数一般式 设 f x ax2 bx c a 0 由题意得Error Error 解得Error Error 所求二次函数为 y 4x2 4x 7 方法 2 利用二次函数的顶点式 设 f x a x m 2 n a 0 f 2 f 1 抛物线对称轴为 x m 2 1 2 1 2 1 2 又根据题意函数有最大值 y 8 用心 爱心 专心 4 y f x a2 8 x 1 2 f 2 1 a2 8 1 解得 a 4 2 1 2 f x 42 8 4x2 4x 7 x 1 2 方法 3 利用二次函数的两根式 由已知 f x 1 0 的两根为 x1 2 x2 1 故可设 f x 1 a x 2 x 1 a 0 即 f x ax2 ax 2a 1 又函数有最大值 ymax 8 即 8 4a 2a 1 a2 4a 解得 a 4 或 a 0 舍去 所求函数解析式为 f x 4x2 4x 7 13 已知函数 f x x2 2ax 1 a 在 0 x 1 时有最大值 2 求 a 的值 分析 作出函数图像 因对称轴 x a 位置不定 故分类讨论对称轴位置以确定 f x 在 0 1 上的单调情况 解析 当对称轴 x a 0 时 如图 1 所示 当 x 0 时 y 有最大值 ymax f 0 1 a 1 a 2 即 a 1 且满足 a1 如图 3 所示 用心 爱心 专心 5 图 3 由图可知 当 x 1 时 y 有最大值 ymax f 1 2a a 2 a 2 且满足 a 1 a 2 综上可知 a 的值为 1 或 2 14 创新题 已知二次函数 f x 的二次项系数为 a 且不等式 f x 2x 的解集为 1 3 1 若方程 f x 6a 0 有两个相等的根 求 f x 的解析式 2 若 f x 的最大值为正数 求实数 a 的取值范围 解析 1 f x 2x 0 的解集为 1 3 f x 2x a x 1 x 3 且 a 0 即 f x a x 1 x 3 2x ax2 2 4a x 3a 由 f x 6a 0 得 ax2 2 4a 9a 0 方程 有两个相等的根 2 4a 2 4a 9a 0 即 5a2 4a 1 0 解得 a 1 或 a 1 5 由于 a 0 故舍去 a 1 将 a 代入 1 5 得 f x x2 x 1 5 6 5 3 5 2 f x ax2 2 1 2a x 3a a2 x 1 2a a a2 4a 1 a 由 a0 a2 4a 1 a 由Error Error 解得 a 2 或 2 a0 f 1 0 求证 1 a 0 且 2 0 f 1 0 所以 c 0 3a 2b c 0 由条件 a b c 0 消去 b 得 a c 0 由条件 a b c 0 消去 c 得 a b0 故 2 1 b a 2 抛物线 f x 3ax2 2bx c 的顶点坐标