高考数学一轮复习 函数及性质

1 高考数学一轮复习 高考数学一轮复习 函数及性质函数及性质 一 复习目标 1 理解函数单调性的概念 理解函数的周期性 2 会利用函数的性质描绘函数的图象 讨论函数 方程 不等式相关问题 3 体会数形结合及函数与方程的数学思想方法 二 课前热身 1 函数 y 2 xx ee 的反函数 A 是奇函数 它在 0 上是减函数 B 是偶函数 它在 0 上是减函数 C 是奇函数 它在 0 上是增函数 D 是偶函数 它在 0 上是增函数 2 若定义在 R 上的偶函数 f x 在 0 上是减函数 且 3 1 f 2 那么不等式 2 log 8 1 xf的解集为 A 0 5 1 2 B 0 0 5 2 C 0 0 5 D 2 3 已知函数 f x 是定义在 R 上的奇函数 且对一切 xR 总有 f x 4 f x 若 f 63 2 则 f 5 与 f 7 的大小关系是 4 已知 f x 8 2x x2 如果 g x f 2 x2 那么 g x A 在区间 2 0 上是增函数 B 在区间 0 2 上是增函数 C 在区间 1 0 上是减函数 D 在区间 0 1 上是减函数 三 例题探究 例 1 设函数 12 1 lg xxx nn a f x n 其中 a 是实数 n 是自然数 且 n2 若 f x 当 x 1 时有意义 求 a 的取值范围 例 2 设函数 2 log 1 f xx 当点 x y 在 y f x 的反函数图象上运动时 对应 的点 3 2 yx 在 y g x 的图象上 2 1 求 g x的表达式 2 当 1 0g xfx 时 求 1 u xg xfx 的最小值 例 3 定义在 R 上的单调函数 f x 满足 2 3 log 3f 且对任意 x y R 都有 f x y f x f y 1 求证 f x 为奇函数 2 若 f k 3 x f 3 x 9 x 2 0 对任意 x R 恒成立 求实数 k 的取值范围 四 方法点拨 1 函数不等式的求解要注意结合函数的单调性 特别要重视定义域的作用 2 不等式恒成立问题要注意等价转化 3 冲刺强化训练 2 1 函数 xfy 与 x xg 2 1 的图象关于直线xy 对称 则 4 2 xf 的单调递增区 间是 0 A 0 B 2 0 C 0 2 D 2 方程3log3 xx的解所在区间是 A 0 2 B 1 2 C 2 3 D 3 4 3 设函数 x x xf 1 21 的反函数为 xh 又函数 1 xhxg的图象关于直线 xy 对称 那么 2 g的值为 A 1 B 2 C 5 4 D 5 2 4 设偶函数 xf是定义在实数集上的周期为 2 的周期函数 当 3 2 x时 xxf 则当 0 2 x时 xf的解析式是 xxfA xxfB 2 13 xxfC 12 xxfD 5 函数 y 14 log 2 2 1 xx的单调递增区间是 6 设定义在 R 上的函数 xf的最小正周期为 2 且在区间 5 3内单调递减 则 4 2log 2 1 fff 的大小关系是 7 已知函数 2 1 12 aax ax x xf 1 求函数 xf的反函数 2 如果 1 xfxf 求 a 的值 并画出 1 xfy 的图象 8 给出函数 1 4loglog 2 xxxf x 1 对任意的实数1 x都有axf 求实数 a 的范围 2 试判断 xf在 4上的增减性 并给予证明 4 9 设函数 1 2 2 log 0 2 xb f xb xb 1 求函数 f x的定义域 2 判断函数 f x的奇偶性 并说明理由 3 指出 f x在区间 b 上的单调性 并予以证明 5 参考答案参考答案 一 课前热身 1 C 2 B 3 7 5 ff 4 C 二 例题探究 例 1 分析 使函数 f x lg n ann xxx 1 21 有意义的x的集合满足 0 1 21 ann xxx 即 121 xg n n nn a xxx 因 xf的定义域是 1 故对于一切 1 x 式恒成立 由函数 2 1 1 ni n i xh x 在 1 x上是减函数知函数 xg在 1 x 上是增函数 故 xg在 1 x上的最大值是 2 1 121 1 n n n nn g 故所求范围是 2 1 n 说明 利用函数的单调性求函数的值域或最值是一种重要的方法 例 2 分析 1 易求12 1 x xf 14 3 1 x xg 2 由 g x f 1 x 0 得 2 12 x 12 1 2 3 2 3 1 2 x xu 故 x 2 12 1 2 1 2 3 xu即 12 1 2 3 log min2 xux 说明 二次函数 nmxcbxaxxf 2 的最值不一定在顶点取得 当 nm a b 2 时 xf的最值为 nfmf 例 3 分析 欲证 f x 为奇函数即要证对任意 x 都有 f x f x 成立 在式子 f x y f x f y 中 令 y x 可得 f 0 f x f x 于是又提出新的问题 求 f 0 的值 令 x y 0 可得 f 0 f 0 f 0 即 f 0 0 f x 是奇函数得到证明 1 证明 f x y f x f y x y R 令 x y 0 代入 式 得 f 0 0 f 0 f 0 即 f 0 0 令 y x 代入 式 得 f x x f x f x 又 f 0 0 则有 0 f x f x 即 f x f x 对任意 x R 成立 所以 f x 是奇函数 2 解 f 3 log23 0 即 f 3 f 0 又 f x 在 R 上是单调函数 所以 f x 在 R 上是增函数 又由 1 f x 是奇函数 f k 3 x f 3 x 9 x 2 f 3 x 9 x 2 k 3 x 3 x 9 x 2 3 2x 1 k 3 x 2 0 对任意 x R 成立 6 令 t 3 x 0 问题等价于 t 2 1 k t 2 0 对任意 t 0 恒成立 R 恒成立 说明 问题 2 的上述解法是根据函数的性质 f x 是奇函数且在 x R 上是增函数 把问题转化成二次函数 f t t 2 1 k t 2 对于任意 t 0 恒成立 对二次函数 f t 进行研 究求解 本题还有更简捷的解法 分离系数由 k 3 x 3 x 9 x 2 得 上述解法是将 k 分离出来 然后用平均值定理求解 简捷 新颖 冲刺强化训练 2 1 C 2 C 3 B 4 C 5 32 6 4 2log 2 1 fff 7 1 反函数 2 2 1 x x ax y 2 2 a 图象略 8 1 22 a 2 增函数 9 证明 I 1 1 1 1 0 1 1 1 1 x x x x x xf 故 f x 在 0 1 上是减函数 而在 1 上是增函数 由 0 a b 且 f a f b 得 0 a 1 b 和abbaab baba 222 11 1 11 1 即 故1 1 abab即 II 0 x 1 时 1 0 1 1 1 1 1 0 2 0 0 xxf xx xfy x 曲线