高中数学 第二章《解三角形》之正弦定理教案 北师大版必修5

用心 爱心 专心 第二章第二章 解三角形解三角形 全部教案北师大版高中数学必修全部教案北师大版高中数学必修 5 5 第一课时第一课时 2 1 1 2 1 1 正弦定理正弦定理 一 教学目标一 教学目标 1 1 知识与技能 知识与技能 通过对任意三角形边长和角度关系的探索 掌握正弦定理的内容及其证明 方法 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题 2 2 过程与方法 过程与方法 让学生从已有的几何知识出发 共同探究在任意三角形中 边与其对角的 关系 引导学生通过观察 推导 比较 由特殊到一般归纳出正弦定理 并进行定理基本 应用的实践操作 3 3 情感态度与价值观 情感态度与价值观 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力 培养学 生合情推理探索数学规律的数学思思想能力 通过三角形函数 正弦定理 向量的数量积 等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一 二 教学重点二 教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用 教学难点 教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数 三 教学方法 三 教学方法 探析归纳 讲练结合 四 教学过程四 教学过程 课题导入课题导入 如图 1 1 1 固定ABC 的边 CB 及B 使边 AC 绕着顶点 C 转动 思考 C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系 A 显然 边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大 能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来 C B 探析新课探析新课 探索研究探索研究 图 1 1 1 在初中 我们已学过如何解直角三角形 下面就首先来探讨直角三角形中 角与边的 等式关系 如图 1 1 2 在 RtABC 中 设 BC a AC b AB c 根据锐角三角函数中正弦函 数的定义 有 又 Asi n a A c si n b B c si n1 c C c 则 b c si nsi nsi n abc c ABC 从而在直角三角形 ABC 中 C a B si nsi nsi n abc ABC 图 1 1 2 用心 爱心 专心 思考 那么对于任意的三角形 以上关系式是否仍然成立 由学生讨论 分析 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况 如图 1 1 3 当ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据任意角三角函数 的定义 有 CD 则 Csi nsi naBbA si nsi n ab AB 同理可得 b a si nsi n cb CB 从而 A c B si nsi n ab AB si n c C 图 1 1 3 思考 是否可以用其它方法证明这一等式 由于涉及边长问题 从而可以考虑用向量来研 究这个问题 证法二 过点 A 作 CjAC 由向量的加法可得 ABACC B 则 A B jABjACC B jABjACjC B j 即同理 过点 C 00 cos 900cos 90 j ABAj CBCsinsin cA aC sinsin ac AC 作 可得 从而 jBC sinsin bc BCsi nsi n ab AB si n c C 类似可推出 当ABC 是钝角三角形时 以上关系式仍然成立 由学生课后自己推导 从上面的研探过程 可得以下定理 正弦定理 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 即 si nsi n ab AB si n c C 理解定理理解定理 1 正弦定理说明同一三角形中 边与其对角的正弦成正比 且比例系数为 同一正数 即存在正数 k 使 2 si nakA si nbkB si nckC si nsi n ab AB 等价于 从而知正弦定理的基本作 si n c C si nsi n ab AB si nsi n cb CB si n a A si n c C 用为 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边 如 已知三角形的 si n si n bA a B 用心 爱心 专心 任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值 如 一般地 已知三si nsi n a AB b 角形的某些边和角 求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形 例题分析例题分析 例 1 在中 已知 cm 解三角形 ABC 0 32 0 A 0 81 8 B42 9 a 解 根据三角形内角和定理 0 180 CA B 000 180 32 081 8 0 66 2 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin81 8 80 1 sin sin32 0 aB bcm A 根据正弦定理 0 0 sin42 9sin66 2 74 1 sin sin32 0 aC ccm A 评述 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 例 2 在中 已知cm cm 解三角形 角度精确到 边 ABC20 a28 b 0 40 A 0 1 长精确到 1cm 解 根据正弦定理 0 sin28sin40 sin0 8999 20 bA B a 因为 所以 或 0 0B 0 180 0 64 B 0 116 B 当时 0 64 B 00000 180 180 4064 76 CA B 0 0 sin20sin76 30 sin sin40 aC ccm A 当时 0 116 B 00000 180 180 40116 24 CA B 0 0 sin20sin24 13 sin sin40 aC ccm A 评述 应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时 可能有两解的情形 课堂练习 课堂练习 课本本节练习 1 和练习 2 补充练习补充练习 已知ABC 中 求 答案 1 2 3 si n si n si n1 2 3ABC a b c 课时小结课时小结 由学生归纳总结 1 定理的表示形式 si n si n ab AB si n c C 或 2 0 si nsi nsi n ab