(教师版)3[1].3几何概型

3 33 3 几何概型几何概型 一 基本内容 一 基本内容 1 几何概型 如果第个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概率模型 简称几何概型 2 2 几何概型的特点 试验的结果是无限的 1 每个结果出现的可能性相等 2 3 几何概型的概率公式 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A AP 二 例题分析 二 例题分析 题型一题型一 区域型概率问题区域型概率问题 例例 1 1 将一颗骰子先后抛掷 2 次 观察向上的点数 则以第一次向上点数为横坐标 第x 二次向上的点数为纵坐标的点在圆的内部的概率 y yx27 22 yx 解题思路解题思路 用几何概型求解 转化为圆内找出圆内满足条件的整点个数 解析解析 基本事件总数为 36 点 在圆的内部记为事件 则包含 yx27 22 yxDD 17 个事件 所以 36 17 DP 规律总结规律总结 对于几何概型 关键是要构造出随机事件对应的几何图形 利用几何图形的几何 度量来求随机事件的概率 在高中阶段 我们主要研究与几何图形的长度 面积或体积有关 的几何概型问题 在解题中要多加思考 培养逻辑思维能力 互动探究互动探究 1 若以连续抛掷两次骰子分别得到的点数 m n 作为点 P 的坐标 则点 P 落在圆 22 25xy 内的概率是 1 2 13 36 4 9 5 12 答案 B 例例 2 2 广州市海珠区 2009 届高三上学期综合测试二 在区域内 20 0 y x yxM 随机撒一把黄豆 落在区域内的概率是 xy y x yxN sin 20 0 解析解析 1 2 广东省佛山市 2008 年高三教学质量检测一 如图 矩形长为 6 宽为 4 在矩形内随 机地撒 300 颗黄豆 数得落在椭圆外的黄豆数为 96 颗 以此实验数据为依据可以估计出椭 圆的面积约为 A B C D 7 6816 3217 328 68 答案 B 提示 用几何概型公式 例例 3 3 在等腰直角三角形ABC中 在斜边AB上任取一点M 求AM小于AC的概 率 测度 为长度 分析分析 点M随机地落在线段AB上 故线段AB为区域D 当点M位于图335 中 线段 AC内时 AMAC 故线段 AC即为区域d 解 在 AB 上截取 AC AC 于是 P AM AC P AM C A 2 2 AB AC AB CA AB C C M 答 AM 的长小于 AC 的长的概率为 2 2 互动探究互动探究 3 已知正棱锥 S ABC 的底面边长为 4 高为 3 在正棱锥内任取一点 P 使得 2 1 ABCP V 的概率是 ABCS V A B C D 4 3 8 7 2 1 4 1 解析解析 利用几何概型 8 7 例例 4 是满足不等式组的区域 是满足不等式组的区域 区A 40 40 y x B 4 4 4 yx y x 域内的点的坐标为 AP yx 当时 求的概率 x y RBP 当时 求的概率 x y ZBP 4 4 y x 4 4 b y x a 3 0 2 解 画出不等式组表示的可行域如图所示 40 40 y x 其中 2 分 4 0 4 4 0 4 DEF 为图中阴影部分 3 分B 当时 事件 的概率为 x yR BP 7 分 1 2 DEF ODEF S S 正方形 当时 中含整点个数 中含整点个数 10 分 x yZ A5 525N B 0 15N 从而事件 的概率为BP 0 153 255 N N 答 当时 的概率为 当时 的概率为 x yR BP 1 2 x yZ BP 3 5 互动探究互动探究 4 改编 2008 海南 宁夏文 20 一元二次方程 02 22 baxx 其中 求此方程有实根的概率 3 0 a 2 0 b 解析解析 试验的全部结果所构成的区域为 03 02 a bab 构成事件的区域为 A 03 02 a babab 故所求的概率为 2 1 3 22 2 2 3 23 P A 的概率为 8 5 题型题型 4 4 相会型概率问题相会型概率问题 例例 5 5 两人相约 6 时到 7 时在某地见面 先到者等候另一人 10 分钟 如果另一人还没到 这时方可离去 试求这两人能会面的概率 解题思路解题思路 此题涉及了两个变量 应设未知数 根据条件列出不等式 转化为坐标平面 内的平面区域 用几何概型求解 渗透了转化 数形结合等重要的数学思想方法 解析解析 设分别表示两人到达的时刻yx 则 即其平面区域为 060 060 10 x y xy 060 060 10 10 x y xy xy 设 两人能见面 为事件 则A 的面积 的面积 D d AP 22 605011 6036 规律总结规律总结 用几何概型解题 主要运用转化 数形结合等重要的数学思想方法 互动探究互动探究 B 10 10 C 0 A x y 5 甲 乙两人约定 6 时到 7 时之间在某处会面 并约定先到者应等候另一人一刻钟 过时 即可离去 求两人能会面的概率 解 用x和y分别表示甲 乙两人到达约会地点的时间 则两人能够会面的条件是 15xy 在平面上建立直角坐标系如图所示 则 xy 的所有可能结果是边长为 60 的正方形 而可能会面的时间由图中的阴影部分所表示 这是一个几何概型问题 由等可能性知 22 2 60457 6016 d D P A 三 课外练习 三 课外练习 1 某环靶由中心圆 和两个同心圆环 圆环 构成 某射手命中区域 的概率 分别为 0 35 0 30 0 25 则该射手射击一次未命中环靶的概率为 0 1 0 65 0 70 0 75 答案 A 2 如图 边长为 2 的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域 在正方形中随机撒一粒豆子 它落在阴影区域内的概率是 2 3 则阴影区域的面积为 4 3 8 3 2 3 无法计算 答案 B 3 设A为圆周上一点 在圆周上等可能地任取一点与A连接 则弦长超过半径 2 倍的概率 是 3 4 1 2 1 3 3 5 答案 B 4 在区间 0 1 中 随机的取出两数 其和小于的概率 1 2 A B C D 1 8 1 4 3 4 7 8 解析解析 答案 D 5 某公共汽车站每隔 10 分钟有一辆汽车到达 乘客到达汽车站的时刻是任意的 则一个 乘客候车时间不超过 3 分钟的概率是 1 5 3 10 1 2 3 4 答案 B 6 2008 广州市海珠区高三综合测试 用黑白两种颜色的正方形地砖依照下图的规律拼成 若干图形 现将一粒豆子随机撒在第 100 个图中 则豆子落在白色地砖上的概率是 A B C D 2 1 50 13 603 503 593 37 解析解析 答案 C 7 在 ABC内任取一点P 则 ABP与 ABC的面积比大于 2 3 的概率为 1 3 1 4 1 6 1 9 答案 D 8 8 设 A 为圆周上一点 在圆周上等可能地任取一点与 A 连接 则弦长超过半径 倍的概 率是 解析解析 B 利用几何概型 9 已知集合 集合 若 1 22 yxyxA 0 ayxyxB 的概率为 1 则的取值范围是 BAa 解析解析 答案 2 2 a 10 江苏省滨海县 08 届高三第三次联考数学试卷 下图的矩形 长为 5 宽为 2 在矩形 内随机地撒 300 颗黄豆 数得落在阴影部分的黄豆数为 138 颗 则我们可以估计出阴影部 分的面积为 解析解析 利用几何概型 5 23 25 300 138 11 取一个边长为a的正方形 如图所示 随机地向正方形内丢一粒沙子 则沙子落入阴 影部分的概率是 答案 4 2 12 三角形ABC中 EFG 为三边的中点 若在三角形上投点且点不会落在三角形ABC 外 则落在三角形EFG内的概率是 答案 1 4 13 在平面区域中任取一点 记事件 该点落在其内部一个区域内 为事件 则事件dA 发生的概率为 在边长为 2 的正方形内任取一点 使得A 的面积 的面积 D d AP ABCD 的概率为 90 APB 解析解析 计算出事件的面积除以正方形面积 8 8 A 14 一栋楼房有 4 个单元 甲 乙两人住在此楼内 则甲 乙两人住同一个单元的概率 为 答案 1 4 15 一海豚在水池里自由游弋 水池为长 30m 宽 20m 的长方形 求此刻海豚嘴尖离岸边 不超过 2m 的概率 答案 解 如右图 区域D是长 30m 宽 20m 的长方形 图中阴影部分表示事件A 海 豚嘴尖离岸边不超过 2m 于是 2 3020600 m D 2 302026 16184 m d 0 31 d D P A 16 如下图 在边长为 1 的正方形 ABCD 内 包括边界 任取一点 M 求 1 AMB 的面积大于等于 1 4 的概率 2 AM 的长度小于 1 的概率 解 1 如图 1 所示 取BCAD 的中点EF 连结EF 当M 在CEFD内运动时 ABM 的面积大于等于 1 4 由几何概型 的概率的定义知 1 2 CEFD S P S 矩形 正方形 2 如图 2 以A为圆心 AB为半径作圆弧 M在阴影部分时 AM长度大于等于 1 由几何概型的概率的意义知 2 1 1 11 4 ABCD S P S 阴影 4 17 在区间 01 上随机取两个数m n 求关于x的一元二次方程 2 0 xnxm 有实根的 概率 解 在平面直角坐标系中 以x轴和y轴分别表示mn 的值 D C BA 因为m n是 01 中任意取的两个数 所以点 mn 与右图中正方形内的点一一对应 即 正方形内的所有点构成全部试验结果的区域 设事件A表示方程 2 0 xnxm 有实根 则事件 40 1 01 nm Amnnm n 所对应的区域为右图中的阴影部分 且阴影部分的面积为 1 8 故由几何概型公式得 1 8 S P A S 阴影 正方形 即关于x的一元二次方程 2 0 xnxm 有实根的概率为 1 8 18 先后次抛掷一枚骰子 将得到的点数分别记为 2 a b 设函数 函数 令 求函数 f xxa g xxb F xf xg x 有且只有一个零点的概率 F x 将的值分别作为三条线段的长 求这三条线段能围成等腰三角形的概率 5a b 解析解析 先后次抛掷一枚骰子 将得到的点数分别记为 事件总数为2 a b 6 636 函数有且只有一个零点 F x 函数与函数有且只有一个交点 f xxa g xxb 所以 且ba 1 2 3 4 5 6 a b 满足条件的情况有 2 1ab 3 1 2ab 4 1 2 3ab 5 1 2 3 4ab 共种情况 6 1 2 3 4 5ab 1234515 函数有且只有一个零点的概率是 F x 155 3612 先后次抛掷一枚骰子 将得到的点数分别记为 事件总数为 2 a b