高中数学 1.1《旋转变换》教案 湘教版选修4-2

用心 爱心 专心 1 1 1 1 1 旋转变换旋转变换 教学目标教学目标 一 知识与技能 通过实例认识变换 旋转 像 列向量 线性变换 矩阵 恒等变换 中心对称变换等 概念 以映射和变换的观点 认识矩阵一列向量乘法的意义 并能初步运用矩阵一列向量的 乘法法则 掌握放置变换的表达式 能进行点坐标的变换运算 能将简单变换用其所对应的 矩阵表示 二 方法与过程 经历数学实验操作和问题探究 发现平面直角坐标系上的放置变换表达式 由特殊到一 般引入线性变换的表达式 三 情感 态度与价值观 通过数学实验中图形的变换 感受数学的奇异美 体会数学充满探索性 在学习活动中 学会合作 学会发现知识 获得数学的解决问题的方法 使学生体验到成功的乐趣 感觉数 学符号美 领会数学公式的美学意义 教学重点教学重点 旋转变换表达式的推导和应用 教学难点 教学难点 数学实验的分析 矩阵与列向量乘法的意义 教学过程教学过程 一 实验操作 一 实验操作 观察图 1 1 中的图形 其中右边的图形是由左边的图形 绕原点沿逆时针方向旋转 0 30 得到的 试自己摹仿画出图书馆 1 中的图形 先画出左边的图形 这个图形包括 与x轴平行的直线和与 y 轴平行的直线 以原点为中心的圆 曲线图形 图 1 1 先将左边的平行直线画好 组成网格 再将圆画好再根据曲线每一部分在网格中的位置画 出曲线图形 这也是实际画图的人员经常采用的方法 先画格子 再以格子为背景画出图形 右边的图形怎么画 需要将左边的图形作旋转 二 问题探究二 问题探究 用心 爱心 专心 2 图 1 1 是计算机画出来的 很多计算机软件都可以根据图形的方程画出图形 如果想利用计算机软件画出图 1 1 中的曲线图形 需要知道以下信息 曲线由两部分组 成 两部的参数方程分别是 2 0 25sin3sin3 4sin5 1 t tty tx 2 0 5sin3sin5 2sin5 t tty tx 对于区间 2 0 内每一个值t 代入参数方程就得到一点 让t取遍曲线 2 0 内所有 的值 得到的所有的点就组成一个曲线图形 可以让计算机软件根据为个方程画出它的图形 怎样将为个曲线图形旋转 0 30 参数t的每一个值确定旋转前的曲线上的一个点 需要由 这个点的坐标算出它旋转后的坐标 计算机可以根据所有这些点旋转后的坐标画出旋转后的 图形 三 新课讲解三 新课讲解 设平面上建立了直角坐标如图 1 2 所有的点绕原点沿逆时针方向同一个角 求点 P yx 经过旋转之后到达的点 P yx 这是研究平面上的二维向量空间 所以应设平面上建立了 直角坐标系这个前提条件 根据前后图形性质的不变性 运用 化归思想把问题转化为寻找旋转前后图形对应点的关系 即找 出旋转前后对应点的坐标关系 将P点人位置用向量OP和方 向角 来表示为 sin cos ry rx 抓住旋转前后对应点的长度r不 变 方向角增加 利用三角函数的和角公式 用整体代入法寻找对 图 1 2 应点的坐标关系为 cossincossinsincos sin sincossinsincoscos cos yxrtry yxrrrx 因此 cossin sincos yxy yxx 平面上绕原点旋转 可以看成一个变换 称为旋转变换 它建立了平面上的第一个点 P到 P的对应关系 用心 爱心 专心 3 用字母 T 来表示这个旋转变换 为了表示点P对应 P 写成 P T P 称 P是P在 变换 T 作用下的像 并且用箭头来表示P与 P的这种关系 变换 T P P或变换 T P T P 在平面上建立了直角坐标系之后 每个点P由坐标 yx 表示 当然点 P T P 也用坐标 yx 表示 因此 变换 T 也建立了这两个点的坐标之间的对应变换 T yx yx 在 式中左边的 yx组成点 P的坐标 yx 可以看在 向量 OP的坐标排成一列 y x 的形式 称为列向量 可以利用向量记号将关系式 的两个等式全成一个向量等式 cossin sincos yx yx y x 表示左右两边向量的分量对应相等 为了叙述方便 我们有时还用一个字母表示一个列向量 比如记 1 1 1 y x X 2 2 2 y x X 用 1 X 2 X表示它们的和 1 X表示实数 与 1 X的积 表达式 的右边的两个分量 当 固定不变时 sincosyx cossinyx 都 是自变量yx 的常数项为 0 的一次函数 它们的自变量yx 是P的坐标 可以看作OP的 坐标 用列向量 y x 表示 将这两个一次函数的自变量yx 分离出去之后 让 4 个系数排成 2 行 2 列的数表 cossin sincos 的形式 表达式 就成为 y x cossin sincos y x 将 式右边 cossin sincos 中的每一行的系数与 y x 中的字母yx 分别对应相乘再相 加 就还原成表达式 一般地 如果变换 T yx yx 变换前后坐标之间的关系具有如下的形式 用心 爱心 专心 4 dycxy byaxx 也就是 yx都是yx 的常数项为 0 的一次函数 就将这样的变换 T 称作线 性变换 此时可以将变换表达式写成 y x dc ba y x 的形式 不同的线性变换的差别仅仅在于一次函数表达式中的 4 个系数a b c d的 不同 因此 这 4 个数排成的 2 行 2 列的数表 dc ba 决定 了平面上的线性变换 我们将 这样由 4 个数排成的 2 行 2 列的数表称为 2 行 2 列的矩阵 也称为 2 2 矩阵 表达式 所 描述的变换完全由矩阵 dc ba 决定 我们称它为这个变换的矩阵 而称这个变换是由这个 矩阵表示的变换 四 例题解析四 例题解析 例 1 设变换 T 将平面上每个点绕原点旋转 2 求以下点的像 A 0 0 B 2 1 C 0 1 D 1 2 解法一 首先要明白变换 T 作用下像的概念 变换 T 建立了两点间的坐标对应关系 T yx yx 再根据旋转变换公式 cossin sincos yxy yxx 得到旋转变换前后 对应点的坐标关系 xy yx 将点 A B C D 的坐标分别代入可算出它们的像的坐标分 别为 A 0 0 A 0 0 B 2 1 B 1 2 C 0 1 C 1 0 D 1 2 D 2 1 解法二 由旋转变换的表达式 可知 绕原点旋转 的变换是线性变换 它的矩阵是 cossin sincos 01 10 01 10 0 0 0 0 01 10 1 2 2 1 01 10 1 0 0 1 01 10 2 1 1 2 用心 爱心 专心 5 例 2 矩阵 10 01 表示什么变换 解法一 这个矩阵表示的变换 T P yx P yx 满足条件 y x 10 01 y x 即 yy xx 于是P P的坐标相同 是同一点 变换 T 将每个点 P变到自己 也就是使每个点保持不动 解法二 将矩阵 A 10 01 与绕原点旋转 的变换矩阵 cossin sincos 相比较 发现 矩阵 A 就是 0 的情形 因此 A 表示的变换是绕原点旋转角为 0 的变换 所有的点在此变 换下都不支 将平面上所有的点都保持不支的变换称为恒等变换 例 3 将直角坐标平面上所有的点P yx 变到P关于原点的中心对称点 P yx 这样的变换称为中心对称变换 试求点P yx 的中心对称点 P的坐标 yx 解法一 yy xx 因此中心对称变换是线性变换 它的矩阵为 10 01 解法二 中心对称就是绕对称中心旋转角为 由旋转矩阵为 cossin sincos 10 01 五 小结五 小结 1 1 一般地 如果变换 T yx yx 变换前后坐标之间的关系具有如下的 形式 dycxy byaxx 也就是 yx都是yx 的常数项为 0 的一次函数 就将这样的变