高中数学《归纳推理与类比推理异同点比较》文字素材4 新人教A版选修1-2

用心 爱心 专心1 归纳推理与类比推理异同点比较归纳推理与类比推理异同点比较 合情推理是数学的基本思维过程 也是人们学习和生活中经常使用的思维方式 在 解决问题的过程中 合情推理具有猜侧和发表结论 探索和提供思路的作用 有利于创新 意识的培养 在能力高考的要求下 推理方法就显得更加重要 在复习中要把推理方法形 成自己的解决问题的意识 使得问题的解决有章有法 得心应手 合情推理包括归纳推理 和类比推理 一 归纳推理和类比推理的联系 归纳推理与类比推理都是根据已有的事实 经过观察 分析 比较 联想 再进行 归纳 类比 然后提出猜想的推理 由这两种推理得到的结论都不一定正确 其正确性有待 进一步证明 二 归纳推理和类比推理的区别 一 归纳推理 1 归纳推理定义 由某类事物的部分对象具有某些特征 推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理 或者由个别事实概括出一般结论的推理 称为归纳推理 简称归 纳 简言之 归纳推理是由部分到整体 由个别到一般的推理 说明 归纳推理的思维过程大致如下 2 归纳推理的特点 1 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象 归纳所得的结论是尚属未知的一般 现象 该结论超越了前提所包容的范围 2 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质 结论是否真实 还需经过逻辑证明 和实践检验 因此 它不能作为数学证明的工具 3 归纳推理是一种具有创造性的推理 通过归纳推理得到的猜想 可以作为进 一步研究的起点 帮助人们发现问题和提出问题 归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型 归纳推理包括不完全归 纳法和完全归纳法 3 归纳推理的一般步骤 通过观察个别情况发现某些相同本质 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题 说明 归纳推理基于观察和实验 像 瑞雪兆丰年 等农谚一样 是人们根据长期 的实践经验进行归纳的结果 物理学中的波义耳 马略特定律 化学中的门捷列夫元素周 期表 天文学中开普勒行星运动定律等 也都是在实验和观察的基础上 通过归纳发现 的 二 类比推理 以下简称类比 1 类比推理定义 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征 推 出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理 简称类比 简言之 类比推理是由特 殊到特殊的推理 2 类比推理的一般步骤 找出两类事物之间的相似性或一致性 用一类事物的性质去推测另一类事物的性质 得出一个明确的命题 猜想 3 说明 类比推理的思维过程大致如下图所示 用心 爱心 专心2 类比推理是在两类不同的事物之间进行对比 找出若干相同或相似点之后 推测在 其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式 类比推理不象归纳推理那样局限于 同类事物 同时 类比推理比归纳推理更富于想像 因而也就更具有创造性 人类在科学研 究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理 公式都是通过类比提出来的 工程技术中许 多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的 因此 类比推理已成为人类发现发明的 重要工具 例 1 如图 是由花盆摆成的图案 根据图中花盆摆放的规律 第 n 个图形中的花盆数 an 答案 an 3n2 3n 1 解析 仔细观察发现 图案 的花盆数为 1 个 a1 1 图案 的花盆中间数为 3 上 下两行都是 2 个 a2 2 3 2 图案 的花盆中间数为 5 上面两行由下到上分别递减 1 个 而且关于中间行上下对称 a3 3 4 5 4 3 可以猜想 第 n 个图形中的花盆中间数为 2n 1 上面每行由下到上分别递减 1 个 最上面有 n 个 而且关于中间行上下对称 因此 an n n 1 2n 1 n 1 n 3n2 3n 1 评析 上例是利用归纳推理解决问题的 归纳推理分为完全归纳和不完全归纳 由 归纳推理所得的结论虽然未必是可靠的 但它由特殊到一般 由具体到抽象的认识功能 对科学的发现是十分有用的 观察 实验 对有限的资料作归纳整理 提出带有规律性的 说法 乃是科学研究的最基本的方法之一 例 2 如图 过四面体 V ABC 的底面上任一点 O 分别作 OA1 VA OB1 VB OC1 VC A1 B1 C1分别是所作直线与侧面交点 求证 为定值 分析 考虑平面上的类似命题 过 ABC 底 边 AB 上任一点 O 分别作 OA1 AC OB1 BC 分别交 BC AC 于 A1 B1 求证 为定值 这 一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值 1 另外 过 A O 分别作 BC 垂线 过 B O 分别作 AC 垂线 则用面积法也不难证明定值为 1 于是类比到空间围形 也可用两种 方法证明其定值为 1 证明 如图 设平面 OA1 VA BC M 平面 OB1 VB AC N 平面 OC1 VC AB L 则有 MOA1 MAV NOB1 NBV LOC1 LCV 得 在底面 ABC 中 由于 AM BN CL 交于一点 O 用面积法易证得 用心 爱心 专心3 1 1 知识小结 类比推理是根据两个对象有一部分属性类似 推出这两个对象的其他 属性亦类似的一种推理方法 例如我们拿分式同分数来类比 平面几何与立体几何中的某些 对象类比等等 我们