初三数学动点问题

1 数学因运动而充满活力 数学因变化而精彩纷呈 动态题是近年来中考的的一个热点 问题 以运动的观点探究几何图形的变化规律问题 称之为动态几何问题 随之产生的动 态几何试题就是研究在几何图形的运动中 伴随着出现一定的图形位置 数量关系的 变 与 不变 性的试题 就其运动对象而言 有点动 线动 面动三大类 就其运动形式而 言 有轴对称 翻折 平移 旋转 中心对称 滚动 等 就问题类型而言 有函数关 系和图象问题 面积问题 最值问题 和差问题 定值问题和存在性问题等 解这类题目 要 以静制动 即把动态问题 变为静态问题来解 而静态问题又是动态问题的特殊情 况 以动态几何问题为基架而精心设计的考题 可谓璀璨夺目 精彩四射 动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型 包括单动点形成的面积问题 双 多 动点形成的面积问题 线动形成的面积问题 面动形成的面积问题 本专题原创编 写单动点形成的面积问题模拟题 在中考压轴题中 单动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确 地进行分类 原创模拟预测题原创模拟预测题 1 1 某数学兴趣小组对线段上的动点问题进行探究 已知 AB 8 问题思考 如图 1 点 P 为线段 AB 上的一个动点 分别以 AP BP 为边在同侧作正方形 APDC 与正方形 PBFE 1 在点 P 运动时 这两个正方形面积之和是定值吗 如果时求出 若不是 求出这两个 正方形面积之和的最小值 2 分别连接 AD DF AF AF 交 DP 于点 A 当点 P 运动时 在 APK ADK DFK 中 是否存在两个面积始终相等的三角形 请说明理由 图图1 1 F E D C AB P 问题拓展 3 如图 2 以 AB 为边作正方形 ABCD 动点 P Q 在正方形 ABCD 的边上运动 且 PQ 8 若点 P 从点 A 出发 沿 A B C D 的线路 向 D 点运动 求点 P 从 A 到 D 的运动过程中 PQ 的中点 O 所经过的路径的长 2 4 如图 3 在 问题思考 中 若点 M N 是线段 AB 上的两点 且 AM BM 1 点 G H 分别是边 CD EF 的中点 请直接写出点 P 从 M 到 N 的运动过程中 GH 的中点 O 所经过 的路径的长及 OM OB 的最小值 图图2 2 O Q C D AB P P 图图3 3 O H G F E D C AB PMN 答案 1 当 x 4 时 这两个正方形面积之和有最小值 最小值为 32 2 存在两个面积始终相等的三角形 图形见解析 3 PQ 的中点 O 所经过的路径的长为 6 4 点 O 所经过的路径长为 3 OM OB 的最小值为 113 解析 试题解析 1 当点 P 运动时 这两个正方形的面积之和不是定值 设 AP x 则 PB 8 x 根据题意得这两个正方形面积之和 x2 8 x 2 2x2 16x 64 2 x 4 2 32 所以当 x 4 时 这两个正方形面积之和有最小值 最小值为 32 2 存在两个面积始终相等的三角形 它们是 APK 与 DFK 依题意画出图形 如图所示 3 设 AP a 则 PB BF 8 a PE BF PKAP BFAB 即 88 PKa a PK 8 8 aa DK PD PK a 8 8 aa 2 8 a S APK PK PA a S DFK DK EF 8 a 1 2 1 2 8 8 aa 2 8 16 aa 1 2 1 2 2 8 a 2 8 16 aa S APK S DFK 4 所以 PQ 的中点 O 所经过的路径的长为 2 4 6 3 4 4 点 O 所经过的路径长为 3 OM OB 的最小值为 113 如图 分别过点 G O H 作 AB 的垂线 垂足分别为点 R S T 则四边形 GRTH 为梯形 如图 作点 M 关于直线 XY 的对称点 M 连接 BM 与 XY 交于点 O 由轴对称性质可知 此时 OM OB BM 最小 在 Rt BMM 中 由勾股定理得 BM 22 113MMBM OM OB 的最小值为 113 考点 四边形综合题 原创模拟预测题原创模拟预测题 2 2 如图 点 P 是以 O 为圆心 AB 为直径的半圆上的动点 AB 2 设 5 弦 AP 的长为 x APO 的面积为 y 则当 y 时 x 的取值是 3 4 A 1 B C 1 或 D 1 4 33 答案答案 C 考点考点 动点问题 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数值 等边三角形的判定和 性质 含 30 度角直角三角形的性质 分类思想的应用 故选 C 原创模拟预测题原创模拟预测题 3 3 如图 菱形 ABCD 的边长为 2 A 动点 P 从点 B 出发 沿 30 B C D 的路线向点 D 运动 设 ABP 的面积为 y B P 两点重合时 ABP 的面积可以看做 0 点 P 运动的路程为 x 则 y 与 x 之间函数关系的图像大致为 6 A B C D 答案答案 C 考点考点 动点问题的函数图象 菱形的性质 锐角三角函数定义 特殊角的三角函数 值 分类思想的应用 分析分析 当点 P 在 BC 上运动时 如图 1 ABP 的高 1 PEBP sinPBEBP sinAx 2 ABP 的面积 1111 yAB PE 2xx 2222 当点 P 在 BC 上运动时 如图 2 故选 C 原创模拟预测题原创模拟预测题 4 4 如图 在矩形ABCD中 AB 3 BC 4 动点P从点A出发沿AC向终点 7 C运动 同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动 到达A点后立刻以原来的速度沿AB返 回 点P Q运动速度均为每秒 1 个单位长度 当点P到达点C时停止运动 点Q也同时停 止 连接PQ 设运动时间为t t 0 秒 1 求线段AC的长度 2 当点Q从点B向点A运动时 未到达A点 求 APQ的面积S关于t的函数关系式 并写出t的取值范围 3 伴随着P Q两点的运动 线段PQ的垂直平分线为l 当l经过点A时 射线QP交AD于点E 求AE的长 当l经过点B时 求t的值 答案 1 5 2 3 ttttS 5 6 5 2 5 4 3 2 1 2 30 t 3 t 2 5 14 45 t 解析 试题分析 1 在矩形ABCD中 22 5ACABBC 图 8 由 APE OPQ 得 3 OQ OP AP AE OP AP OQ AE 如图 当点Q从B向A运动时l经过点B BQ CP AP t QBP QAP QBP PBC 90 QAP PCB 90 PBC PCB CP BP AP t CP AP AC 5 2 5 t 2 5 2 1 2 1 如图 当点Q从A向B运动时l经过点B 9 考点 矩形 相似三角形 点评 本题考查矩形 相似三角形 要求考生掌握矩形的性质 相似三角形的判定方法 会判定两个三角形相似 原创模拟预测题原创模拟预测题 5 5 如图 已知动点 A 在函数 x o 的图象上 AB x 轴于点 2 y x B AC y 轴于点 C 延长 CA 至点 D 使 AD AB 延长 BA 至点 使 AE AC 直线 DE 分别 交 x 轴 y 轴于点 P Q 当 QE DP 4 9 时 图中的阴影部分的面积等于 答案答案 3 2 考点考点 反比例函数综合题 曲线上坐标与方程的关系 勾股定理 相似三角形的判 定和性质 分析分析 过点 D 作 DG x 轴于点 G 过点 E 作 EF y 轴于点 F 10 图中阴影部分的面积 2 2 1141 4 33 AB 22 t242 原创模拟预测题原创模拟预测题6 6 如图 在平面坐标系中 直线y x 2与x轴 y轴分别交于点 A 点B 动点P a b 在第一象限内 由点P向x轴 y轴所作的垂线PM PN 垂足为 M N 分别与直线AB相交于点E 点F 当点P a b 运动时 矩形PMON的面积为定 值2 当点E F都在线段AB上时 由三条线段AE EF BF组成一个三角形 记此三角形 的外接圆面积为S1 OEF的面积为S2 试探究 是否存在最大值 若存在 请求 21 SS 出该最大值 若不存在 请说明理由 答案答案 存在 四边形 OAPN 是矩形 OAF EBO 45 11 AME BNF PEF 为等腰直角三角形 E 点的横坐标为 a E a 2 a AM EM 2 a AE2 2 2 a 2 2a2 8a 8 F 的纵坐标为 b F 2 b b BN FN 2 b BF2 2 2 b 2 2b2 8b 8 PF PE a b 2 EF2 2 a b 2 2 2a2 4ab 2b2 8a 8b 8 ab 2 EF2 2a2 2b2 8a 8b 16 EF2 AE2 BF2 线段 AE EF BF 组成的三角形为直角三角形 且 EF 为斜边 此三角形的外接圆的面积为 22 2 1 SEF2 ab2ab2 442 PEFOMEOMPF 111 SPFONPMSPF PESOM EM 222 梯形 S2 S梯形 OMPF S PEF S OME PF ON 1 2 PM PF PE OM EM 1 2 1 2 PF PM PE OM PM