高中数学《算法的含义》文字素材1 苏教版必修3

用心 爱心 专心1 苏教必修苏教必修 3 3 1 11 1 1 21 2 教材解读教材解读 一 学前探究 假设你早上从起床到出门需要做以下几件事情 洗脸刷牙 5min 烧水 8min 泡面 3min 吃饭 10min 听广播 8min 你为了节省时间 会按怎样的方法步骤进行呢 二 难点 易忽略点剖析 1 算法有哪些特征 1 有限性 一个算法在执行有限步骤后必须结束 不能无限地执行下去 2 确定性 算法的每一个步骤和次序应当是确定的 而不应当模棱两可 比如求3的近 似值却没有近似的精确度 则该问题不能求解 3 有效性 算法的每一个步骤都必须是有效的 可行的 4 不唯一性 求解某一个问题的解法不一定是唯一的 对于一个问题可以有不同 的解法 易忽略点 在设计算法时 算法应有一个或多个输出 算法的目的是为了求解问题 1 所以没有输出的算法是没有意义的 求解某一个问题的算法一般不是唯一的 我们通常选择较简单的算法 2 只要有公式 利用公式解决问题是最理想 最简单的方法 比如在解方程 3 03202 2 xx的算法时 用求根公式来做 步骤则较为简洁 2 画流程图有哪些要求 1 使用标准图框符号 2 图框一般按从上到下 从左到右的方向画 3 除了判断框外 大多流程图框只有一个进入点和一个输出点 4 在图形符号内描述的语言要非常简练清楚 3 算法的三种基本结构 1 顺序结构 是最简单的算法结构 框与框之间是按从上到下的顺序进行的 它是由若干个依次执行的处理步骤组成的 是任何一个算法都离不开的一种 算法结构 可从用右图表示顺序结构的示意图 其中 A 和 B 两个框是依次执 行的 只有在执行完 A 框所指定的操作后 才能接着执行 B 框所指定的操 作 易忽略点 对顺序结构的理解及运用 其先后次序是易出错的地方 1 顺序结构中的语句一旦执行完 就不能再次被执行 2 2 条件结构 是一种先根据条件作出判断 再决定执行哪一种操作的结构 如右图所示是一个选择结构 此结构中包含一个判断框 根据给定的条件P 是否成立而选择执行A框或B框 请注意 无论P条件是否成立 只能执行A 框或B框之一 不可能既执行A框又执行B框 也不可能A框 B框都不执 行 A或B两个框中 可以有一个是空的 即不执行任何操作 易忽略点 判断框必须有两个出口 3 循环结构 即反复执行某一部分的操作 其中反复执行的处理步骤称为循环体 它的 框图一般可分为直到型和当型 编者提示 两种循环结构的详细比较请参阅第四版 两种循环结构精析 在循环结构中常见到1 ii dss 这样的语句 其中变量i作为计数变量 记 用心 爱心 专心2 录某个规定的事件已发生的次数 变量s作为累计变量 用于输出结果 二者一般同步执行 易忽略点 循环结构的初始阶段 应设置计数变量i和累加变量s的初值 1 结构内不允许出现死循环 即无终止的循环 如右图所示就是一个死循环 2 在循环结构中往往包含了选择结构与顺序结构 因此在设计循环结构时要兼顾 3 选择结构与顺序结构 三 典型例题 例 一位商人有 9 枚银元 其中有一枚略轻的是假银元 你能用天平 无砝码 将假银 元找出来吗 写出解决这一问题的一种算法 分析 最容易想到的解决办法是 把 9 枚银元顺次排成一列 先称前两个 若不平衡 则可找出较轻的一个是假银元 若平衡 则两枚都是真的 再依次与剩下的银元作称量比 较 就可找到假银元 解法 1 算法步骤如下 第一步 任取两枚银元分别放在天平两边 如果天平左右不平衡 则轻的哪一边就是 假银元 如果天平平衡 则进行第二步 第二步 取下右边的银元 放在一边 然后把剩下的 7 枚银元依次放在右边进行称量 直到天平不平衡 则偏轻的哪一边就是假银元 评注 对于这种非数值问题算法设计问题 应当首先建立过程模型 根据过程设计 步骤 完成算法 另外 这种算法最少要称量一次 最多则要称量 7 次 仔细分析 我们 还可以有以下更好的算法 解法 2 算法步骤如下 第一步 把 9 枚银元平均分成 3 组 每给 3 枚 第二步 先将其中的两组放在天平的两边 如果天平不平衡 那么假银元就在轻的哪 一组 如果天平平衡 则假银元就在未称的那一组中 第三步 取出含假银元的那一组 从中任取两个放在天平的两边进行称量 如果天平 不平衡 则假银元就是较轻的那一个 如果天平平衡 则假银元就是没称量的那一个 评注 利用以下算法 只要 2 次称量就可以将假银元找出来 显然比第一种算法简 洁 有效 感悟算法 1 算法的概念 算法是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或步骤 这些程序或步骤必须是明确 的和有效的 而且能够在有限步之内完成 算法可概括为以下几个特点 1 有穷性 一个算法的步骤序列是有限的 它应在有限步操作之后停止 而不能是无限的 2 确定性 算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果 而不应当是摸棱两 可 3 顺序性与正确性 用心 爱心 专心3 算法从初始步骤开始 分为若干明确的步骤 每一个步骤只能有一个确定的后继步骤 前一步是后一步的前提 只有执行完前一步才能进行下一步 并且每一步都准确无误 才 能完成问题 4 不唯一性 求解某一个问题的解法不一定是唯一的 对于一个问题可以有不同的算法 5 普遍性 很多具体的问题 都可以设计合理的算法去解决 例如手算 心算或用算盘 计算器去 计算都要经过有限的 事先设计好的步骤加以解决 2 给出一个问题 设计算法时应注意 1 认真分析问题 联系解决此问题的一般数学方法 2 综合考虑次类问题中可能涉及的各种情况 3 借助有关的变量或参数对算法加以描述 4 将解决问题的过程划分为若干个步骤 5 用简练的语言将各个步骤表示出来 3 对于数值性计算问题 例如 解方程 方程组 解不等式 不等式组 套用公式判断 性的问题 累加 累乘等这一类问题的算法描述 可通过相应的数学模型借助一般数学计 算方法 分解成清晰的步骤 使之条理化即可 4 对于一些非数值计算问题 例如 排序 查找 变量变换 文字处理等需要先建立过 程模型 通过过程模型进行算法设计与描述 例 1 写出求经过点 2 1 2 3AB 的直线与两坐标轴围成的三角形面积的一个算法 分析 已知直线上两点A B 由两点式可写出直线的方程 令0 x 得与y轴的交点 令0y 得与x轴的交点 求出三角形两直角边的长 根据三角形的面积公式求出三角形 的面积 解析 算法步骤如下 第一步 取 1122 2 1 2 3xyxy 第二步 得直线方程 11 2121 yyxx yyxx 用心 爱心 专心4 第三步 在第二步的方程中 令0 x 得y的值m 从而得直线与y轴的交点 0 Mm 第四步 在第二步的方程中 令0y 得x的值n 从而得直线与x轴的交点 0N n 第五步 根据三角形的面积公式求 1 2 Smn 第六步 输出运算结果 评注 由于两点式直线方程可以有公式套用 所以这一步骤选择了套用公式的算法 三 角形面积需要求两直角边的长度 而本题中正是先求出三角形的两直角边的长度 再代入 三角形的面积公式求出三角形的面积 例 2 一位商人有 9 枚银元 其中有一枚略轻的是假银元 你能用天平 不用砝码 将 假银元找出来吗 分析 最容易想到的解决这个问题的一种方法是 把 9 枚银元按顺序排成一列 先称前 2 枚 若不平衡 则可找出假银元 若平衡 则 2 枚银元都是真的 再依次与剩下的银元 比较 就能找出假银元 解析 算法步骤如下 第一步 任取 2 枚银元分别放在天平的两边 如果天平左右不平衡 则轻的一边就是假 银元 如果天平平衡 则进行第二步 第二步 取下右边的银元放在一边 然后把剩余的 7 枚银元依次放在右边进行称量 直 到天平不平衡 偏轻的那一枚就是假银元 评注 上述算法至少要称 1 次 最多称 7 次 我们可以采用下面的办法 使称量次数少 一些 第一步 把银元分成 3 组 每组 3 枚 第二步 先将两组分别放在天平的两边 如果天平不平衡 那么假银元就在轻的一组 如果天平左右平衡 则假银元就在未称的第 3 组里 第三步 取出含假银元的那一组 从中任取两枚银元放在天平的两边 如果左右不平衡 则轻的那一边就是假银元 如果天平两边平衡 则未称的那一枚就是假银元 练一练 1 写出求过 3 2A 1 6B 两点的直线的斜率的一个算法 2 写出解方程 2 230 xx 的一个算法 用心 爱心 专心5 算法趣话 就像人类发明机器是为了拓展人的生产能力 发明交通工具是为了拓展人的行动 能力一样 计算机的发明是为了将人的抽象思维能力拓展到自身以外 每一天 我们 使用计算机的电子表格 字处理器 网页浏览器等程序块来完成各种各样的任务 表 面看来 计算机做的事情非常漂亮 但那只是一种幻觉 计算机可以做的所有事情只 是非常快速地操作由1 和 0 组成的数字 另一方面 我们人类却不能用1 和 0 进 行思考 算法就是将人类的思维能力形式化为计算机可以执行的步骤 使得若干微小 的电子元件代替人类进行思考 具体过程是先将解决问题的一系列步骤写成算法 再 翻译成某种程序设计语言在计算机上实现 就得到了我们每天操作的程序块 因此 算法是计算机科学的核心 换句话说 算法是计算机程序的基础 没有算法 计算机 的存在也就失去了意义 随着社会和科学技术的发展与进步 科学的两大研究方法 理论和实验越来 越多地表现出局限性 许多研究的对象既不可能用理论精确地描述 也不可能通过实 验手段来实现 而计算方法与之相比 有其独到之处 科学计算是20 世纪后期才 兴起的一门学科 如今已经广泛渗透到生物医学研究 基因工程 太空探测和每日天 气预报等各个领域 人们利用计算机进行模拟和实验来理解现象 猜测新的事实 发 现新的理论 使各个领域的研究都获得突破的可能 例如 医生想知道病人大脑或其 他器官的一些情况 他无法简单地将病人解剖来进行观察 但可以利用计算机来处理 超声波或磁场共振信号 并建立可视图像 经济学家想为政府制定经济政策提供辅助 信息 若采用在局部区域内制定实验性的经济政策的方法 可能会给该区域造成巨大 的损失 但通过建立经济行为的算法模型 模拟各种经济现象 则可能得到理想的结 果 科学计算对每个专业和每个研究领域都产生了巨大的冲击 随着几乎所有学科走 向定量化和精确化 科学知识结构也发生了巨大的变化 产生了一系列计算性的学科 分支 如计算几何 算法数论 计算统计 计算流体力学 计算量子化学 计算胚胎 学 计算地质学 计算气象学 计算材料科学 计算天文学等等 现在 科学计算继 实验 理论之后 已经成为第三种科学研究手段 在以规模化大生产为特征的 机械时代 一般不需要劳动者拥有出众的才华或者独特的创意 在这种体制下培 用心 爱心 专心6 养出的