高中数学 3.3 二元一次不等式组与简单的 教案 新人教A版必修5

1 课题课题 3 3 13 3 1 二元一次不等式 组 与平面区域二元一次不等式 组 与平面区域 第 1 课时 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 1 知识与技能 了解二元一次不等式的几何意义 会用二元一次不等式组表示平面区域 2 过程与方法 经历从实际情境中抽象出二元一次不等式组的过程 提高数学建模的能力 3 情态与价值 通过本节课的学习 体会数学来源与生活 提高数学学习兴趣 教学重点教学重点 用二元一次不等式 组 表示平面区域 教学难点教学难点 教学过程教学过程 1 1 课题导入课题导入 1 从实际问题中抽象出二元一次不等式 组 的数学模型 课本第 91 页的 银行信贷资金分配问题 教师引导学生思考 探究 让学生经历建立线性规划模型的过程 在获得探究体验的基础上 通过交流形成共识 2 2 讲授新课讲授新课 1 建立二元一次不等式模型 把实际问题实际问题 化化 数学问题数学问题 设用于企业贷款的资金为x元 用于个人贷款的资金为y元 把文字语言文字语言 化化 符号语言符号语言 资金总数为 25 000 000 元 25000000 xy 1 预计企业贷款创收 12 个人贷款创收 10 共创收 30 000 元以上 12 x 10 y30000 即12103000000 xy 2 用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值 0 0 xy 3 将 1 2 3 合在一起 得到分配资金应满足的条件 25000000 12103000000 0 0 xy xy xy 2 二元一次不等式和二元一次不等式组的定义 1 二元一次不等式 含有两个未知数 并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一 次不等式 2 2 二元一次不等式组 有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组 3 二元一次不等式 组 的解集 满足二元一次不等式 组 的 x 和 y 的取值构成有序 实数对 x y 所有这样的有序实数对 x y 构成的集合称为二元一次不等式 组 的解 集 4 二元一次不等式 组 的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系 二元一次不等式 组 的解集是有序实数对 而点的坐标也是有序实数对 因此 有 序实数对就可以看成是平面内点的坐标 进而 二元一次不等式 组 的解集就可以看成二元一次不等式 组 的解集就可以看成 是直角坐标系内的点构成的集合是直角坐标系内的点构成的集合 3 探究二元一次不等式 组 的解集表示的图形 1 回忆 思考 回忆 初中一元一次不等式 组 的解集所表示的图形 数轴上的区间 思考 在直角坐标系内 二元一次不等式 组 的解集表示什么图形 2 探究 从特殊到一般 先研究具体的二元一次不等式 x y 6 的解集所表示的图形 如图 在平面直角坐标系内 x y 6 表示一条直线 平面内所有的点被直线分成三类 第一类 在直线 x y 6 上的点 第二类 在直线 x y 6 左上方的区域内的点 第三类 在直线 x y 6 右下方的区域内的点 设点是直线 x y 6 上的点 选取点 使它的坐标满足不等式 x y 6 请同学们完成课本第 93 页的表格 横坐标 x 3 2 10123 点 P 的纵坐标 1 y 点 A 的纵坐标 2 y 并思考 当点 A 与点 P 有相同的横坐标时 它们的纵坐标有什么关系 根据此说说 直线 x y 6 左上方的坐标与不等式 x y 6 有什么关系 直线 x y 6 右下方点的坐标呢 学生思考 讨论 交流 达成共识 在平面直角坐标系中 以二元一次不等式 x y 6 的解为坐标的点都在直线 x y 6 的左 上方 反过来 直线 x y 6 左上方的点的坐标都满足不等式 x y 6 因此 在平面直角坐标系中 不等式 x y6 表示直线 x y 6 右下方的区域 如图 直线叫做这两个区域的边界边界 由特殊例子推广到一般情况 3 结论 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组 成的平面区域 虚线表示区域不包括边界直线 4 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 3 由于对在直线Ax By C 0 同一侧的所有点 yx 把它的坐标 yx 代入Ax By C 所得到实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从Ax0 By0 C 的正负即可判断Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0 时 常把原点原点 作为此特殊点 应用举例 例例 1 1 画出不等式44xy 表示的平面区域 解 先画直线44xy 画成虚线 取原点 0 0 代入x 4y 4 0 4 0 4 4 0 原点在44xy 表示的平面区域内 不等式44xy 表示的区域如图 归纳归纳 画二元一次不等式表示的平面区域常采用 直线定界 特殊点定域直线定界 特殊点定域 的方法 特殊 地 当0 C时 常把原点作为此特殊点 变式 1 画出不等式1234 yx所表示的平面区域 变式 2 画出不等式1 x所表示的平面区域 例例 2 2 用平面区域表示 不等式组 312 2 yx xy 的解集 分析 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个 不等式所表示的平面区域的公共部分 解 不等式312yx 表示直线312yx 右下方的区域 2xy 表示直线 2xy 右上方的区域 取两区域重叠的部分 如图的阴影部分就表示原不等式组的解集 归纳归纳 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集 因而是各个不等 式所表示的平面区域的公共部分 变式 1 画出不等式04 12 化yxyx表示的平面区域 变式 2 由直线02 yx 012 yx和012 yx围成的三角形区域 包括 边界 用不等式可表示为 3 3 随堂练习随堂练习 1 课本第 97 页的练习 1 2 3 4 4 课时小结课时小结 1 二元一次不等式表示的平面区域 2 二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 3 二元一次不等式组表示的平面区域 5 5 评价设计评价设计 课本第 105 页习题 3 3 A 组的第 1 题 板书设计板书设计 4 课题 3 3 13 3 1 二元一次不等式 组 与平面区域二元一次不等式 组 与平面区域 第 2 课时 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 1 知识与技能 巩固二元一次不等式和二元一次不等式组所表示的平面区域 能根据实际 问题中的已知条件 找出约束条件 2 过程与方法 经历把实际问题抽象为数学问题的过程 体会集合 化归 数形结合的数 学思想 3 情态与价值 结合教学内容 培养学生学习数学的兴趣和 用数学 的意识 激励学生 创新 教学重点教学重点 理解二元一次不等式表示平面区域并能把不等式 组 所表示的平面区域画出来 教学难点教学难点 把实际问题抽象化 用二元一次不等式 组 表示平面区域 教学过程教学过程 1 1 课题导入课题导入 复习引入复习引入 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有点组 成的平面区域 虚线表示区域不包括边界直线 判断方法 由于对在直线Ax By C 0 同一侧的所有点 x y 把它的坐标 x y 代入 Ax By C 所得到实数的符号都相同 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 x0 y0 从 Ax0 By0 C的正负即可判断Ax By C 0 表示直线哪一侧的平面区域 特殊地 当C 0 时 常把原点作为此特殊点 随堂练习随堂练习 1 1 1 画出不等式 2x y 6 0 表示的平面区域 2 画出不等式组 3 0 05 x yx yx 表示的平面区域 2 2 讲授新课讲授新课 应用举例 例 3 某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学 对教育市场进行调查后 他得到了下面的 数据表格 以班级为单位 学段班级学生人数配备教师数硬件建设 万元教师年薪 万元 初中 452 26 班2 人 高中 403 54 班2 人 分别用数学关系式和图形表示上述的限制条件 解 设开设初中班 x 个 开设高中班 y 个 根据题意 总共招生班数应限制在 20 30 之间 所以有2030 xy 考虑到所投资金的限制 得到26542 22 31200 xyxy B 5 2 5 2 C 3 3 A 3 8 x 3 x y 0 x y 5 0 0 6 3x y 5 即 240 xy 另外 开设的班数不能为负 则0 0 xy 把上面的四个不等式合在一起 得到 2030 240 0 0 xy xy x y 用图形表示这个限制条件 得到如图的平面区域 阴影部分 例 4 一个化肥厂生产甲 乙两种混合肥料 生产 1 车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐 18t 生产 1 车皮乙种肥料需要的主要原料是磷酸盐 1t 硝酸盐 15t 现库存磷酸盐 10t 硝 酸盐 66t 在此基础上生产两种混合肥料 列出满足生产条件的数学关系式 并画出相应 的平面区域 解 设 x y 分别为计划生产甲乙两种混合肥料的车皮数 于是满足以下条件 410 181566 0 0 xy xy x y 在直角坐标系中可表示成如图的平面区域 阴影部分 补充例题补充例题 例 1 画出下列不等式表示的区域 1 0 1 yxyx 2 xyx2 分析 1 转化为等价的不等式组 2 注意到不等式的传递性 由xx2 得0 x 又 用y 代y 不等式仍成立 区域关于x轴对称 解 1 10 01 0 yx yx yx 或 1 0 yx yx 矛盾无解 故点 yx在一带形区域 内 含边界 2 由xx2 得0 x 当0 y时 有 02 0 yx yx 点 yx在一条形区域内 边 界 当0 y 由对称性得出 指出 把非规范形式等价转化为规范不等式组形式便于求解 6 例 2 利用区域求不等式组 01553 0632 032 yx yx yx 的整数解 分析 不等式组的实数解集为三条直线032 1 yxl 0632 2 yxl 01553 3 yxl所围成的三角形区域内部 不含边界 设All 21 Bll 31 Cll 32 求得区域内点横坐标范围 取出x的所有整数值 再代回原不等式组转化为 y的一元不等式组得出相应的y的整数值 解 设032 1 yxl 0632 2 yxl 01553 3 yxl All 21 Bll 31 Cll 32 4 3 8 15 A 3 0 B 19 12 19 75 C 于是看出区域内点的 横坐标在 19 75 0 内 取x 1 2 3 当x 1 时 代入原不等式组有 5 12 3 4 1 y y y 1 5 12 y 得y 2 区域内有整点 1 2 同理可求得另外三个整点 2 0 2 1 3 1 指出 指出 求不等式的整数解即求区域内的整点是教学中的难点 它为线性规划中求最优整数 解作铺垫 常有两种处理方法 一种是通过打出网络求整点 另一种是本题解答中所采用 的 先确定区域内点的横坐标的范围 确定x的所有整数值 再代回原不等式组 得出 y的一元一次不等式组 再确定y的所有整数值 即先固定x 再用x制约y 3 3 随堂练习随堂练习 2 2 1 1 1 xy 2 yx 3 yx 7 2 画出不等式组 5 3 0 06 x y yx yx 表示的平面区域 3 课本第 97 页的练习 4 4 4 课时小结课时小结 进一步熟悉用不等式 组 的解集表示的平面区域 5 5 评价设计评价设计 1 课本第 105 页习题 3 3 B 组的第 1 2 题 板书设计板书设计 课题 3 3 23 3 2 简单的线性规划简单的线性规划 第 3 课时 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 1 知识与技能 使学生了解二元一次不等式表示平面区域 了解线性规划的意义以及约束 条件 目标函数 可行解 可行域 最优解等基本概念 了解线性规划问题的图解法 并 能应用它解决一些简单的实际问题 2 过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程 提高数学建模能力 3 情态与价值 培养学生观察 联想以及作图的能力 渗透集合 化归 数形结合的数学 思想 提高学生 建模 和解决实际问题的能力 教学重点教学重点 用图解法解决简单的线性规划问题 教学难点教学难点 准确求得线性规划问题的最优解 教学过程教学过程 1 1 课题导入课题导入 复习提问 1 二元一次不等式0 CByAx在平面直角坐标系中表示什么图形 2 怎样画二元一次不等式 组 所表示的平面区域 应注意哪些事项 3 熟记 直线定界 特殊点定域 方法的内涵 2 2 讲授新课讲授新课 在现实生产 生活中 经常会遇到资源利用 人力调配 生产安排等问题 1 下面我们就来看有关与生产安排的一个问题 引例 引例 某工厂有 A B 两种配件生产甲 乙两种产品 每生产一件甲产品使用 4 个 A 配件耗 时 1h 每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件耗时 2h 该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配 件和 12 个 B 配件 按每天 8h 计算 该厂所有可能的日生产安排是什么 1 用不等式组表示问题中的限制条件 设甲 乙两种产品分别生产 x y 件 又已知条件可得二元一次不等式组 8 28 416 412 0 0 xy x y x y 1 2 画出不等式组所表示的平面区域 如图 图中的阴影部分的整点 坐标为整数的点 就代表所有可能的日生产安排 3 提出新问题 进一步 若生产一件甲产品获利 2 万元 生产一件乙产品获利 3 万元 采用哪种生产安排 利润最大 4 尝试解答 设生产甲产品x件 乙产品y件时 工厂获得的利润为z 则z 2x 3y 这样 上述问题就转 化为 当 x y 满足不等式 1 并且为非负整数时 z的最大值是多少 把z 2x 3y变形为 2 33 z yx 这是斜率为 2 3 在 y 轴上的截距为 3 z 的直线 当 z 变化时 可以得到一族互相平行的直线 如图 由于这些直线的斜率是确定的 因此只 要给定一个点 例如 1 2 就能确定一条直线 28 33 yx 这说明 截距 3 z 可 以由平面内的一个点的坐标唯一确定 可以看到 直线 2 33 z yx 与不等式组 1 的 区域的交点满足不等式组 1 而且当截距 3 z 最大时 z 取得最大值 因此 问题可以 转化为当直线 2 33 z yx 与不等式组 1 确定的平面区域有公共点时 在区域内找 一个点 P 使直线经过点 P 时截距 3 z 最大 5 获得结果 由上图可以看出 当实现 2 33 z yx 金国直线 x 4 与直线 x 2y 8 0 的交点 M 4 2 时 截距 3 z 的值最大 最大值为 14 3 这时 2x 3y 14 所以 每天生产甲产品 4 件 乙产品 2 件时 工厂可获得最大利润 14 万元 2 线性规划的有关概念 线性约束条件线性约束条件 在上述问题中 不等式组是一组变量x y的约束条件 这组约束条 件都是关于x y的一次不等式 故又称线性约束条件 线性目标函数线性目标函数 关于x y的一次式z 2x y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x y的解析式 叫 线性目标函数 线性规划问题线性规划问题 一般地 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题 统称为线性规 划问题 9 可行解 可行域和最优解可行解 可行域和最优解 满足线性约束条件的解 x y 叫可行解 由所有可行解组成的集合叫做可行域 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解 3 变换条件 加深理解 探究 课本第 100 页的探究活动 1 在上述问题中 如果生产一件甲产品获利 3 万元 每生产一件乙产品获利 2 万元 有应当如何安排生产才能获得最大利润 在换几组数据试试 2 有上述过程 你能得出最优解与可行域之间的关系吗 3 3 随堂练习随堂练习 1 请同学们结合课本P103练习 1 来掌握图解法解决简单的线性规划问题 1 求z 2x y的最大值 使式中的x y 满足约束条件 1 1 y yx xy 解 不等式组表示的平面区域如图所示 当x 0 y 0 时 z 2x y 0 点 0 0 在直线 0 l 2x y 0 上 作一组与直线 0 l平行的直线 l 2x y t t R R 可知 在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线 中 以经过点A 2 1 的直线所对应的t最大 所以zmax 2 2 1 3 2 求z 3x 5y的最大值和最小值 使式中的x y满足约束条件 3 5 1 1535 yx xy yx 解 不等式组所表示的平面区域如图所示 从图示可知 直线 3x 5y t在经过不等式组所表示的公共区域内的 点时 以经过点 2 1 的直线所对应的t最小 以经过点 8 17 8 9 的直线所对应的 t最大 所以zmin 3 2 1 11 zmax 3 8 9 5 8 17 14 4 4 课时小结课时小结 用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤 1 寻找线性约束条件 线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 x y 1 2 1 2 1 1 2 1 2x y 0 x y 1 0 x y 0 C B A O 21 1 2 1 1 2 3 x y 9 8 17 8 3x 5y 0 5x 3y 15 0 x y 1 0 C B A O 3 x 5y 3 0 1 1 1 5 10 3 在可行域内求目标函数的最优解 5 5 评价设计评价设计 课本第 105 页习题 A 组的第 2 题 板书设计板书设计 课题 3 3 23 3 2 简单的线性规划简单的线性规划 第 4 课时 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 1 知识与技能 掌握线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单的实际问题 2 过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程 提高数学建模能力 3 情态与价值 引发学生学习和使用数学知识的兴趣 发展创新精神 培养实事求是 理 论与实际相结合的科学态度和科学道德 教学重点教学重点 利用图解法求得线性规划问题的最优解 教学难点教学难点 把实际问题转化成线性规划问题 并给出解答 解决难点的关键是根据实际问题中的已知 条件 找出约束条件和目标函数 利用图解法求得最优解 教学过程教学过程 1 1 课题导入课题导入 复习引入 1 二元一次不等式Ax By C 0 在平面直角坐标系中表示直线Ax By C 0 某一侧所有 点组成的平面区域 虚线表示区域不包括边界直线 2 目标函数 线性目标函数 线性规划问题 可行解 可行域 最优解 2 2 讲授新课讲授新课 线性规划在实际中的应用 线性规划的理论和方法主要在两类问题中得到应用 一是在人力 物力 资金等资源 一定的条件下 如何使用它们来完成最多的任务 二是给定一项任务 如何合理安排和规 划 能以最少的人力 物力 资金等资源来完成该项任务 下面我们就来看看线性规划在实际中的一些应用 范例讲解范例讲解 例例 5 5营养学家指出 成人良好的日常饮食应该至少提供 0 075kg 的碳水化合物 0 06kg 的蛋白质 0 06kg 的脂肪 1kg 食物 A 含有 0 105kg 碳水化合物 0 07kg 蛋白质 0 14kg 脂肪 花费 28 元 而 1kg 食物 B 含有 0 105kg 碳 水化合物 0 14kg 蛋白质 0 07kg 脂肪 花费 21 元 为了满足营养专家 指出的日常饮食要求 同时使花费最低 需要同时食用食物 A 和食物 B 多 少 kg 指出指出 要完成一项确定的任务 如何统筹安排 尽量做到用最少的资源去完成它 这是线性规 划中最常见的问题之一 11 例例 6 6在上一节例 3 中 若根据有关部门的规定 初中每人每年可收取学费 1 600 元 高中每人每年可收取学费 2 700 元 那么开设初中班和高中班各 多少个 每年收取的学费总额最高多 指出指出 资源数量一定 如何安排使用它们 使得效益最好 这是线性规划中常见的问题之一 结合上述两例子总结归纳一下解决这类问题的思路和方法 简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解 无论此类题目是 以什么实际问题提出 其求解的格式与步骤是不变的 1 寻找线性约束条件 线性目标函数 2 由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域 3 在可行域内求目标函数的最优解 3 3 随堂练习随堂练习 课本第 103 页练习 2 4 4 课时小结课时小结 线性规划的两类重要实际问题的解题思路 首先 应准确建立数学模型 即根据题意找出约束条件 确定线性目标函数 然后 用图解法求得数学模型的解 即画出可行域 在可行域内求得使目标函数取得最值的解 最后 要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解 即结合实际情况求得最优解 5 5 评价设计评价设计 课本第 105 页习题 3 3 A 组的第 3 题 板书设计板书设计 课题 3 3 23 3 2 简单的线性规划简单的线性规划 第 5 课时 授课类型 授课类型 新授课 教学目标教学目标 1 知识与技能 掌握线性规划问题的图解法 并能应用它解决一些简单的实际问题 2 过程与方法 经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程 提高数学建模能力 3 情态与价值 引发学生学习和使用数学知识的兴趣 发展创新精神 培养实事求是 理 论与实际相结合的科学态度和科学道德 教学重点教学重点 利用图解法求得线性规划问题的最优解 教学难点教学难点 把实际问题转化成线性规划问题 并给出解答 解决难点的关键是根据