高中数学竞赛讲义-平面几何名定理 新人教A版

21 平面几何名定理平面几何名定理 四个重要定理 梅涅劳斯 Menelaus 定理 梅氏线 ABC 的三边 BC CA AB 或其延长线上有点 P Q R 则 P Q R 共 线的充要条件是 塞瓦 Ceva 定理 塞瓦点 ABC 的三边 BC CA AB 上有点 P Q R 则 AP BQ CR 共点的充要条 件是 托勒密 Ptolemy 定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形 内接于一圆 西姆松 Simson 定理 西姆松线 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在 三角形的外接圆上 例题讲解 1 设 AD 是 ABC 的边 BC 上的中线 直线 CF 交 AD 于 F 求证 2 过 ABC 的重心 G 的直线分别交 AB AC 于 E F 交 CB 于 D 求证 3 D E F 分别在 ABC 的 BC CA AB 边上 AD BE CF 交成 LMN 求 S LMN 4 以 ABC 各边为底边向外作相似的等腰 BCE CAF ABG 求证 AE BF CG 相交于 一点 5 已知 ABC 中 B 2 C 求证 AC2 AB2 AB BC 6 已知正七边形 A1A2A3A4A5A6A7 求证 7 ABC 的 BC 边上的高 AD 的延长线交外接圆于 P 作 PE AB 于 E 延长 ED 交 AC 延长线于 F 求证 BC EF BF CE BE CF 8 正六边形 ABCDEF 的对角线 AC CE 分别被内分点 M N 分成的比为 AM AC CN CE k 且 B M N 共线 求 k 23 IMO 5 9 O 为 ABC 内一点 分别以 da db dc表示 O 到 BC CA AB 的距离 以 Ra Rb Rc表示 O 到 A B C 的距离 求证 1 a Ra b db c dc 2 a Ra c db b dc 3 Ra Rb Rc 2 da db dc 10 ABC 中 H G O 分别为垂心 重心 外心 求证 H G O 三点共线 且 HG 2GO 欧拉线 11 O1和 O2与 ABC 的三边所在直线都相切 E F G H 为切点 EG FH 的延长线交 于 P 求证 PA BC 12 如图 在四边形 ABCD 中 对角线 AC 平分 BAD 在 CD 上取一点 E BE 与 AC 相交于 F 延长 DF 交 BC 于 G 求证 GAC EAC 例题答案 1 分析 CEF 截 ABD 梅氏定理 评注 也可以添加辅助线证明 过 A B D 之一作 CF 的平行线 2 分析 连结并延长 AG 交 BC 于 M 则 M 为 BC 的中点 DEG 截 ABM 梅氏定理 DGF 截 ACM 梅氏定理 1 评注 梅氏定理 3 梅氏定理 4 塞瓦定理 5 分析 过 A 作 BC 的平行线交 ABC 的外接圆于 D 连结 BD 则 CD DA AB AC BD 由托勒密定理 AC BD AD BC CD AB 评注 托勒密定理 6 评注 托勒密定理 7 评注 西姆松定理 西姆松线 8 评注 面积法 9 评注 面积法 10 评注 同一法 11 证明 连结 BD 交 AC 于 H 对 BCD 用塞瓦定理 可得 因为 AH 是 BAD 的角平分线 由角平分线定理 可得 故 过 C 作 AB 的平行线交 AG 的延长线于 I 过 C 作 AD 的平行线交 AE 的延长 线于 J 则 所以