【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第4篇 第7讲 解三角形应用举例限时训练 理

1 第第 7 7 讲讲 解三角形应用举例解三角形应用举例 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 2013 沧州模拟 有一长为 1 的斜坡 它的倾斜角为 20 现高不变 将倾斜角改为 10 则斜坡长为 A 1 B 2sin 10 C 2cos 10 D cos 20 解析 如图 ABC 20 AB 1 ADC 10 ABD 160 在 ABD中 由正弦定理得 AD sin 160 AB sin 10 AD AB 2cos 10 sin 160 sin 10 sin 20 sin 10 答案 C 2 某人向正东方向走x km 后 向右转 150 然后朝新方向走 3 km 结果他离出发点恰 好是 km 那么x的值为 3 A B 2 33 C 或 2 D 3 33 解析 如图所示 设此人从A出发 则 AB x BC 3 AC ABC 30 由余弦定理得 2 x2 32 2x 3 cos 33 30 整理得x2 3x 6 0 解得x 或 2 333 答案 C 3 一艘海轮从A处出发 以每小时 40 海里的速度沿南偏东 40 的方向直线航行 30 分钟 后到达B处 在C处有一座灯塔 海轮在A处观察灯塔 其方向是南偏东 70 在B 处观察灯塔 其方向是北偏东 65 那么B C两点间的距离是 A 10海里 B 10海里 23 C 20海里 D 20海里 32 解析 如图所示 易知 在 ABC中 AB 20 海里 2 CAB 30 ACB 45 根据正弦定理得 解得BC 10 海 BC sin 30 AB sin 45 2 里 答案 A 4 2012 吉林部分重点中学质量检测 如图 两座相距 60 m 的建筑物AB CD的高度分别为 20 m 50 m BD为水平 面 则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 依题意可得AD 20 m AC 30 m 又CD 50 m 所以在 ACD中 由 105 余弦定理得 cos CAD AC2 AD2 CD2 2AC AD 30 r 5 2 20 r 10 2 502 2 30 5 20 10 6 000 6 000 2 又 0 CAD 180 所以 CAD 45 所以从顶端A看建筑物CD的张角为 2 2 45 答案 B 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2011 上海 在相距 2 千米的A B两点处测量目标点C 若 CAB 75 CBA 60 则A C两点之间的距离为 千米 解析 由已知条件 CAB 75 CBA 60 得 ACB 45 结合正弦定理得 即 解得AC 千米 AB sin ACB AC sin CBA 2 sin 45 AC sin 60 6 答案 6 6 2013 潍坊模拟 如图 一艘船上午 9 30 在A处测得灯塔S在它 的北偏东 30 处 之后它继续沿正北方向匀速航行 上午 10 00 到达B处 此时又测 得灯塔S在它的北偏东 75 处 且与它相距 8 n mile 此船的航速是 n 2 mile h 解析 设航速为v n mile h 3 在 ABS中 AB v BS 8 n mile 1 22 BSA 45 由正弦定理得 v 32 n mile h 8 2 sin 30 1 2v sin 45 答案 32 三 解答题 共 25 分 7 12 分 某广场有一块不规则的绿地如图所示 城建部门欲在该地上建造一个底座为三 角形的环保标志 小李 小王设计的底座形状分别为 ABC ABD 经测量AD BD 7 米 BC 5 米 AC 8 米 C D 求AB的长度 解 在 ABC中 由余弦定理得 cos C AC2 BC2 AB2 2AC BC 82 52 AB2 2 8 5 在 ABD中 由余弦定理得 cos D AD2 BD2 AB2 2AD BD 72 72 AB2 2 7 7 由 C D 得 cos C cos D 解得AB 7 所以AB长度为 7 米 8 13 分 如图所示 位于A处的信息中心获悉 在其正东方向相距 40 海里的B处有一艘渔船 遇险 在原地等待营救 信息中心立即把消 息告知在其南偏西 30 相距 20 海里的C处 的乙船 现乙船朝北偏东 的方向沿直线CB前往B处救援 求 cos 的值 解 如题图所示 在 ABC中 AB 40 海里 AC 20 海里 BAC 120 由余弦定 理知 BC2 AB2 AC2 2AB AC cos 120 2 800 故BC 20 海里 7 由正弦定理得 AB sin ACB BC sin BAC 所以 sin ACB sin BAC AB BC 21 7 由 BAC 120 知 ACB为锐角 则 cos ACB 2 7 7 易知 ACB 30 故 cos cos ACB 30 cos ACBcos 30 4 sin ACBsin 30 21 14 分层 B 级 创新能力提升 1 一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱 为了测量喷水柱喷出的水柱的高度 某人在 喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为 45 沿点A向北偏东 30 前进 100 m 到达点B 在B点测得水柱顶端的仰角为 30 则水柱的高度是 A 50 m B 100 m C 120 m D 150 m 解析 设水柱高度是h m 水柱底端为C 则在 ABC中 A 60 AC h AB 100 BC h 根据余弦定理得 h 2 h2 1002 2 h 100 cos 33 60 即h2 50h 5 000 0 即 h 50 h 100 0 即h 50 故水柱的高度是 50 m 答案 A 2 2013 榆林模拟 如图 在湖面上高为 10 m 处测得天空 中一朵云的仰角为 30 测得湖中之影的俯角为 45 则 云距湖面的高度为 精确到 0 1 m A 2 7 m B 17 3 m C 37 3 m D 373 m 解析 在 ACE中 tan 30 AE m CE AE CM 10 AE CM 10 tan 30 在 AED中 tan 45 DE AE CM 10 AE AE m CM 10 tan 45 CM 10 tan 30 CM 10 tan 45 CM 10 2 37 3 m 10 r 3 1 3 13 答案 C 3 在 2012 年 7 月 12 日伦敦奥运会上举行升旗仪式 如 图 在坡度为 15 的观礼台上 某一列座位所在直线 AB与旗杆所在直线MN共面 在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N 的仰角分别为 60 和 30 且座位A B的距离为 10米 则旗杆的高度为 6 5 米 解析 由题可知 BAN 105 BNA 30 由正弦定理得 解 AN sin 45 10 6 sin 30 得AN 20 米 在 Rt AMN中 MN 20 sin 60 30 米 故旗杆的高度为 30 33 米 答案 30 4 2013 合肥一检 如图 一船在海上自西向东航行 在 A处测得某岛M的方位角为北偏东 角 前进m海里 后在B处测得该岛的方位角为北偏东 角 已知该岛 周围n海里范围内 包括边界 有暗礁 现该船继续东行 当 与 满足条件 时 该船没有触礁危险 解析 由题可知 在 ABM中 根据正弦定理得 解得 BM sin 90 m sin BM 要使该船没有触礁危险需满足BMsin 90 mcos sin n 所以当 与 的关系满足mcos cos nsin 时 mcos cos sin 该船没有触礁危险 答案 mcos cos nsin 5 2012 肇庆二模 如图 某测量人员为了测量西 江北岸不能到达的两点A B之间的距离 她在西 江南岸找到一个点C 从C点可以观察到点 A B 找到一个点D 从D点可以观察到点 A C 找到一个点E 从E点可以观察到点 B C 并测量得到数据 ACD 90 ADC 60 ACB 15 BCE 105 CEB 45 DC CE 1 百米 1 求 CDE的面积 2 求A B之间的距离 解 1 在 CDE中 DCE 360 90 15 105 150 S CDE DC CE sin 150 sin 30 平方百米 1 2 1 2 1 2 1 2 1 4 2 连接AB 依题意知 在 Rt ACD中 AC DC tan ADC 1 tan 60 百米 3 在 BCE中 CBE 180 BCE CEB 180 105 45 30 6 由正弦定理 得 BC sin CEB CE sin CBE BC sin CEB sin 45 百米 CE sin CBE 1 sin 30 2 cos 15 cos 60 45 cos 60 cos 45 sin 60 sin 45 1 2 2 2 3 2 2 2 6 2 4 在 ABC中 由余弦定理AB2 AC2 BC2 2AC BC cos ACB 可得AB2 2 2 2 2 3232 6 2 43 AB 百米 2 3 6 某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位 于港口O北偏西 30 且与该港口相距 20 海里的A处 并正以 30 海里 时的航行速度沿 正东方向匀速行驶 假设该小艇沿直线方向以v海里 时的航行速度匀速行驶 经过t 小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航 行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 时 试设计航行方案 即确定航行方向和航行速度的大 小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 解 1 设相遇时小艇航行的距离为S海里 则 S 900t2 400 2 30t 20 cos 90 30 900t2 600t 400 900 t 1 3 2 300 故当t 时 Smin 10 海里 1 33 此时v 30 海里 时 10 3 1 33 即小艇以 30海里 时的速度航行 相遇时小艇的航行距离最小 3 2 设小艇与轮船在B处相遇 则v2t2 400 900t