【优化方案】2012高中数学 第1章1.2.4第二课时知能优化训练 苏教版必修2

用心 爱心 专心1 1 下列说法正确的是 填序号 二面角是两个平面相交所组成的图形 二面角是指角的两边分别在两个平面内的角 角的两边分别在二面角的两个面内 则这个角是二面角的平面角 二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱 解析 二面角是指一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形 其构成要 素是 两个半平面和一条直线 即它的棱 其本质是一个空间图形 所以 均错 误 二面角的平面角是指以二面角的棱上任意一点为端点 分别与位于两个半平面内且垂 直于棱的两条射线所成的角 它的两边必须满足三个条件 a 分别在两个半平面内 b 相交于棱上一点 c 都和棱垂直 故 错误 二面角的平面角的两条边都和棱垂直 所以 二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱 答案 2 二面角的平面角所在的平面和二面角的棱的位置关系是 和二面角的两个 半平面的位置关系是 答案 垂直 垂直 3 下列说法中正确的是 填序号 若平面 和平面 分别过两条互相垂直的直线 则 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条平行直线 则 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的两条相交直线 则 若平面 内的一条直线垂直于平面 内的无数条直线 则 解析 本题考查的是对垂直关系的定义的理解 同学们要走出 无数 的误区 如 中 可举反例如两平面相交 平行等 答案 4 锐二面角 l 直线AB AB与l所成的角为 45 AB与平面 成 30 角 则二面角 l 的大小为 解析 如图 作AO l于O 作AC 于C 连结BC OC 在 Rt AOB中 设AB 1 则AO 2 2 在 Rt ACB中 ABC 30 AC AB 1 2 1 2 在 Rt ACO中 sin AOC AC AO 1 2 2 2 2 2 AOC 45 答案 45 一 填空题 1 在空间中 下列结论正确的是 填序号 用心 爱心 专心2 平行直线的平行投影重合 平行于同一直线的两个平面平行 垂直于同一平面的两个平面平行 垂直于同一平面的两条直线平行 解析 由于两条平行直线的平行投影可以平行也可以重合 所以 不正确 平行于同 一直线的两个平面可以平行也可以相交 所以 不正确 垂直于同一平面的两个平面可以 相交也可以平行 所以 不正确 由于垂直于同一平面的两条直线平行 所以 正确 答案 2 2010 年高考湖北卷改编 用a b c表示三条不同的直线 表示平面 给出下 列说法 若a b b c 则a c 若a b b c 则a c 若a b 则a b 若a b 则a b 其中正确说法的序号为 解析 由平行公理可知 正确 不正确 若三条直线在同一平面内 则a c 不 正确 a与b有可能平行 也有可能异面或相交 由线面垂直的性质可知 正确 答案 3 已知PA 矩形ABCD所在平面 如图 则图中互相垂直的平面有 对 解析 面PAD 面ABCD 面PAB 面ABCD 面PAB 面PBC 面PDC 面PAD 面 PAD 面PAB 答案 5 4 已知平面 平面 l 点A A l 直线AB l 直线AC l 直 线m m 则下列四种位置关系中 不一定成立的是 填序号 AB m AC m AB AC 解析 如图所示 AB l m AC l m l AC m AB l AB 答案 5 如图所示 在边长为a的正三角形ABC中 AD BC 沿AD将 ABD折起 若折起 后点B C间的距离为a 则二面角B AD C的大小为 1 2 解析 因为 ABC是正三角形 AD BC 所以AD BD AD CD 所以 BDC是二面角 B AD C的平面角 在 BCD中 BD CD BC a 所以 BDC 60 即二面角 1 2 B AD C的大小为 60 答案 60 6 将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A BD C 有如下四个结论 用心 爱心 专心3 AC BD ACD是等边三角形 AB与平面BCD成 60 的角 AB与CD所成的角为 60 其中正确结论的序号是 写出所有你认为正确的结论的序号 解析 如图 连结对角线AC BD 交于点O 则AO BD CO BD BD 平面OAC BD AC OA OC OD 且两两垂直 AC CD AD ACD是等边三角形 ABO 45 为AB与平面BCD所成的角 取AD AC的中点E F 易证OE EF OF CD 1 2 OEF为等边三角形 AB与CD成 60 角 正确 答案 7 把锐角A为 60 边长为a的菱形ABCD沿对角线BD折成 60 的二面角 则折叠 后AC的长为 解析 如图 取BD中点O 连结A O CO A O BD CO BD A OC即为二面角A BD C的平面 角 A OC 60 又 A O CO AC 1 2 A C AC a 1 2 3 2 答案 a 3 2 8 等边 ABC边长为 1 BC边上高为AD 沿AD折成直二面角 则A到BC的距离为 解析 如图 AD BD AD CD得 BDC为直二面角B AD C的平面角 则 BDC 90 在 Rt BDC中 BD DC BC 1 2 2 2 AB AC 1 设E是BC的中点 则AE BC 用心 爱心 专心4 在 Rt ABE中 AB 1 BE BC 2 2 4 AE 即A到BC的距离是 14 4 14 4 答案 14 4 9 2010 年高考四川卷 如图 二面角 l 的大小是 60 线段 AB B l AB与l所成的角为 30 则AB与平面 所成的角的正弦值是 解析 如图 过点A作AC l 垂足为C AD 垂足为D 连结CD BD 由题意知 ACD 60 ABC 30 ABD即为AB与平面 所成的角 设AC a 则AB 2a AD a 3 2 sin ABD 3 2 a 2a 3 4 答案 3 4 二 解答题 10 过点S引不共面的直线SA SB SC 如图 BSC 90 ASC ASB 60 若截取SA SB SC a 求证 平面ABC 平面BSC 证明 法一 SA SB SC a ASC ASB 60 ASB和 ASC都是等边三角形 AB AC a 取BC的中点为H 连结AH SH AH BC SH BC 在 Rt BSC中 BS CS a BC a 2 AH2 AC2 CH2 用心 爱心 专心5 a2 a 2 2 2 a2 2 SH2 SC2 CH2 a2 a 2 2 2 a2 2 在 SHA中 AH2 SH2 SA2 a2 a2 2 a2 2 SA2 SH2 AH2 AH SH AH 平面SBC 又 AH 平面ABC 平面ABC 平面SBC 法二 SA AC AB 顶点A在平面SBC上的射影为 SBC的外心 又 SBC为等腰直角三角形 H为BC的中点 AH 平面SBC AH 平面ABC 平面ABC 平面SBC 11 如图 在正方体ABCD A1B1C1D1中 E为CC1的中点 求截面A1BD和EBD所成二 面角的大小 解 如图 连结AC交BD于点O 分别连结EO A1O A1C1 A1E 由EB ED A1B A1D知EO BD A1O BD 故 EOA1为所求二面角的平面角 设正方体的棱长为a 则在 Rt A1AO Rt ECO Rt A1C1E中分别求出A1O a EO a A1E a 6 2 3 2 3 2 因为A1O2 EO2 A1E2 所以 EOA1 90 即截面A1BD和EBD所成二面角的大小为 90 12 如图 四棱锥P ABCD的底面是矩形 侧面PAD是正三角形 且侧面PAD 底面 ABCD E为侧棱PD的中点 1 求证 PB 平面EAC 2 若AD 2AB 2 求直线PB与平面ABCD所成角的正切值 用心 爱心 专心6 解 1 证明 连结BD交AC于O 连结EO 因为O E分别为BD PD的中点 所