《直线和圆》总结

1 直线和圆直线和圆 总结总结 复习回顾复习回顾 一 直线的方程一 直线的方程 1 1 直线的倾斜角 直线的倾斜角 1 定义定义 在平面直角坐标系中 对于一条与轴相交的直线 如果把轴绕着交点按逆时针方逆时针方xlx 向转向转到和直线直线 重合重合时所转的最小正角最小正角记为 那么就叫做直线的倾斜角 当直线 与轴重合或平行l lx 时 规定倾斜角为 2 倾斜角的范围倾斜角的范围 2 2 直线的斜率 直线的斜率 1 定义定义 倾斜角不是 90 的直线 它的倾斜角的 叫这条直线的斜率 即 kk 90 倾斜角为 的直线没有斜率 2 斜率公式斜率公式 经过两点 的直线的斜率为 111 P x y 222 P xy k 应用应用 证明三点共线 ABBC kk 如如 1 1 两条直线钭率相等是这两条直线平行的 条件 答 既不充分也不必要 3 3 直线的方程 直线的方程 1 点斜式点斜式 已知直线过点斜率为 则直线方程为 它不包括垂直于 00 xyk 轴的直线 x 2 斜截式斜截式 已知直线在轴上的截距为和斜率 则直线方程为 它不包括垂直ybk 于轴的直线 x 3 两点式两点式 已知直线经过 两点 则直线方程为 111 P x y 222 P xy 它不包括垂直于坐标轴的直线 4 截距式截距式 已知直线在轴和轴上的截距为 则直线方程为 它不包括 xy a b1 b y a x 5 一般式一般式 任何直线均可写成 A B 不同时为 0 的形式 0AxByC 4 4 点到直线的距离及两平行直线间的距离 点到直线的距离及两平行直线间的距离 1 点到直线的距离 d 00 P xy0AxByC 2 两平行线间的距离为 d 1122 0 0lAxByClAxByC 6 6 直线 直线与直线与直线的位置关系的位置关系 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1 1 直线与直线垂直垂直 1111 0lAxB yC 2222 0lA xB yC 1212 0A AB B 小练习 小练习 1 1 设直线和 1 60lxmy 2 2 320lmxym 当 时 当 时 m 1 l 2 lm 1 l 2 l 当 时与相交 当 时与重合m 1 l 2 lm 1 l 2 l 答 1 3 1 2 31且mm 2 2 已知直线 的方程为 则与 平行 且过点 1 3 的直线方程是l34120 xy l 答 3490 xy 3 3 两条直线与相交于第一象限 则实数的取值范围是 答 40axy 20 xy a 12a 二 圆的方程二 圆的方程 1 圆的标准方程 其中圆心为 半径为 22 2 xaybr 2 圆的一般方程 2222 0 DE4F0 xyDxEyF 2 特别提醒特别提醒 只有当时 方程才表示圆心为 22 DE4F0 22 0 xyDxEyF 22 DE 半径为的圆 22 1 4 2 DEF 3 为直径端点的圆方程 1122 A x yB xy 1212 0 xxxxyyyy 知识小结 知识小结 1 1 点与圆的位置关系 点与圆的位置关系 已知点及圆 00 M xy 22 2 C0 x aybrr 1 点 M 在圆 C 外 22 2 00 CMrxaybr 2 点 M 在圆 C 内 22 2 00 CMrxaybr 3 点 M 在圆 C 上 2 0 CMrxa 2 2 0 ybr 小练习 小练习 点 P 5a 1 12a 在圆 x y2 1 的内部 则 a 的取值范围是 答 13 1 a 2 2 直线与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 直线和圆有相交 相离 相切 0l AxByC 22 2 C xaybr 0r 可从代数和几何两个方面来判断 1 代数方法 判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况 相交 0 相离 0 相切 0 2 几何方法 比较圆心到直线的距离与半径的大小 设圆心到直线的距离为 d 则相交 相离 相切 dr dr dr 提醒提醒 判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷 3 3 圆与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 用两圆的圆心距与半径之间的关系判断 已知两圆的圆心分别为 12 OO 半径分别为 12 r r 则 1 当时 两圆外离 1212 O Orr 2 当时 两圆外切 1212 O Orr 3 当时 两圆相交 121212 O Orrrr 4 当时 两圆内切 1212 O O rr 5 当时 两圆内含 1212 0 O O rr 4 4 圆的切线与弦长 圆的切线与弦长 1 切线 过圆过圆上一点上一点圆的切线方程圆的切线方程是 222 xyR 00 P xy 2 00 xxyyR 过圆上一点圆的切线方程是 222 xaybR 00 P xy 2 00 xa xayayaR 2 弦长问题弦长问题 圆的弦长的计算 常用弦心距 弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解 即 d 1 2 ar 222 1 2 rda 过两圆 交点的圆 公共弦 系为 当时 方 1 0Cf x y 2 0Cg x y 0f x yg x y 1 程为两圆公共弦所在直线方程 0f x yg x y 注意 注意 解决直线与圆的关系问题时 要充分发挥圆的平面几何性质的作用平面几何性质的作用 如半径 半弦长 弦心距 构成直角三角形 切线长定理 割线定理 弦切角定理等等 3 规律方法指导规律方法指导 1 不论圆的标准方程还是一般方程 都有三个字母 或 的值需要确定 因 此需要三个独立的条件 利用待定系数法得到关于 或 的三个方程组成的方程 组 解之得到待定字母系数的值 2 求圆的方程的一般步骤 1 选用圆的方程两种形式中的一种 若知圆上三个点的坐标 通常选用一般方程 若给出圆心的 特殊位置或圆心与两坐标间的关系 通常选用标准方程 2 根据所给条件 列出关于 或 的方程组 3 解方程组 求出 或 的值 并把它们代入所设的方程中 得到所求圆的方 程 3 解析几何中与圆有关的问题 应充分运用圆的几何性质 如垂径定理 切线长定理等 帮助解题 经典例题精析经典例题精析 类型一 求圆的方程类型一 求圆的方程 1 1 1 求经过点 且圆心在直线上的圆的方程 2 求以 为顶点的三角形的外接圆的方程 思路点拨思路点拨 选用恰当的方程形式用待定系数法求出 或数形结合 利用圆的垂径定理 半弦 半径 和弦心距构成的直角三角形解决 解析 解析 1 1 方法一 待定系数法方法一 待定系数法 设圆心 则有 解得 圆心 半径 所求圆的方程为 方法二 数形结合方法二 数形结合 由垂径定理可知 圆心在线段的垂直平分线上即 直 线上 4 由得 圆心 半径 所求圆的方程为 2 2 方法一 待定系数法方法一 待定系数法 设圆的方程为 将三个已知点的坐标代入列方程组解得 解方程组得 故圆的方程为 即 方法二 数形结合方法二 数形结合 由图形知 三角形是以为斜边的直角三角形 故圆心为的中点 直径 故圆的方程为 总结升华 总结升华 在解决求圆的方程这类问题时 应当注意以下几点 1 确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程 2 根据几何关系 如本例的相切 弦长等 建立方程求得 或 3 待定系数法的应用 解答中要尽量减少未知量的个数 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 圆与轴相切 圆心在直线上 且直线截圆所得弦长为 求此圆的方程 答案答案 设圆方程为 且圆心在直线上 圆与轴相切 故圆方程为 又因为直线截 5 圆得弦长为 则有 解得 故所求圆方程为 或 变式变式 2 2 求经过点 且在轴上截得的弦长为 6 的圆的方程 答案答案 方法一方法一 设圆心 半径长 由垂径定理可以得到圆与轴两交点为 由 得且 MN 的中点坐标 则的垂直平分线方程为 PQ 的垂直平分线方程为 解方程组 得圆心 由得 解出 当时 圆心 圆的方程为 当时 圆心 圆的方程为 故所求圆的方程为 或 方法二方法二 设所求圆为 令得 在 x 轴上截得弦长为 将 代入圆方程可得方程组 解出 或 所求圆方程为或 变式变式 3 3 求过直线和圆的交点 且面积最小的圆的方程 答案答案 6 解法一 解法一 因为通过两个交点的动圆中 面积最小的是以此二交点为直径端点的圆 于是解方程组得交点 以为直径的圆的方程 解法二解法二 运用曲线系方程 设过直线与圆的交点的圆的方程为 配方得 要使圆面积最小 必须半径最小 由于 当且仅当时 最小 故所求圆的方程是 类型二 直线与圆的位置关系类型二 直线与圆的位置关系 2 2 1 过点向圆 C 所引切线的方程为 2 过点向圆 C 所引切线的方程为 思路点拨思路点拨 首先判定点与圆的位置关系 进一步确定切线 方程 的条数 1 若点在圆上 则只有一条切线 可以直接用点斜式求 2 若点在圆外 可以判定有两条切线 两个方程 再结合图形具体求解 应用点斜式求直线方程时 应注意斜率不存在的情况 解析 解析 1 点在圆 C 外 当切线垂直于轴时 如图 直线显然与圆 C 相切 当切线不垂直于轴时 设所求切线方程为 即 7 又圆心到切线的距离 即 解得 代入方程得 故所求切线方程为或 2 点在圆 C 上 直线的斜率 切线的斜率 故所求切线方程为即 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 求过点向圆 C 所引切线的方程 答案答案 点在圆 C 外 直线显然与圆 C 相切 设所求切线方程为 即 又圆心到切线的距离 即 解得 代入方程 得 故所求切线方程为或 变式变式 2 2 过点向圆 C 引切线 切点为 则 直线 的方程为 答案答案 8 3 3 直线 被圆 C 所截得的弦的长 思路点拨思路点拨 在解决有关圆的一类问题时 应先注意利用与圆有关的几何性质 解析 解析 圆 C 方程化为 故圆心 半径 圆心到直线 的距离 由垂径定理得弦长 举一反三 举一反三 变式 直线 被圆 C 所截得的弦的中点是 求直线 的方程 答案 4 4 已知动直线 与圆 1 求证 无论为何值 直线 与圆总相交 2 为何值时 直线 被圆所截得的弦长最小并求出该最小值 思路点拨思路点拨 直线 与圆相交圆心大直线的距离小于半径 或者直线经过圆内一定点 解析 解析 解法一解法一 设圆心到动直线 的距离为 则 当时 故动直线 与圆总相交 且当时 弦长最小 最小值为 解法二解法二 直线 变形为 令 解得 故动直线 恒过定点 而 9 点在圆内 故无论为何值 直线 与圆总相交 由平面几何知 弦心距越大 弦长越小 过点且垂直的直线被圆所截弦长最小 解得 此时弦长为 即当时 直线被圆所截弦长最小 最小值为 总结升华 总结升华 解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系 解法简便 运算量小 解法二从所要证的结论分析 什么样的动直线总与定圆相交 一组平行线 不可能 那么可能是过 定点的直线系 且定点必在圆内 于是抓住动直线与定圆的几何特征 数形结合 生动直观 迅速解决 了问题 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知直线 和圆 1 时 证明 与总相交 2 取何值时 被截得弦长最短 求此弦长 答案答案 1 将直线 整理成点斜式方程 则直线 过定点 斜率为 将圆整理为标准方程 则圆心 半径 点在圆内 故时 与总相交 2 由 当 与垂直时 被截得弦长最短 当即时 弦长最短 设弦端点为 则 即最短弦长为 10 变式变式 2 2 若直线与圆相交 判断点与圆的位置关系 答案答案 直线与圆相交 则圆心到直线距离小于半径 即 整理得 即点到圆心的距离大于半径 点在圆外 类型三 求轨迹方程及其他类型三 求轨迹方程及其他 5 5 设方程 若该方程表示一个圆 求的取 值范围及这时圆心的轨迹方程 思路点拨思路点拨 由二次方程表示圆的充要条件 可求得 m 的取值范围 要求圆心的轨迹方程 关键是找到圆心横纵坐标之间的关系 解析 解析 配方得 该方程表示圆 则有 得 此时圆心的轨迹方程为 消去得 由得 所求的轨迹方程是 总结升华 总结升华 注意方程表示圆的充要条件 另求轨迹方程时 一定要讨论变量的取值范围 6 6 如图 已知定圆的半径为 3 定直线 与圆相切 一动圆与 相切 并与圆相交的 公共弦恰为圆的直径 求动圆圆心的轨迹方程 思路点拨思路点拨 建立恰当的直角坐标系 充分利用这些几何性质 问题中的几何性质十分突出 切线 直径 垂直 圆心 如何利用这些几何性质呢 解析 解析 取过 O 点且与 平行的直线为轴 过 O 点且垂直于 的直线为轴 建立直角坐标系 设动圆圆心为 圆与圆的公共弦为 圆与 切 于点 则 11 为圆的直径 垂直平分于 由勾股定理得 而 化简得 这就是动圆圆心的轨迹方程 总结升华 总结升华 求轨迹方程的一般步骤 建系 设点 找关系式 化简 除瑕点 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 已知 y 轴右侧一动圆与一定圆外切 也与 y 轴相切 1 求动圆圆心的轨迹 C 2 过点作直线 与轨迹交于 两点 求一点 使得 是以点为 直角顶点的等腰直角三角形 答案答案 1 由题意知动点 M 到定点与到定直线的距离相等 则动点的轨迹是以定点为焦点 定直线为准线的抛物线 所以点的轨迹方程为 又点在原点时 圆并不存在 所以 动点 M 的轨迹 C 是以为顶点 以为焦点的抛物线除去原点 2 设直线 设 的两个实数根 由韦达定理得 所以 线段 AB 的中点坐标为 而 轴上存在一点 E 使 AEB 为以点 E 为直角顶点的等腰直角三角形 且 直线 EF 的方程为 12 令得 E 点坐标为 则 所以 解之得 则 E 点坐标为 变式变式 2 2 已知圆 x2 y2 16 A 2 0 若 P Q 是圆上的动点 且 求的中点的轨 迹方程 答案答案 设中点 如图 为的中点 由垂径定理得 而 化简得 这就是动圆圆心的轨迹方程 变式变式 3 3 已知两直线 有一动圆与 都相交 且 被截在圆内的两条弦的长度分别为定值 26 24 求动圆圆心的轨迹方程 答案答案 设点 动圆的半径为 到 的距离分别记为 由垂径定理 有 即 整理得 动圆圆心的轨迹方程为 7 7 已知圆 点为圆上一动点 求的最大值与最小 值 思路点拨思路点拨 解决与圆有关的最值问题 数形结合或利用圆的参数方程进行求解是两种非常重要和常见 的方法 解析 解析 方法一 方法一 设 则直线 与圆相切时 取得最大值与最小值 13 由圆心到直线 的距离 得 故 方法二 方法二 由 三角换元得 为参数 故 总结升华 总结升华 解决最值问题一定要注意结合所求最值代数式的几何含义 数形结合 把代数问题转化 为集合问题加以解决 或者有时利用圆锥曲线的参数方程 也能使问题迎刃而解 同学们 一定要注意 对 这两种方法的掌握 举一反三 举一反三 变式变式 已知圆 点为圆上一动点 1 求的最大值与最小值 2 若 求的最大值与最小值 答案答案 1 设 则 点 P x y 既在直线 l kx y 0 上 又在圆 C 上 即 l 与圆 C 有公共点 dC l 2 解得 k 2 令 u PA 2 PB 2 x 1 2 y2 x 1 2 y2 2 x2 y2 2 2 PO 2 2 欲求 u 最大 小 值 需求出 PO 的最大 小 值 而 PO max CO 2 2 7 PO min CO 2 5 2 3 umax 2 72 2 100 umin 2 32 2 20 练习 练习 14 一 选择题一 选择题 1 若三点共线 则的值为 1 2 3 32 2 ABCm m 2 1 2 1 2 2 2 过点和的直线与直线平行 则的值为 2 Am 4B m210 xy m A B C 2 D 1008 3 已知点 则线段的垂直平分线的方程是 1 2A 3 1BAB A B C D 524 yx524 yx52 yx52 yx 4