你能证明它们吗？--北师大九年级上

年年 级级初三学学 科科数学版版 本本北师大版 内容标题内容标题你能证明它们吗 1 2 编稿老师编稿老师孙月 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 年年 级级初三学学 科科数学版版 本本北师大版 内容标题内容标题你能证明它们吗 1 2 编稿老师编稿老师孙月 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 你能证明它们吗 1 有关等腰三角形的性质 2 有关等腰三角形的判定 二 教学目标 1 了解作为证明基础的几条公理的内容 能够证明与三角形有关性质和判定的定理 2 进一步体会证明的必要性 进一步掌握综合法的证明方法 并能用规范的数学语言来 表述整个推理论证过程 发展推理论证的能力 3 结合实例体会反证法的含义 4 在学习中注意积累一些数学思想方法 并运用到解决问题当中 三 重点 难点 重点 1 证明的基本步骤 2 掌握等腰三角形的性质和判定 3 理解和掌握反证法 难点 灵活运用综合法分析问题 并规范地书写证明过程 四 课堂教学 1 公理及其推论 公理 三边对应相等的两个三角形全等 SSS 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 公理 全等三角形的对应边相等 对应角相等 推论 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 2 等腰三角形的性质定理及其推论 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 已知 如图 在中 证 ABC ABAC BC A B C 证明 证明 取 BC 中点 D 连接 AD ABAC BDCD ADAD ABDACD BC 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三 线合一 符号语言 1 AB AC BAD CAD AD BC BD DC 2 AB AC AD BC BD DC BAD CAD 3 AB AC BD DC AD BC BAD CAD 例 1 等腰三角形两腰上的中线相等 已知 如图 在中 BD CE 是的中线 ABC ABAC ABC 求证 BD CE A B C D E 证明 证明 BD CE 是的中线 ABC 11 22 AEAB ADAC 又 ABAC AEAD 在和中ABD ACE ABAC AA AEAD ABDACE BDCE 推广 如果 那么吗 1 3 ADAC 1 3 AEAB BDCE 呢 你能总结出一个一般结论吗 1 4 ADAC 1 4 AEAB 想一想 等腰三角形两底角的平分线相等吗 你能推广出什么结论吗 高呢 3 等腰三角形的判定定理 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 符号语言 在中 B C AB ACABC 4 反证法 思考 在一个三角形中 如果两个角不相等 那么这两个角所对的边也不相等 你 认为这个结论正确吗 解决问题 如图 在中 已知 此时 AB 与 AC 要么相等 要么不等 ABC BC A B C 假设 AB AC 那么根据 等边对等角 定理可得 但已知条件是CB 与已知 相矛盾 因此 BC CB BC ABAC 概念 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相 矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 例 2 都是正数 且 那么这四个数中至少有一个 1 a 2 a 3 a 4 a 1234 1aaaa 大于或等于 1 4 证明 证明 先假设这四个数中没有一个大于或等于 即这四个数都小于 那么这四个 1 4 1 4 数的和一定小于 1 这与已知相矛盾 从而说明假设不成立 即这四 1234 1aaaa 个数中至少有一个大于或等于 1 4 典型例题典型例题 例 1 如图所示 AB DB 请你添加一个适当的条件使 则12 ABCDBE 添加的条件是 答案 答案 又 AB DB12 DBEABC A B C D E 1 2 利用 公理 需添加 BC BE SAS 利用 公理 需添加 ASAAD 利用 公理 需添加 AASCDEB 因此可填 BC BE 或中的任一个 AD CDEB 例 2 如图 在中 AD 是角平分线 求证 AC AB BD ABC 2BC A B C D 证明 证明 在 AC 上截取 AE AB 连 ED AE AB AD ADEADBAD AEDABD ED BD BAED 是的一个外角AED ECD AEDCEDC BCEDC 又 2BC 2 CCEDC CEDC ECED ECBD ACAEECABBD 即 AC AB BD 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 一 选择题 1 如图所示 AD AB AB BC 于 B BE AC 于 E 则有 12 A 1 EFDB FD BCC BF FD CDD BE EC A B C D E F 1 2 2 如图所示 点 E 在 ABC 外部 点 D 在 BC 上 DE 交 AC 于 F 若 123 AE AC 则 A ABD AFDB AFE ADC C AFE DFCD ABC ADE A B C D E F 1 2 3 3 等腰三角形的一个内角为 它一腰上的高与底边所夹的角的度数为 80 A B 或 C D 以上都不对10 10 40 40 4 如图所示 BC DB AC AE 则 90ACB DCE A B C D 60 50 45 30 A B C D E 5 在课外航模小组的活动中 小同同学要制作两只完全相同的帆船 如图是他制作的两 只船的船帆 现在小同已经测量出 BC FE AC DE 要断定两只船帆一样 只需测量出 A B C D 以上都不对BF FA CE A B C D E F 二 填空题 1 如图 已知 ABC 中 若 BE 是的平分线 36A 2ABCA ABC AC 14 则 AD DEAB C A B C D E 2 如图 已知 ABC 中 若 直角的顶点 P 是 BC 中90BAC ABAC EPF 点 两边 PE PF 分别交 AB AC 于点 E F 给出以下四个结论 1 AE CF 2 EPF 是等腰直角三角形 3 4 EF AP 1 2 ABCAEPF SS 四边形 当在 ABC 内绕顶点 P 旋转时 点 E 不与 A B 重合 上述结论中始终正确EPF 的有 A B C E F P 3 如图所示 在 ABC 中 过和的平分线交点 O 作ABAC ABC ACB 交 AC 于 E 则图中的等腰三角形有 个 它们分别是 DEBC A B C D E O 4 如图所示 在 ABC 中 要使 AD AE 需要添加的一个条件是 ABAC A B C D E 5 若等腰三角形腰上的高与底边的夹角 则它和顶角之间应满足的关系式为 三 证明 1 已知如图 AB AD 求证 CB CDABCADC A B C D 2 如图 已知在 ABC 中 AD 平分 求 的值 BAC ABBDAC BC A B D C 3 如图所示 在 ABC 中 AD 和 BE 是高 它们相交于点 H 且 AE BEABAC 求证 AH 2BD A B C D E H 4 如图 MB 2MA MC BC 求证 12 MAAC A B C D M 1 2 5 1 如图所示 P 是等腰 ABC 的底边 BC 上的一个动点 过点 P 作 BC 的垂线 交 AB 于点 Q 交 CA 的延长线于 R 观察 AR 与 AQ 它们有什么关系 证明你的猜想 2 如果点 P 沿着底边 BC 所在的直线 按由 C 向 B 的方向运动到 CB 的延长线上 时 第 1 题中的结论还成立吗 请在图中完成图形 并给出证明 P Q R A B C 1 有关等腰三角形的性质 2 有关等腰三角形的判定 二 教学目标 1 了解作为证明基础的几条公理的内容 能够证明与三角形有关性质和判定的定理 2 进一步体会证明的必要性 进一步掌握综合法的证明方法 并能用规范的数学语言来 表述整个推理论证过程 发展推理论证的能力 3 结合实例体会反证法的含义 4 在学习中注意积累一些数学思想方法 并运用到解决问题当中 三 重点 难点 重点 1 证明的基本步骤 2 掌握等腰三角形的性质和判定 3 理解和掌握反证法 难点 灵活运用综合法分析问题 并规范地书写证明过程 四 课堂教学 1 公理及其推论 公理 三边对应相等的两个三角形全等 SSS 公理 两边及其夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 公理 两角及其夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 公理 全等三角形的对应边相等 对应角相等 推论 两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 2 等腰三角形的性质定理及其推论 定理 等腰三角形的两个底角相等 简称 等边对等角 已知 如图 在中 证 ABC ABAC BC A B C 证明 证明 取 BC 中点 D 连接 AD ABAC BDCD ADAD ABDACD BC 推论 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 简称 三 线合一 符号语言 1 AB AC BAD CAD AD BC BD DC 2 AB AC AD BC BD DC BAD CAD 3 AB AC BD DC AD BC BAD CAD 例 1 等腰三角形两腰上的中线相等 已知 如图 在中 BD CE 是的中线 ABC ABAC ABC 求证 BD CE A B C D E 证明 证明 BD CE 是的中线 ABC 11 22 AEAB ADAC 又 ABAC AEAD 在和中ABD ACE ABAC AA AEAD ABDACE BDCE 推广 如果 那么吗 1 3 ADAC 1 3 AEAB BDCE 呢 你能总结出一个一般结论吗 1 4 ADAC 1 4 AEAB 想一想 等腰三角形两底角的平分线相等吗 你能推广出什么结论吗 高呢 3 等腰三角形的判定定理 定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形 简称 等角对等边 符号语言 在中 B C AB ACABC 4 反证法 思考 在一个三角形中 如果两个角不相等 那么这两个角所对的边也不相等 你 认为这个结论正确吗 解决问题 如图 在中 已知 此时 AB 与 AC 要么相等 要么不等 ABC BC A B C 假设 AB AC 那么根据 等边对等角 定理可得 但已知条件是CB 与已知 相矛盾 因此 BC CB BC ABAC 概念 先假设命题的结论不成立 然后推导出与定义 公理 已证定理或已知条件相 矛盾的结果 从而证明命题的结论一定成立 这种证明方法称为反证法 例 2 都是正数 且 那么这四个数中至少有一个 1 a 2 a 3 a 4 a 1234 1aaaa 大于或等于 1 4 证明 证明 先假设这四个数中没有一个大于或等于 即这四个数都小于 那么这四个 1 4 1 4 数的和一定小于 1 这与已知相矛盾 从而说明假设不成立 即这四 1234 1aaaa 个数中至少有一个大于或等于 1 4 典型例题典型例题 例 1 如图所示 AB DB 请你添加一个适当的条件使 则12 ABCDBE 添加的条件是 答案 答案 又 AB DB12 DBEABC A B C D E 1 2 利用 公理 需添加 BC BE SAS 利用 公理 需添加 ASAAD 利用 公理 需添加 AASCDEB 因此可填 BC BE 或中的任一个 AD CDEB 例 2 如图 在中 AD 是角平分线 求证 AC AB BD ABC 2BC A B C D 证明 证明 在 AC 上截取 AE AB 连 ED AE AB AD ADEADBAD AEDABD ED BD BAED 是的一个外角AED ECD AEDCEDC BCEDC 又 2BC 2 CCEDC CEDC ECED ECBD ACAEECABBD 即 AC AB BD 模拟试题模拟试题 答题时间 30 分钟 一 选择题 1 如图所示 AD AB AB BC 于 B BE AC 于 E 则有 12 A 1 EFDB FD BCC BF FD CDD BE EC A B C D E F 1 2 2 如图所示 点 E 在 ABC 外部 点 D 在 BC 上 DE 交 AC 于 F 若 123 AE AC 则 A ABD AFDB AFE ADC C AFE DFCD ABC ADE A B C D E F 1 2 3 3 等腰三角形的一个内角为 它一腰上的高与底边所夹的角的度数为 80 A B 或 C D 以上都不对10 10 40 40 4 如图所示 BC DB AC AE 则 90ACB DCE A B C D 60 50 45 30 A B C D E 5 在课外航模小组的活动中 小同同学要制作两只完全相同的帆船 如图是他制作的两 只船的船帆 现在小同已经测量出 BC FE AC DE 要断定两只船帆一样 只需测量出 A B C D 以上都不对BF FA CE A B C D E F 二 填空题 1 如图 已知 ABC 中 若 BE 是的平分线 36A 2ABCA ABC AC 14 则 AD DEAB C A B C D E 2 如图 已知 ABC 中 若 直角的顶点 P 是 BC 中90BAC ABAC EPF 点 两边 PE PF 分别交 AB AC 于点 E F 给出以下四个结论 1 AE CF 2 EPF 是等腰直角三角形 3 4 EF AP 1 2 ABCAEPF SS 四边形