等差、等比数列以及数列求和专题

1 6 2 等差数列等差数列 一 课程目标一 课程目标 1 理解等差数列的概念 2 掌握等差数列的通项公式与前 n 项和公式 3 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系 并能用等差数列的有关知识解决相应的问 题 4 了解等差数列与一次函数的关系 二 知识梳理二 知识梳理 1 定义定义 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的差等于同一个常数 那么这个数列 就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的公差 公差通常用字母 d 表示 数学语言表达式 an 1 an d n N d 为常数 或 an an 1 d n 2 d 为常数 2 通项公式通项公式 若等差数列 an 的首项是 a1 公差是 d 则其通项公式为 an a1 n 1 d 3 前前项和公式项和公式n 等差数列的前 n 项和公式 其中 n N a1为首项 22 1 1 1 n n aan d nn naS d 为公差 an为第 n 项 3 等差数列的常用性质等差数列的常用性质 已知数列 an 是等差数列 Sn是 an 的前 n 项和 2 1 通项公式的推广 Nmndmnaa mn 2 若 m n p q m n p q N 则有 特别的 当 qpnm aaaa 时 pnm2 pnm aaa2 3 等差数列 an 的单调性 当 d 0 时 an 是递增数列 当 d 0 时 an 是递减数列 当 d 0 时 an 是常数列 4 若 an 是等差数列 公差为 d 则 ak ak m ak 2m k m N 是公差为 md 的等 差数列 5 若是等差数列 则仍是等差数列 nn ba nn qbpa 4 与等差数列各项和相关的性质 1 若是等差数列 则也是等差数列 其首项与的首项相同 公差为 n a n Sn n a 的公差的 n a 2 1 2 数列 也是等差数列 mmmmm SSSSS 232 3 关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质 若项数为 则 an2 1 n n a a S S ndSS 偶偶 奇奇 奇奇偶偶 若项数为 则 b12 n n annS 1 偶偶n naS 奇奇 1 n n S S aSS n 偶偶 奇奇 奇奇偶偶 4 若两个等差数列的前项和分别为 则 nn ban nn TS 12 12 n n n n T S b a 5 等差数列的前 n 项和公式与函数的关系 1 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B 为常数 n d an d S 22 1 2 2 在等差数列 an 中 a1 0 d 0 则 Sn存在最大值 若 a1 0 d 0 则 Sn存在最 小值 3 三 考点梳理三 考点梳理 1 等差数列的概念及运算 例 1 2016 全国 卷 已知等差数列 an 前 9 项的和为 27 a10 8 则 a100 A 100 B 99 C 98 D 97 例 2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn S3 6 S4 12 则 S6 练习 1 2015 全国 卷 已知 an 是公差为 1 的等差数列 Sn为 an 的前 n 项和 若 S8 4S4 则 a10等于 A B C 10 D 12 17 2 19 2 2 等差数列的性质 例 1 2015 全国 卷 设 Sn是等差数列 an 的前 n 项和 若 a1 a3 a5 3 则 S5 A 5 B 7 C 9 D 11 4 例 2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S3 9 S6 36 则 a7 a8 a9等于 A 63 B 45 C 36 D 27 例 3 若一个等差数列前 3 项的和为 34 最后 3 项的和为 146 且所有项的和为 390 则这 个数列的项数为 A 13 B 12 C 11 D 10 例 4 2015 广东卷 在等差数列 an 中 若 a3 a4 a5 a6 a7 25 则 a2 a8 例 5 2016 武汉调研 已知数列 an 是等差数列 a1 a7 8 a2 2 则数列 an 的公差 d 等于 A 1 B 2 C 3 D 4 例 6 设等差数列 an bn 的前 n 项和分别为 Sn Tn 若对任意自然数 n 都有 Sn Tn 2n 3 4n 3 则 的值为 a9 b5 b7 a3 b8 b4 3 等差数列与函数 例 1 等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 已知 a1 13 S3 S11 当 Sn最大时 n 的值是 A 5 B 6 C 7 D 8 5 例 2 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 0 且 则当 Sn取最大值时 n 的值为 a6 a5 9 11 A 9 B 10 C 11 D 12 例 3 已知等差数列 an 满足 a1 a2 a3 a101 0 则有 A a1 a101 0 B a2 a100 0 C a3 a99 0 D a51 51 例 4 已知正项等差数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 S12 24 则 a6 a7的最大值为 A 36 B 6 C 4 D 2 例 5 设 是公差为 d 的无穷等差数列的前 n 项和 则下列命题错误的是 n S0 d n a A 若 d 0 则数列 有最大项 n S B 若数列 有最大项 则 d0 n S Nn n S D 若对任意 均有 0 则数列 为递增数列 Nn n S n S 6 例 6 设等差数列 an 满足 a2 7 a4 3 Sn是数列 an 的前 n 项和 则使得 Sn 0 成立的最 大的自然数 n 是 A 9 B 10 C 11 D 12 方法总结 求等差数列前方法总结 求等差数列前 n 项和的最值 常用的方法 项和的最值 常用的方法 1 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 利用等差数列的单调性 求出其正负转折项 2 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 利用性质求出其正负转折项 便可求得和的最值 3 将等差数列的前将等差数列的前 n 项和项和 Sn An2 Bn A B 为常数为常数 看作二次函数 根据二次函数的性质看作二次函数 根据二次函数的性质 求最值求最值 6 3 等比数列等比数列 1 课程目标课程目标 1 理解等比数列的概念 掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式 2 能在具体的问题情境中识别数列的等比关系 并能用有关知识解决相应的问题 7 3 了解等比数列与指数函数的关系 2 知识梳理知识梳理 1 等比数列的概念 1 如果一个数列从第 2 项起 每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数 那么这个数 列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的公比 公比通常用字母 q q 0 表示 数学语言表达式 q n 2 q 为非零常数 或 q n N q 为非零常数 an an 1 an 1 an 2 如果三个数 a G b 成等比数列 那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项 其中 G ab 2 等比数列的通项公式及前 n 项和公式 1 若等比数列 an 的首项为 a1 公比是 q 则其通项公式为 an a1qn 1 通项公式的推广 an amqn m 2 等比数列的前 n 项和公式 当 q 1 时 Sn na1 当 q 1 时 Sn a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q 3 等比数列的性质 已知 an 是等比数列 Sn是数列 an 的前 n 项和 1 若 k l m n k l m n N 则有 ak al am an 2 数列 是等比数列 等也是等比数列 nnnn baacac 0 n b 2 n a n a 1 3 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列 即 ak ak m ak 2m 仍是等比数列 公比 为 qm 4 当 q 1 或 q 1 且 n 为奇数时 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 其公比为 qn 5 等比数列 an 的单调性 当 q 1 a1 0 或 0 q 1 a1 0 时 数列 an 是递增数列 8 当 q 1 a1 0 或 0 q 1 a1 0 时 数列 an 是递减数列 当 q 1 时 数列 an 是常数列 6 当是偶数时 nqSS 奇奇偶偶 当为奇数时 nqSaS 偶偶奇奇1 3 考点梳理考点梳理 1 等比数列的概念及运算 例 1 在单调递减的等比数列中 若 则 n a1 3 a 2 5 42 aa 1 a A 2 B 4 C D 2 22 例 2 公比不为 1 的等比数列满足 若 则的值为 n a18 7465 aaaa9 1 m aam A 8 B 9 C 10 D 11 例 3 2015 全国 卷 在数列 an 中 a1 2 an 1 2an Sn为 an 的前 n 项和 若 Sn 126 则 n 2 等比数列的性质 例 1 2016 全国 卷 设等比数列满足 a1 a3 10 a2 a4 5 则 a1a2 an的最大值为 9 例 2 设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn 若 3 则 S6 S3 S9 S6 A 2 B C D 3 7 3 8 3 例 3 2015 全国 卷 已知等比数列 an 满足 a1 3 a1 a3 a5 21 则 a3 a5 a7 A 21 B 42 C 63 D 84 例 4 设各项都是正数的等比数列 an Sn为前 n 项和 且 S10 10 S30 70 那么 S40等于 A 150 B 200 C 150 或 200 D 400 或 50 例 5 在正项等比数列 an 中 已知 a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则 n 等于 A 12 B 13 C 14 D 15 例 6 数列 an 中 已知对任意 n N a1 a2 a3 an 3n 1 则 a a a a 2 12 22 3 等于 2 n 10 A 3n 1 2 B 9n 1 C 9n 1 D 3n 1 1 2 1 4 例 7 在等比数列 an 中 a2 1 则其前 3 项的和 S3的取值范围是 例 8 已知数列 an 满足 log3an 1 log3an 1 n N 且 a2 a4 a6 9 则 的值是 log 975 3 1 aaa A 5 B C 5 D 1 5 1 5 例 9 在各项均为正数的等比数列 an 中 则1212 53 aa 7362 2 3 2aaaaa A 8 B 6 C 4 D 248 例 10 若等比数列的前项均为正数 且 则 n an 5 1291110 2eaaaa 2021 aaalnlnln 11 6 3 数列求和数列求和 一 课程目标 一 课程目标 1 熟练掌握等差 等比数列的前 n 项和公式 2 掌握非等差数列 非等比数列求和的几种常见方法 二 知识梳理二 知识梳理 1 求数列的前 n 项和的方法 1 公式法 等差数列的前 n 项和公式 Sn na1 d n a1 an 2 n n 1 2 等比数列的前 n 项和公式 当 q 1 时 Sn na1 当 q 1 时 Sn a1 1 qn 1 q a1 anq 1 q 2 分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项 使其转化为几个等差 等比数列 再求解 3 裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差求和 正负相消剩下首尾若干项 4 倒序相加法 12 把数列分别正着写和倒着写再相加 即等差数列求和公式的推导过程的推广 5 错位相减法 主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和 即等比数列求 和公式的推导过程的推广 2 常见的裂项公式 1 1 11 1 1 nnnn 2 1212 1 nn 12 1 12 1 2 1 nn 3 nn nn 1 1 1 三 三 考点梳理考点梳理 1 求数列的通项公式 求数列的通项公式 例 1 已知数列 an 满足 其中 n N 设 求证 数列 n n a aa 4 1 11 11 12 2 n n a b 是等差数列 并求出的通项公式 n b n a 例 2 已知数列 an 满足 a1 an 1 n N 求证 数列 2 是等比数列 并 7 3 1a4 a3 n n n a 1 且求出数列 an 的通项公式 13 例 3 已知数列的前 n 项和为 Sn n N 且 n 2 数列 n a 4 3 1 a 2 1 11 nnn aSS 满足 且 n N 且 n 2 n b 4 37 1 b13 1 nbb nn 求数列的通项公式 n a 求证 数列为等比数列 nn ab 例 4 在数列中 已知 证明数列是等比数 n a nnn aaaaa2231 1221 nn aa 1 列 并求数列的通项公式 n a 例 5 数列满足 设 求数列 n a2 1 a n n n n n an a a 2 2 1 2 1 1 Nn n n n a b 2 的通项公式 n b 14 例 6 数列 an 满足 且 n N 122 3211 aaaa 02 21 nnn aaa 1 求数列 an 的通项公式 2 令 求数列 bn 的前 n 项和 n b 1 4 nna a 1 2 n n a 15 例 7 数列 an 中 且 3 7 3 5 21 aa nnn aaa 3 2 3 5 12 Nn 1 求 43 aa 2 求数列的通项公式 n a 求通项公式的方法 求通项公式的方法 16 利用利用 nnn aSS 1 根据目标数列构造等差 等比数列 然后通过等差 等比数列的通项公式反推出原数列根据目标数列构造等差 等比数列 然后通过等差 等比数列的通项公式反推出原数列 的通项公式 的通项公式 如果递推公式是有数列的前后三项组成 可先构造等比或等差数列 然后按照如果递推公式是有数列的前后三项组成 可先构造等比或等差数列 然后按照 2 的步骤的步骤 进行反推 进行反推 2 数列求和数列求和 1 分组转化法 若数列 的通项公式为 且 为等差或等比数列 可采用分组 n c n c nn ba n a n b 求和法求数列 的前 n 项和 n c 若数列 的通项公式为 其中数列 是等比数列或等差数 n c n c an n为奇数 bn n为偶数 n a n b 列 可采用分组求和法求的前 n 项和 n a 例 1 在数列中 已知 n a 4 1 4 1 1 1 n n a a a nn ab 4 1 32log Nn 1 求数列的通项公式 n a 2 求证 数列是等差数列 n b 3 设数列 满足 求 的前 n 项和 n c n c nn ba n c n S 17 例 2 已知是等比数列 前 n 项和为 Sn n N 且 n a 321 211 aaa 63 6 S 1 求的通项公式 n a 2 若对任意的 n N 是和的等差中项 求数列的前项和 n b n a 2 log 12 n alog 2 1 n nb n2 18 例 3 数列 1 3 5 7 2n 1 的前 n 项和 Sn的值等于 1 2 1 4 1 8 1 16 1 2n A n2 1 B 2n2 n 1 1 2n 1 2n C n2 1 D n2 n 1 1 2n 1 1 2n 例 4 数列 an 的通项公式 其前 n 项和为 Sn 则 S2 016等于 2 n nancos A 1 008 B 2 016 C 504 D 0 2 裂项相消法 裂项相消法 利用裂项相消法求和时 应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项 也有可能前 面剩两项 后面也剩两项 将通项公式裂项后 有时候需要调整前面的系数 使裂开的两项之差和系数之积与原通 项公式相等 19 例 1 2015 全国 卷 Sn为数列 an 的前 n 项和 已知 an 0 a 2an 4Sn 3 2 n 1 求 an 的通项公式 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和 1 anan 1 例 2 设 Sn为等差数列 an 的前 n 项和 已知 S3 a7 a8 2a3 3 1 求 an 2 设 bn 求数列 bn 的前 n 项和为 Tn 1 Sn 20 例 3 已知数列 an 的前 n 项和 Sn an 1 n 2 1 2 n N 数列 bn 满足 bn 2nan 1 求证数列 bn 是等差数列 并求数列 an 的通项公式 2 设 cn n 2 a n log 数列 2nnc c 2 的前 n 项和为 Tn 求满足 Tn 21 25 n N 的 n 的最 大值 21 例 4 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn a1 1 且 an 1 2Sn 1 n N 1 求数列 an 的通项公式 2 令 c log3a2n bn 2nnc c 1 记数列 bn 的前 n 项和为 Tn 若对任意 n N Tn 恒 成立 求实数 的取值范围 22 3 错位相减法 错位相减法 一般地 如果数列 an 是等差数列 bn 是等比数列 求数列 an bn 的前 n 项和时 可 采用错位相减法求和 一般是和式两边同乘以等比数列 bn 的公比 然后作差求解 在写出 Sn 与 qSn 的表达式时应特别注意将两式 错项对齐 以便下