高中数学 综合测试题4 新人教A版选修2-2

用心 爱心 专心1 高中新课标数学选修 高中新课标数学选修 2 22 2 综合测试题 综合测试题 一 选择题 1 下列说法正确的是 若 0 n fx 则 0 f x是函数 f x的极值 若 0 f x是函数 f x的极值 则 f x在 0 x处有导数 函数 f x至多有一个极大值和一个极小值 定义在R上的可导函数 f x 若方程 0fx 无实数解 则 f x无极值 答案 2 复数 zabi ab R 则 2 z R的充要条件是 22 0ab 0a 且0b 0ab 0a 答案 3 设 fx 是函数 f x的导函数 yfx 的图象如图所示 则 yf x 的图象最有可能的是 答案 4 下列计算错误的是 sin 0 xdx 1 0 2 3 xdx 用心 爱心 专心2 22 0 2 cos2cosxdxxdx 2 sin 0 xdx 答案 5 若非零复数 1 z 2 z满足 1212 zzzz 则 1 OZ 与 2 OZ 所成的角为 30 45 60 90 答案 6 已知两条曲线 2 1yx 与 3 1yx 在点 0 x处的切线平行 则 0 x的值为 0 2 3 或 2 3 0 或 1 答案 7 我们把 1 4 9 16 25 这些数称做正方形数 这是因为这些数目的点子可以排成 一个正方形 如下图 试求第n个正方形数是 1 n n 1 n n 2 n 2 1 n 答案 8 342005 iii 的值为 i i 1 0 答案 9 函数 24 2yxx 则y有 极大值为 1 极小值为 0 用心 爱心 专心3 极大值为 1 无极小值 最大值为 1 最小值为 0 无极小值 也无最小值 答案 10 下列推理合理的是 f x是增函数 则 0fx 因为 ab ab R 则22aibi ABC 为锐角三角形 则sinsincoscosABAB 直线 12 ll 则 12 kk 答案 11 2abc 的一个充分条件是 ac 或bc ac 且bc ac 且bc ac 或bc 答案 12 函数 32 1 48 2 f xaxaxaxb 的图象关于原点中心对称 则 f x在 4 4 上 单调递增 单调递减 4 0 单调递增 0 4 单调递减 4 0 单调递减 0 4 单调递增 答案 二 填空题 13 设xy R 且 5 11213 xy iii 则xy 答案 6 14 在空间 这样的多面体 它有奇数个面 且它的每个面又都有奇数条边 填 不存在 或 存在 用心 爱心 专心4 答案 不存在 15 设 x f xe 则 4 2 f x dx 答案 24 ee 16 已知 ABC 中 ADBC 于D 三边分别是abc 则有coscosacBbC 类比上述结论 写出下列条件下的结论 四面体PABC 中 ABC PABPBCPCA 的面积分别是 123 SSSS 二面角 PABCPBCAPACB 的度数分别是 则S 答案 123 coscoscosSSS 三 解答题 17 求函数 32232 11 32 yxaaxa xa 的单调递减区间 解 2232 yxaaxaxa xa 令0y 得 2 0 xa xa 1 当0a 时 不等式解为 2 axa 此时函数的单调递减区间为 2 aa 2 当01a 时 不等式解为 2 axa 此时函数的单调递减区间为 2 aa 3 当1a 时 不等式解为 2 axa 此时函数的单调递减区间为 2 aa 18 设复数cossin2 cossin zi 当 为何值时 z取得最大值 并求此 最大值 解 22 cossin2 cossin 42 2 cossin 44cos 4 z 当 2 4 kk Z时 z的最大值为2 2 用心 爱心 专心5 19 在数列 n a中 1 1 3 a 且前n项的算术平均数等于第n项的21n 倍 n N 1 写出此数列的前 5 项 2 归纳猜想 n a的通项公式 并加以证明 解 1 由已知 1 1 3 a 123 21 n n aaaa na n 分别取2 3 4 5n 得 21 111 53 515 aa 312 111 145735 aaa 4123 111 277963 aaaa 51234 111 449 1199 aaaaa 所以数列的前 5 项是 1 1 3 a 2345 1111 15356399 aaaa 2 由 1 中的分析可以猜想 1 21 21 n a nn 下面用数学归纳法证明 当1n 时 公式显然成立 假设当nk 时成立 即 1 21 21 k a kk 那么由已知 得 1231 1 21 1 kk k aaaaa ka k 即 2 1231 23 kk aaaakk a 所以 22 1 2 23 kk kk akk a 即 1 21 23 kk kaka 又由归纳假设 得 1 1 21 23 21 21 k kka kk 所以 1 1 21 23 k a kk 即当1nk 时 公式也成立 由 和 知 对一切n N 都有 1 21 21 n a nn 成立 20 如图 在曲线 2 0 yxx 上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为 1 12 试求 1 切点A的坐标 2 过切点A的切线方程 用心 爱心 专心6 解 设切点 00 A xy 由2yx 过A点的切线方程为 000 2 yyx xx 即 2 00 2yx xx 令0y 得 0 2 x x 即 0 0 2 x C 设由曲线过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S 0 0 233 00 0 11 33 x x ABCAOBAOB SSSSx dxxx 曲边 曲边 230 000 111 2224 ABC x SBC ABxxx 即 333 000 1111 341212 Sxxx 所以 0 1x 从而切点 11 A 切线方程为21yx 21 由于某种商品开始收税 使其定价比原定价上涨x成 即上涨率为 10 x 涨价后商品 卖出的个数减少bx成 税率是新价的a成 这里a b均为常数 且10a 用A表示过 去定价 B表示卖出的个数 1 设售货款扣除税款后 剩余y元 求y关于x的函数解析式 2 要使y最大 求x的值 解 1 定价上涨x成 即为1 10 x A 时 卖出的个数为1 10 bx B 纳税a成后 剩余 111 101010 xbxa yAB 2 上式整理得 2 1 11 101001010 abb yABxx 当 1 1 10501010 abb yABx 令0y 则 5 1 b x b 时 2 max 1 1 104 ab yAB b 22 已知函数 2 3 2 f xxxa a R 1 若函数 f x的图象上有与x轴平行的切线 求a的范围 2 若 1 0f 求函数 f x的单调区间 证明对任意的 1 x 2 10 x 用心 爱心 专心7 不等式 12 5 16 f xf x 恒成立 解 32 33 22 f xxaxxa 2 3 32 2 fxxax 1 函数 f x的图象有与x轴平行的切线 0fx 有实数解 则 2 3 4430 2 a 2 9 2 a 所以a的取值范围是 33 22 22 2 1 0f 3 320 2 a 9 4 a 32 9327 428 f xxxx 2 931 331 222 fxxxxx 由 0fx 得1x 或 1 2 x 由 0fx 得 1 1 2 x f x 的单调递增区间是 1 1 2 单调减区间为 1 1 2 易知 f x的极大值为 25 1 8 f f x的极小值为 149 216 f 又 27 0 8 f f x 在 10 上的最大值 27 8 M 最小值 49 16 m 对任意 12 10 xx 恒有 12 27495 81616 f xf xMm 高中新课标数学选修 高中新课标数学选修 2 22 2 综合测试题 综合测试题 用心 爱心 专心8 一 一 选择题 每小题选择题 每小题 5 5 分 共分 共 6060 分 分 1 若复数 i iz 1 2 1 2 则z的虚部等于 A 1 B 3 C i D i 3 2 xf和 xg是 R 上的两个可导函数 若 xf xg 则有 A xgxf B xgxf 是常数函数 C 0 xgxf D xgxf 是常数函数 3 一个物体的运动方程是xtts cos3 x为常数 则其速度方程为 A 1sin3cos3 tttv B tttvsin3cos3 C tvsin3 D tttvsin3cos3 4 设复数z满足i z z 1 1 则 1 z 的值等于 A 0 B 1 C 2 D 2 5 定积分 2 0 cossin xdxx的值等于 A 1 B 2 1 C 4 1 D 0 6 已知ba 是不相等的正数 2 ba x bay 则yx 的大小关系是 A yx B yx C yx2 D 不确定 7 若函数 1 6 2 x x y 则其 A 有极小值3 极大值 3 B 有极小值6 极大值 6 C 仅有极大值 6 D 无极值 8 已知复数z的模等于 2 则 iz 的最大值等于 A 1 B 2 C 5 D 3 9 设 x f 是函数 xf的导函数 xfy 的图象如图所示 则 xfy 的图象最有可能的是 x y O 1 2 用心 爱心 专心9 10 若2 1 1 1 1 nn i i i i 则 n 的值可能为 A 4 B 5 C 6 D 7 11 若函数xxxf12 3 在区间 1 1 kk上不是单调函数 则实数k的取值范围是 A 3 k或11 k或3 k B 13 k或31 k C 22 k D 不存在这样的实数k 12 定义复数的一种运算 12 12 2 zz zz 等式右边为普通运算 若复数zabi 且 实数 a b 满足3ab 则 z z最小值为 A 9 2 B 3 2 2 C 3 2 D 9 4 二二 填空题 每小题填空题 每小题 4 4 分 共分 共 1616 分 分 13 设复数 2 1 21 3 1 z z ziziz 则在复平面内对应的点位于第 象限 14 方程0496 23 xxx实根的个数为 15 已知函数cbxaxxxf 23 x 2 2 表示的曲线过原点 且在x 1 处的 切线斜率均为 1 有以下命题 f x 的解析式为 xxxf4 3 x 2 2 f x 的极值点有且仅有一个 f x 的最大值与最小值之和等于零 其中正确的命题 是 16 仔细观察下面 4 个数字所表示的图形 请问 数字 100 所代表的图形中有 方格 三三 解答题 共解答题 共 7474 分 分 用心 爱心 专心10 17 设复数 i ii z 2 1 3 1 2 若inmzz 1 2 求实数 m n 的值 18 若函数xaxxxf2 2 1 ln 2 存在单调递减区间 求实数 a 的取值范围 19 观察给出的下列各式 1 110tan60tan60tan20tan20tan10tan 000000 2 15tan70tan70tan15tan15tan5tan 000000 由以上两式成立 你能得到一个 什么的推广 证明你的结论 20 满足 Z Z 5 是实数 且 Z 3 的实部与虚部互为相反数的虚数 Z 是否存在 若存在 求 出虚数 Z 若不存在 请说明理由 21 已知函数 f x x2 2 3 x a a R 1 若函数 f x 的图象上有与 x 轴平行的切线 求 a 的范围 2 若 f 1 0 I 求函数 f x 的单调区间 II 证明对任意的 x1 x2 1 0 不等式 f x1 f x2 16 5 恒成立 22 已知函数mxxxf 2ln 在区间 1 0 上是增函数 1 求实数 m 的取值范围 2 若数列 n a满足 2ln 1 0 11 Nnaaaa nnn 证明 10 1 nn aa 参考答案参考答案 一 选择题 1 B 2 D 3 B 4 C 5 B 6 B 7 A 8 D 9 C 10 A 11 B 12 B 二 填空题 13 四 14 2 15 1 3 16 20201 三 解答题 17 解析 i ii ii i i i ii i ii z 1 2 2 2 3 2 3 2 332 2 1 3 1 2 将 iz 1代入inmzz 1 2 得inimi 1 1 1 2 所以 用心 爱心 专心11 iimnm 1 2 于是 1 2 1 m nm 得4 3 nm 18 解析 由于 12 2 1 2 x xax ax x xf 因为函数f x 存在单调递减区间 所 以 xf0 应有x 0 的解 当a 0 时 y ax2 2x 1 为开口向上的抛物线 ax2 2x 1 0 总有x 0 的解 当a0 总有x 0 的解 则 4 4a 0 且方程ax2 2x 1 0 至少有一正 根 此时 1 a 0 综上所述 a的取值范围为 1 0 0 19 解析 可以观察到 00000000 9070155 90602010 故可以猜想此推广 式为 若 2 且 都不等于 2 Zkk 则有 1tantantantantantan 证明如下 由 2 得 2 所以 cot 2 tan tan 又因为 tantan1 tantan tan 所以 tantan1 cot tantan1 tan tantan 所以 1tantancot tantan1 tantantantantantantan 20 解析 设存在虚数 Z x yi x y R 且 y 0 5 555 2222 i yx y y yx x x yix yix z z 由已知得 yx yx y y 3 0 5 22 因为 1 2 2 1 3 5 0 22 y x y x yx yx y或解之得 221满足以上条件或存在虚数iZiZ 用心 爱心 专心12