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追及和相遇问题 1 追及相遇问题解题指导 解题关键条件 追及物体与被追及物体速度相等 1 类型及追及的条件 初速为零的匀加速直线运动的物体追赶同向匀速 或匀减速 直线运动的物体时 追上之前两者距离最大的条件为 追及者的速度等于被追及者的速度 2 情境设置 例题1 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 思考分析 1 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 分析 汽车追上自行车之前 v汽v自时 x变小 结论 初速度为零的匀加速直线运动物体追及同向匀速物体时 追上前具有最大距离的条件 两者速度相等 3 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 思考分析 1 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 解法一物理分析法 两者速度相等时 两车相距最远 速度关系 v汽 at v自 t v自 a 6 3 2s x v自t at2 2 6 2 3 22 2 6m 4 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 思考分析 1 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 解法二用数学求极值方法来求解 设汽车在追上自行车之前经过t时间两车相距最远 x x1 x2 v自t at2 2 位移关系 x 6t 3t2 2 由二次函数求极值条件知 t b 2a 6 3s 2s时 x最大 xm 6t 3t2 2 6 2 3 22 2 6m 5 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 思考分析 1 汽车从路口开动后 在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远 此时距离是多少 解法三用图象求解 t v自 a 6 3 2s 在相遇之前 在t时刻两车速度相等时 自行车的位移 矩形面积 与汽车位移 三角形面积 之差 即斜线部分 达最大 所以 6 一辆汽车在十字路口等候绿灯 当绿灯亮起时汽车以3m s2的加速度开始行驶 恰在这时一辆自行车以6m s的速度匀速驶来 从后面超过汽车 2 什么时候汽车追上自行车 此时汽车的速度是多少 方法2 由图可看出 在t时刻以后 由v自线与v汽线组成的三角形面积与标有斜线的三角形面积相等时 两车的位移相等 即相遇 所以由图得相遇时 t 2t 4sv 2v自 12m s 解 方法1 汽车追上自行车时 二车位移相等 位移关系 则vt at 2 2 6 t at 2 2 t 4s v at 3 4 12m s 7 匀速运动的物体追赶同向匀加速直线运动的物体 追赶时两者距离最小 包括追及 的条件为 追赶者的速度等于被追赶者的速度 例2 一车从静止开始以1m s2的加速度前进 车后相距x0为25m处 某人同时开始以6m s的速度匀速追车 能否追上 如追不上 求人 车间的最小距离 情境设置 8 例2 一车从静止开始以1m s2的加速度前进 车后相距x0为25m处 某人同时开始以6m s的速度匀速追车 能否追上 如追不上 求人 车间的最小距离 解析 依题意 人与车运动的时间相等 设为t 当人追上车时 两者之间的位移关系为 x车 x0 x人 即 at2 2 x0 v人t 由此方程求解t 若有解 则可追上 若无解 则不能追上 代入数据并整理得 t2 12t 50 0 b2 4ac 122 4 50 1 56 0 所以 人追不上车 9 在刚开始追车时 由于人的速度大于车的速度 因此人车间的距离逐渐减小 当车速大于人的速度时 人车间的距离逐渐增大 因此 当人车速度相等时 两者间距离最小 at v人t 6s 在这段时间里 人 车的位移分别为 x人 v人t 6 6 36m x车 at 2 2 1 62 2 18m x x0 x车 x人 25 18 36 7m 10 结论 速度大者减速追赶速度小者 追上前在两个物体速度相等时 有最小距离 即必须在此之前追上 否则就不能追上 11 解析 作汽车与人的运动草图如下图甲和v t图象如下图乙所示 因v t图象不能看出物体运动的初位置 故在图乙中标上两物体的前 后 由图乙可知 在0 6s时间内后面的人速度大 运动得快 前面的汽车运动得慢 即0 6s内两者间距越来越近 因而速度相等时两者的位置关系 是判断人能否追上汽车的条件 图甲 图乙 x 要追上 x x0 12 由v at 得t v a 6s 故人能否追上汽车取决于t 6s时人与车分别运动的位移之差是否大于或等于二者开始运动时的最大距离 因为 x vt 1 2at2 18m 看出 x x0 所以人追不上汽车 那么人与汽车的最小距离为xmin x0 x 7m 答案 人追不上汽车 人与汽车最小距离为7m 13 注意 分析相遇问题时 一定要分析所需满足的两个关系 1 两个物体运动的时间关系 2 两个物体相遇时必须处于同一位置 即 两个物体的位移关系 14 例题3 经检测汽车A的制动性能 以标准速度20m s在平直公路上行使时 制动后40s停下来 现A在平直公路上以20m s的速度行使发现前方180m处有一货车B以6m s的速度同向匀速行使 司机立即制动 能否发生撞车事故 6 B 20 A S 40 S 196m 180m 匀减速直线运动的物体追赶同向匀速 或匀加速 直线运动的物体时 恰好追上 或恰好追不上 的临界条件为 即追尾时 追及者速度等于被追及者速度 当追及者速度大于被追及者速度 能追上 反之追不上 15 为检测汽车 的制动性能 以标准速度20m s在平直公路上行驶时 制动后40s可停下来 现 在平直公路上以20m s的速度行使 发现前方180m处有一货车 以6m s的速度同向匀速行使 司机立即制动 会不会发生撞车事故 解析 这是典型的追及问题 关键是要弄清不相撞的条件 汽车A与货车B同速时 两车位移差和初始时刻两车距离关系是判断两车会否相撞的依据 当两车同速时 两车位移差大于初始时刻的距离时 两车相撞 小于 等于时 则不相撞 先计算 车的加速度a 0 5m s2 在追及的过程 车减速至v 6m s的时间 16 在这段时间内 sA v0t at 2 364m s vt 168m sA s 196m 180m 所以两车相撞 另外 本题也可以用不等式求解 设在t时刻两物体相遇 则有 v0t at2 180 vBt 即 20t 0 5t2 180 6t 整理得 t2 56t 720 0 因为 562 4 720 256 0 所以两车相撞 答案 会发生撞车事故 17 追及问题中的临界条件 速度小者追速度大者 追上前两个物体速度相等时 有最大距离 速度大者减速追赶速度小者 追上前在两个物体速度相等时 有最小距离 即必须在此之前追上 否则就不能追上 18 小结 追及和相遇问题的分析方法 分析两物体运动过程 画运动示意图 由示意图找两物体位移关系 据物体运动性质列 含有时间的 位移方程 19 分析追及和相遇问题时要注意 1 一定要抓住一个条件两个关系 1 一个条件是两个物体速度相等时满足的临界条件 如两个物体的距离是最大还是最小 是否恰好追上等 2 两个关系是时间关系和位移关系时间关系指两