高中数学 第一章章末小结素材 新人教A版必修1

用心 爱心 专心103 章章 末末 小小 结结 本章网络图表 集合 概念 关系 运算 元素的特征 集合的分类 集合的表示方法 子集 交集 并集 补集 元素与集合 集合与集合 函数 概念 定义域 值域 对应关系 表示方法 列表法 图象法 概念 解析法 基本性质 单调性 奇偶性 映射的概念映射 本章专题放送 专题一 集合的概念与运算专题一 集合的概念与运算 集合是向中数学中的一个基本概念 理解并掌握集合知识对学好高中数学起着至关重要的作用 新课 标要求正确理解集合的表示方法 能够判断元素与集合 集合与集合之间的关系 能判断集合是否相等 能 够处理含字母类的问题 掌握集合的交 并 补的运算和性质 会用 Venn 图表示集合与集合之间的关系 会 用分类讨论和数形结合的数学思想方法研究有关集合的运算问题 在高考的命题中 对集合的考查是以考查 概念和计算为主 主要是以选择题 填空题的形式出现 以解答题出现的可能性较小 这个知识点每年必考 以本章知识作为工具和其它知识结合起来综合命题的可能性相对较大 另外 定义新运算在集合方面是一个 新的便是背景 应引起足够的重视 典例典例 1 1 已知下列集合 1 1 A n n 2k 1 k N k 5 用心 爱心 专心104 2 2 A x x 2k k N k 3 3 3 A x x 4k 1 或x 4k 1 k N k 3 问 用列举法表示上述各集合 对集合 1 A 2 A 3 A 如果使 k Z 那么 1 A 2 A 3 A所表示的集合分别是什么 并说 明 3 A与 1 A的关系 研析研析 1 1 A n n 2k 1 k N k 5 1 3 5 7 9 2 2 A x x 2k k N k 3 1 3 5 3 3 A x x 4k 1 k N k 3 1 1 3 5 7 9 11 13 4 4 A x x 2 k k N k 2 11 1 0 1 22 5 5 A x y x y 6 xNyN 0 6 1 5 2 4 3 3 4 2 5 1 6 0 6 6 A y y 2 x 1 且 x 0 1 2 1 0 3 7 7 A x x a a b b a b R 且 ab 0 2 0 2 对集合 1 A 2 A 3 A 如果使 k Z 那么 1 A 3 A所表示的集合都是奇数集 2 A所表示的集 合都是偶数集 品思感悟品思感悟 通过对上述集合的识别 进一步巩固对描述法中代表元素及其性质的表述的理解 掌握奇数 集 偶数集的描述法表示和集合的图示法表示 典例典例2 已知集合 22 152 2Ax yxxBy yaxx 其中aR 如果AB 求实数a的取值范围 研析研析 化简得 53 1AxxBy ya AB 13a 即 2a 典例典例 3 3 已知 222 40 2 1 10Ax xxBx xaxa 其中aR 如果A B B 求实数a的取值范围 研析研析 化简得 0 4A 集合B的元素都是集合A的元素 BA 1 当B 时 22 4 1 4 1 0aa 解得1a 2 当 04B 或 时 即BA 时 22 4 1 4 1 0aa 解得1a 此时 用心 爱心 专心105 0B 满足BA 3 当 0 4B 时 22 2 4 1 4 1 0 2 1 4 10 aa a a 解得1a 综上所述 实数a的取值范围是1a 或者1a 观察思考观察思考 例 2 与例 3 两题从解法来看是有着本质的区别的 AB 的关系中 应注意对A 讨论 但 例 2 中 由于 53Axx 所以就没再对集合 A 加以讨论 事实上 AB 的常用的等价形 式还有 ABABAABB 另外 在求AB 或AB 时 除了利用列举的方法以 外 要注意与其它知识的联系 如利用数轴的直观性以形辅数 或与函数的值域 曲线的交点等相结合的问 题 典例典例 4 4 设S为满足下列两个条件的实数所构成的集合 S内不含 1 若aS 则 1 1 S a 解答下列问题 若2S 则S中必有其他两个元素 求出这两个元素 求证 若aS 则 1 1S a III 在集合S中元素的个数能否只有一个 请说明理由 研析研析 反复利用题设 若 a A 且 a 1 则 1 1 A a 注意角色转换 单元素集是指集合中只 有一个元素 1 2S 1 12 S 即1S 1 11 S 即1 2 S 2 证明 aS 1 1 S a 11 1 1 1 1 S a a 3 集合S中不能只有一个元素 因为 假设S中只有一个元素 则有 1 1 a a 即 2 10aa 该方程没有实数解 集合S中不能只有一个元素 反思领悟反思领悟 第 3 小问的处理注意到了使用补集的思想来解决问题 应认真体会 正难则反 的思维方法 如果我们将问题改为 若a R 你能说出集合 A 中有几个元素吗 请证明你的结论 典例典例 5 5 已知函数 22 42 2 21f xxpxpp 在区间 1 1 上至少存在一个实数c 使 0f c 求p的取值给成的集合 P 研析 由补集的含义知 sP p 当 1 1 x 时 0f x 恒成立 因为 f x的开口向 上 所以 1 0 sP p f 且 1 0 f 用心 爱心 专心106 由 2 2 42 2 210 42 2 210 ppp ppp 解得3p 或 3 2 p 从而 3 3 2 Ppp 方法探究方法探究 本题看似与集合无关 但运用补集的方法使问题解法简单明了 避免了繁杂的分类讨论 专题二 再识二次函数专题二 再识二次函数 二次函数是同学们在初中就曾接触到的一类重要函数 在高中阶段 二次函数问题仍然是高考的重点 内容 正确认识与理解二次函数问题是学好高中数学的关键 高考试题中所出现的二次函数问题主要是考查 二次函数的图象 对称轴 单调区间 最值以及一元二次方程问题等等 一 二次函数的解析式问题一 二次函数的解析式问题 典例典例 6 6 已知二次函数 f x同时满足条件 1 1 1 fxfx 2 f x的最大值为 15 3 0f x 的两根的立方和等于 17 求函数 f x的解析式 研析研析 从所给条件知 f x的图象关于1x 对称 且最大值为 15 故设二次函数的顶点式 利用 韦达定理得到关于系数a的方程 依条件可设 2 1 15 0 f xa xa 即 2 215f xaxaxa 令 0f x 即 2 2150axaxa 并设 12 x x为该方程的两个根 由韦达定理知 12 12 2 15 1 xx xx a 从而 3333 12121212 1590 3 23 2 1 2 xxxxx x xx aa 90 217 a 故6 a 所以函数 f x的解析式为 2 6129 f xxx 梳理总结梳理总结 利用已知条件求二次函数的解析式 常用的方法是待定系数法 但可根据条件选择适当的形式来 进行求解 常用的二次函数的形式有 1 一般式 2 0 f xaxbxc a 2 顶点式 2 0 f xa xmn a 3 两根式 12 f xa xxxx 如果从方程的角度来看 这三 种形式是统一的 因为如果想确定二次函数的解析式 必须需要三个独立条件 二 二次函数的最值问题二 二次函数的最值问题 典例典例 7 7 已知 2 3f xxax a 若 2 2x 时 0f x 恒成立 求a的取值范围 研析研析 设 f x的最小值为g a 2 22 3 30 24 aa f xxaxaxa 恒成立 用心 爱心 专心107 只需g 0a 1 当2 2 a 即 4 a 时 g f 2 730aa 得 7 3 a 又0a 故此时a不存在 2 当 2 2 2 a 即44a 时 2 g 3 4 a aa 得62a 又44a 故42a 3 当2 2 a 即4a 时 g f 2 70aa 得7a 又4a 故74a 综上所述 使 0f x 恒成立的a的取值范围是a 7 2 领悟整合领悟整合 二次函数 2 0 f xaxbxc a 在闭区间 m n上最值的求法 1 若 2 b xm n a 则 2 b f a 为函数 f x的一个最值 另一个最值是 f m或 f n 2 若 2 b xm n a 则 f x在区间 m n上为单调函数 f m与 f n为函数 f x的两个最 值 典例典例 8 8 已知函数 22 23 yxaxa 若 1 2 x 求函数最大值 M a及最小值 m a 研析研析 讨论对称轴x a与区间 1 2 的位置关系 当 时 当 时 1 a 2 max 2 min 2 41 1 22 f xM afaa f xm afaa 1 2a min 3f xm af a 用心 爱心 专心108 当 当 当 时 综上所述 方法探究方法探究 利用分类讨论思想来解决含参数的二次函数的最值问题 主要抓住二次函数对称轴与所给区间 之间的不同位置关系 存在四种情况 针对不同情况 最值也随之变化 解决问题时应紧紧抓住对称轴和 区间的位置关系 典例典例 9 9 讨论函数y x 2 2 x 2 x m m 1 的单调性和最值 研析研析 第一步先配方 第二步讨论对称轴是否在给定的区间内 需分为 品思感悟品思感悟 这三道例题体现了二次函数最值问题的常见题型 即 轴变区间定 和 轴定区间变 两种题 型 这是高中阶段的重点题型 应注意加强对此类问题的研究 三 一元二次方程根的分布一元二次方程根的分布 典例典例 1010 方程kxx 2 3 2 在 1 1 上有实根 求k的取值范围 研析 解法一 1 方程0 2 3 2 kxx在 1 1 上有两实根 1 1 2 a 2 max 2 41f xM afaa 1 2 2 a 2 max 1 22f xM afaa 2 a 2 max 2 min 1 22 2 41 f xM afaa f xm afaa M a 2 41aa 2 22aa 1 2 1 2 a a 1a m a 2 22aa 3 2 41aa 1 2a 2 a 两类来讨论和 1 1 1 1 mmmm min 2 max 2 max 2 max 1 1 1 01 1 11 11 1 0 22 2 01 11 2 1 1 0 1 0 22 m mm mxxm yf myf mmm myf mm m mmm m yf mmm 若即时 单调性时减函数时增函数 最小值 最大值时 时 若即或 则当时单调性减函数 2 min 22 maxmin 11 1 11 22 yf mm m yf mmyf mmm 当时单调性增函数 用心 爱心 专心109 则 2 1 16 9 1 2 1 01 01 0 k a b f f 或 2 方程0 2 3 2 kxx在 1 1 上有一实根 则 011 ff或 01 01 f f 或 01 01 f f 得 2 5 2 1 k 综上 2 5 16 9 k 解法二 对称轴 1 1 4 3 x为已知 只需 01 0 f 即 2 5 16 9 k 解法三 最宜采用函数思想 求 11 2 3 2 xxxxf的值域 2 5 16 9 k 品思感悟品思感悟 此类问题一般需从三个方面考虑 判别式 区间端点函数值的正负 对称轴 a b x 2 与区 间相对位置 另外 如果充分利用二次式中的已知系数会使问题变得很简单 这一点要十分的重视 专题三 函数的性质专题三 函数的性质 一 函数的单调性一 函数的单调性 典例典例 11 11 已知 2 2 3 px f x xq 是奇函数 且 5 2 3 f 1 求实数 p q的值 2 判断函数 f x在 1 上的单调性 并加以证明 研析研析 1 1 f x 是奇函数 fxf x 即 22 22 33 pxpx xqxq 从而0 q 因此 2 2 3 px f x x 又 5425 2 2 363 p fp 2 由 1 知 2 22 3 x f x x 任取 12 1xx 则 12 22 211 2 12 121 2 2222 2 1 333 xx xxx x f xf x xxx x 1221121212 1 0 10 0 0 xxxxx xx xf xf x f x 在 1 上是单调减函数 用心 爱心 专心110 误区警示误区警示 1 利用函数单调性的定义证明函数 f x在区间M上的单调性的步骤 任取 1 12 x xM 且 12 xx 需要指出的是写成 设 12 x xM 是不恰当的 想一想 为什么 论证 2 12 f xf x 或 12 f xf x 根据定义得出结论 3 2 目前我们所学习的初等函数中 在整个定义域中可能只有一个单调区间 也可能有多个单调区间 所以在 表述单调性时 一定要指明函数的单调性体现在哪一个区间上 同时还要注意 多个单调区间不能用 符号连接 如函数 1 1 x y x 的减区间应写成 1 1 而不能写成 1 1 二 函数性质的综合应用二 函数性质的综合应用 典例典例 12 12 已知 f x是定义在 1 1 上的奇函数 若 1 1 a b 且0ab 有 0 f af b ab 1 判断 f x在 1 1 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 2 解不等式 2 51 6 fxfx 研析研析 1 1 f x在 1 1 上是增函数 证明如下 任取 12 1 1 x x 且 12 xx 则 122 0 1 1 xxx 于是有 1212 1212 0 f xf xf xfx xxxx 而 1212 0 0 xxf xf x 于是 f x在 1 1 上是增函数 2 因为 f x在 1 1 上是增函数 所以 2 2 151 1 161 516 x x xx 解得 2 0 5 66 66 11 23 x x xx 或 即 1 0 3 x 从而所求不等式的解集为 1 0 3 xx 引深拓展引深拓展 本题第 1 小题是抽象函数单调性的论证问题 目的是复习函数单调性的定义及其等价形式 第 用心 爱心 专心111 2 小题则是第 1 小题的递进 即利用第 1 小题的结论解决问题 容易犯的错误是忽略函数 f x的定义 域 1 1 学有余力的同学还可以研究第 3 小题 若 1 1f 且 2 21f xmam 对所有的 1 1 1 1 xa 恒成立 求实数m的取值范围 解题思路如下 由于 f x是定义在 1 1 上的增 函数 于是 max 1 1f xf 故 2 21f xmam 对所有的 1 1 1 1 xa 恒成立 即 2 21 1mam 对所有的 1 1 a 恒成立 即 2 20mam 对所有的 1 1 a 恒成立 2 2 2020 0220 mmmm mmmm 或 或 即2m 或2m 或0 m 综合能力探究演练综合能力探究演练 满分 满分 150150 分 时间分 时间 120120 分钟 分钟 一 选择题 共 12 小题 共 60 分 1 2008 年山东济钢模拟 若 A 2 1 4 1 xBxABBx 且则 A 2B 2C 2 2 或 0D 2 2 0 或 1 2 已知集合 032 4 22 xxxNxxM 则集合 NM A 2 xx B 3 xx C 32 xx D 21 xx 3 下列各式中 表示y是x的函数的有 3yxx y 21xx 1 0 1 0 xx y xx A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4 已知xxg21 0 1 2 2 x x x xgf 则 2 1 f A 15B 1C 3D 30 5 函数96 2 kxkxy的定义域为R 则k的取值范围是 A 0 k或1 k B 1 k C 10 k D 10 k 6 设 10 6 10 2 xxff xx xf则 5 f的值为 A 10 B 11 C 12 D 13 7 2008 年山东烟台模拟 若不等式 1 2 0 2 的解集为cxaxxf 则函数 x x 用心 爱心 专心112 xfy 的图象是 8 已知定义域为 1 1 的奇函数 xfy 又是减函数 且0 9 3 2 afaf 则a的取 值范围是 A 3 22 B 10 3 C 4 22 D 3 2 9 若函数 2 34yxx 的定义域为 0 m 值域为 25 4 4 则m的取值范围是 A 4 0 B 3 2 4 C 3 3 2 D 3 2 10 设 2 1 23f xmxmx 为偶函数 则 f x在区间 5 2 上是 A 单调递增函数 B 单调递减函数 C 先单调递增 后单调递减 D 先单调递减 后单调递增 11 某产品的总成本y万元与产量x台之间的函数关系式是 2 3000200 1 0 240 yxxx 若 每台产品的售价为25万元 则生产者不亏本时 即销售收入不小于总成本 的最低产量为 A 100 台 B 120 台 C 150 台 D 180 台 12 偶函数 yf x 奇函数 yg x 的定义域均为 4 4 f x 在 4 0 g x 在 0 4 上的图象如图 则不等式f x g x 0 的解集为 A 2 4 B 2 0 2 4 C 4 2 2 4 D 2 0 0 2 二 填空题 共 4 小题 共 16 分 13 若二次函数 2 yaxbxc 的图象与x轴交于 2 0 4 0 AB 且函数的最大值为9 则这个二次函数的表达式是 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 14 定义在 R 上的函数 xf的值域是 0 2 则 2007 xfxg 1 的值域为 15 函数 xf在 R 上为奇函数 且当0 x 时 1 f xx 则当0 x时 xf 16 若 753 8 5 15 f xaxbxcxdxf 则 5 f 三 解答题 共 6 小题 共 74 分 17 本题满分 12 分 记关于x的不等式0 1 xa x 的解集为P 不等式11x 的解集为Q I 若3a 求P II 若QP 求正数a的取值范围 用心 爱心 专心113 18 2007 年曲阜师大附中第一次月考试题 本题满分 12 分 已知集合 2 1030 121AxxxBx mxm 当AB 时 求实数 m的取值范围 19 本题满分 12 分 如下图 在边长为 4 的正方形ABCD上有一点P 沿着折 线BCDA由B点 起点 向A点 终点 移动 设P点移动的路程为x ABP的 面积为y f x 1 求 ABP的面积与P移动的路程间的函数关系式 2 作出函数的图象 并根据图象求y的最大值 20 2007 年上海卷 本题满分 12 分 已知函数0 2 x x a xxf 常数 a R 1 当2 a时 解不等式12 1 xxfxf 2 讨论函数 xf的奇偶性 并说明理由 21 本题满分 12 分 二次函数 xf满足xxfxf2 1 且1 0 f 1 求 xf的解析式 2 在区间 1 1 上 xf的图象恒在mxy 2的图象上方 试确定实数m的范围 22 本题满分 14 分 已知函数 1 f xa x 1 求证 函数 0 在xfy上是增函数 2 若 2f xx 在 1 上恒成立 求实数a的取值范围 3 若函数 nmxfy在 上的值域是 m nmn 求实数a的取值范围 A B C D P 用心 爱心 专心114 答案与解析研读答案与解析研读 综合能力探究演练 1 C 解析 本题主要考查集合元素的互异性 由于ABB 从而可知BA 所以 2 4x 或 2 xx 若 2 4x 则2x 或2x 经检验可知符合题意 若 2 xx 则0 x 或1x 若0 x 符合题意 而当1x 时 集合 A 与集合 B 都不满足元素的互 异性 2 D 解析 22 4 22 230 1 3 13 Mx xxxNx xxxxxxx 从而 NM 21 xx 3 C 解析 表示y是x的函数 4 A 解析 由 1 1 2 2 x 解得 1 4 x 从而 2 1 f 2 2 151 1 1 164 15 11 4 416 f g 5 C 解析 函数96 2 kxkxy的定义域为R 从而 2 kx690kx 恒成立 当0k 时 显然成立 当0k 时 则0k 且 2 6 360kk 解得01k 从而10 k 6 B 解析 5 11 9 15 13 11fffffff 7 B 解析 由题意可知2 1 是方程 2 0axxc 的两根 且0a 从而应选 B 8 A 解析 由0 9 3 2 afaf得 2 3 9 f afa 又 xfy 为定义在 1 1 的奇函数且为减函数 所以 22 9 9 faf a 从而 2 39 aa 即 2 2 131 191 60 a a aa 解得2 23a 9 C 解析 作出图象 m的移动必须使图象到达最低点 10 A 解析 由于 f x是偶函数 则 fxf x 即 2 1 23mxmx 2 1 23mxmx 从而0m 所以 2 3f xx 在区间 5 2 上是单调递增函数 11 C 解析 25x 2 3000200 1 xx 即 2 50300000 150 xxx 12 B 解析 由于 yf x 是偶函数 其图象关于y轴对称 从而 yf x 的在区间 0 2 上0y 在区间 2 4 上0y 而 yg x 为奇函数 从而在区间 4 0 上0 y 由于可知 在区间 2 0 用心 爱心 专心115 2 4 上 f x g x 0 在区间 4 2 0 2 上 f x g x 0 13 2 4 yxx 解析 设 2 4 ya xx 对称轴1x 当1x 时 max 99 1yaa 14 1 1 解析 由于函数 xf的值域是 0 2 从而0 2007 2f x 所以 2007 xfxg 1 1 1 15 1 xy 解析 当0 x时 0 x 从而 1 fxx 又因为 xf为奇函数 从而 fxf x 所以 f xfx 1 x 16 31 解析 设 g x 753 axbxcxdx 显然 g x是奇函数 且 8f xg x 5 5 8 5 23fgg 而 5 5 5 23 5 5 823 831 gggfg 17 解 I 由 3 0 1 x x 得 13Pxx II 1102Qx xxx 由0a 得 1Pxxa 又QP 所以2a 即a的取值范围是 2 18 解 由题意可求 25Axx 1 当121mm 即2m 时 B 满足AB 2 当121mm 即2m