高中数学 求函数值域十二法素材 新人教版

用心 爱心 专心1 求函数值域十二法求函数值域十二法 求函数的值域或最值是高中数学基本问题之一 也是考试的热点和难点之一 遗憾的 是教材中仅有少量求定义域的例题 习题 而求值域或最值的例题 习题则是少得屈指可 数 原因可能是求函数的值域往往需要综合用到众多的知识内容 技巧性强 有很高的难 度 因此求函数的值域或最值的方法需要我们在后续的学习中逐步强化 本文谈一些求函 数值域的方法 仅作抛砖引玉吧 一 基本知识 1 定义 因变量 y 的取值范围叫做函数的值域 或函数值的集合 2 函数值域常见的求解思路 划归为几类常见函数 利用这些函数的图象和性质求解 反解函数 将自变量 x 用函数 y 的代数式形式表示出来 利用定义域建立函数 y 的不等式 解不等式即可获解 可以从方程的角度理解函数的值域 如果我们将函数 yf x 看作是关于自变量 x的方程 在值域中任取一个值 0 y 0 y对应的自变量 0 x一定为方程 yf x 在定义域 中的一个解 即方程 yf x 在定义域内有解 另一方面 若y取某值 0 y 方程 yf x 在定义域内有解 0 x 则 0 y一定为 0 x对应的函数值 从方程的角度讲 函数的 值域即为使关于x的方程 yf x 在定义域内有解的y得取值范围 特别地 若函数可看成关于x的一元二次方程 则可通过一元二次方程在函数定义域 内有解的条件 利用判别式求出函数的值域 可以用函数的单调性求值域 其他 3 函数值域的求法 在以上求解思路的引导下 又要注意以下的常见求法和技巧 观察法 最值法 判别式法 反函数法 换元法 复合函 数法 利用基本不等式法 利用函数的单调性 利用三角函数的有界性 图象法 配方法 构造法 二 举例说明 观察法 由函数的定义域结合图象 或直观观察 准确判断函数值域的方法 例 1 求函数 11 1yxxx 的值域 2 例 2 求函数 2 610yxx 的值域 1 最值法 对于闭区间上的连续函数 利用函数的最大值 最小值求函数的值域的方 法 用心 爱心 专心2 例 3 求函数2xy 2 2x 的值域 1 4 4 例 4 求函数 2 256yxx 的值域 73 8 判别式法 通过二次方程的判别式求值域的方法 例 5 求函数 2 21 22 x y xx 的值域 1 1 2 反函数法 利用求已知函数的反函数的定义域 从而得到原函数的值域的方法 例 6 求函数 23 32 x y x 的值域 22 33 例 7 求函数 axb y cxd 0 d cx c 的值域 aa cc 换元法 通过对函数恒等变形 将函数化为易求值域的函数形式来求值域的方法 例 8 求函数1 2yxx 的值域 1 2 复合函数法 对函数 yf u ug x 先求 ug x 的值域充当 yf u 的定 义域 从而求出 yf u 的值域的方法 例 9 求函数 2 1 2 log 253 yxx 的值域 49 8 利用基本不等式求值域 例 10 求函数 1 yx x 的值域 22 用心 爱心 专心3 例 11 求函数 2 1 2yx x 0 x 的值域 3 利用函数的单调性 例 12 求函数11yxx 的值域 提示 2 11 y xx 1x 1 1xx 都是增函数 故 11yxx 是减函数 因此当1x 时 max 2y 又 0y 0 2y 例 13 求函数1 2yxx 的值域 略解 易知定义域为 1 2 而1 2yxx 在 1 2 上均为增函数 111 1 2 222 y A 故y 1 2 利用三角函数的有解性 例 14 求函数 2cos1 3cos2 x y x 的值域 1 3 5 例 15 求函数 2sin 2sin x y x 的值域 1 3 3 图象法 如果可能做出函数的图象 可根据图象直观地得出函数的值域 求某些分 段函数的值域常用此方法 例 16 求函数31yxx 的值域 4 4 求函数值域方法很多 常用的有以上这些 这些方法分别具有极强的针对性 每一种方 法又不是万能的 要顺利解答求函数值域的问题 必须熟练掌握各种技能技巧 配方法 当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时 可以利用配方法求 函数值域 例 17 求函数 2 2yxx 的值域 用心 爱心 专心4 点拨 将被开方数配方成完全平方数 利用二次函数的最值求 解 由 2 20 xx 可知函数的定义域为 x 1 2 此时 22 199 2 0 244 xxx 2 2xx 3 0 2 函数的值域是 3 0 2 构造法 根据函数的结构特征 赋予几何图形 数形结合 例 18 求函数 22 4548yxxxx 的值域 点拨 将原函数变形 构造平面图形 由几何知识 确定出函数的值域 解 原函数变形为 222 2 1 2 2f xxx 作一个长为 4 宽为 3 的矩形 ABCD 再切割成