数学北师版八年级上第七章5　三角形内角和定理

5 5 三角形内角和定理三角形内角和定理 1 三角形内角和定理 三角形内角和定理 三角形的内角和等于 180 符号表示 ABC 中 A B C 180 变式 A 180 B C 谈重点谈重点 三角形内角和解读 1 三角形内角和等于 180 是三角形的一个重要性质 与三角形的具体形状或种类没有 关系 即所有三角形的内角和都等于 180 2 三角形内角和等于 180 是三角形本身固有的一个隐含条件 在有关角的计算或日常 生活中应用广泛 3 利用定理在三角形中已知两角可求第三角 或已知各角的关系求各角 4 三角形内角和的一个重要结论 直角三角形的两个锐角互余 例 1 1 在一个三角形中 下列说法错误的是 A 可以有一个锐角和一个钝角 B 可以有两个锐角 C 可以有一个锐角和一个直角 D 可以有两个钝角 解析 解析 如果一个三角形中有两个钝角 那么该三角形的内角和将大于 180 故 D 错 误 答案答案 D 点技巧点技巧 三角形中 角知多少 任何三角形中 至少有两个锐角 最多有三个锐角 最多有一个钝角 最多有一个直 角 例 1 2 已知一个三角形三个内角度数的比是 1 5 6 则其最大内角的度数为 A 60 B 75 C 90 D 120 解析 解析 已知三角形三个内角的度数之比 可以设一份为 k 则三个内角的度数分别为 k 5k 6k 根据三角形的内角和等于 180 列方程 k 5k 6k 180 解得 k 15 所以最 大内角为 6k 90 应选 C 答案答案 C 2 三角形的外角 1 定义 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角 叫做三角形的外角 如图所示 ACD 和 BCE 是 ABC 的两个外角 而 DCE 不是三角形的外角 2 三角形外角的特征 三角形的外角特征 顶点是三角形的一个顶点 外角的一边是三角形的边 外 角的另一条边是三角形某条边的延长线 3 三角形外角的实质 是一个内角的邻补角 两个角的和等于 180 如上图中 ACB ACD 180 例 2 如图所示 1 为三角形的外角的是 解析 解析 由三角形外角的定义知 只有 D 中的 1 才是三角形的外角 故选 D 答案答案 D 点评 点评 判断一个角是否是三角形的外角 关键是看它是否满足三角形外角的特征 3 三角形内角和定理的证法 在解决几何问题时 当仅用已有条件解决问题比较困难时 常在图形中添加线 构造 新的图形 形成新的关系 搭建已知与未知的桥梁 把较困难的问题转化为熟悉的 易解 决的问题 这些在原来的图形上添加的线叫辅助线 辅助线通常画成虚线 证明三角形内角和定理的基本思路 想办法把分散的三个角 拼凑 成一个 整体 即借助于辅助线 结合所学过的知识 达到证明的目的 在证明三角形的内角和定理时 常用的辅助线主要有以下几种 1 构造平角 利用平行线的性质进行转化 作平行线 让三个内角组成一个平角 如 图 和图 2 构造同旁内角 如图 过 C 点作 CM AB 利用 ABC 与 BCM 是同旁内角可 证 4 三角形内角和定理的运用 1 利用定理求角的度数或证明 生活中 三角形 四边形是常见的图形 在解决与角的度数有关的问题时 一般会用 到三角形的内角和定理 三角形的内角和定理的运用 主要是利用三角形内角和定理进行计算或证明 常见于 求三角形中相关角的度数及证明角的相等关系 计算或证明时 往往与其他的知识相结合 如特殊三角形 余角 高线 角平分线等性质 2 利用定理判断三角形的形状 根据一个三角形的内角情况判断三角形的形状 关键是利用三角形内角和定理求出各 个角 再根据各类三角形的性质判断 若有两个角相等 则可判定为等腰三角形 若 有三个角相等 则可判定为等边三角形 若有特殊角 90 和两个 45 则为等腰直角三 角形 若一个三角形根据角来分类 可先求出最大的角 若最大的内角是钝角 则三角形 为钝角三角形 若最大的角为直角 则三角形为直角三角形 若最大的角为锐角 则 三角形是锐角三角形 例 3 如图所示的四边形是平行四边形 如何利用ABCD 证明三角形内角和定理 分析 三角形内角和定理的证明思路是利用平行线的性质进行转化 让三个内角组成 一个平角 或利用同旁内角互补来得以证明 证明 证明 连接 BD 四边形 ABCD 是平行四边形 已知 AD BC 平行四边形的定义 A ABC 180 两直线平行 同旁内角互补 1 3 两直线平行 内错角相 等 A 1 2 A 2 3 180 等量代换 同理可证 3 4 C 180 即三角形的内角和为 180 点点技巧技巧 辅助线的作用 辅助线起着桥梁的作用 在画辅助线时 注意与原来的线的区别 要画成虚线 例 4 1 若一个三角形三个内角度数的比为 2 3 4 那么这个三角形是 A 直角三角形 B 锐角三角形 C 钝角三角形 D 等边三角形 解析 解析 三角形三个内角度数的比为 2 3 4 三个内角分别是 180 40 180 60 180 80 该三角形是锐角三 2 9 3 9 4 9 角形 故选 B 答案答案 B 例 4 2 ABC 中 若 B A C 则 ABC 是 三角形 解析 解析 根据三角形的内角和定理 得 A B C 180 又 B A C 2 B 180 即 B 90 因此该三角形是直角三角形 答案答案 直角 例 4 3 如图 已知 ABC 中 B 65 C 45 AD 是 BC 边上的高 AE 是 BAC 的平分线 求 DAE 的度数 分析 由三角形的内角和定理 可求 BAC 70 又 AE 是 BAC 的平分线 可知 BAE 35 再由 AD 是 BC 边上的高 可知 ADB 90 从而 BAD 25 所以 DAE BAE BAD 10 解 解 在 ABC 中 BAC 180 B C 70 AE 是 BAC 的平分线 BAE CAE 35 又 AD 是 BC 边上的高 ADB 90 在 ABD 中 BAD 90 B 25 DAE BAE BAD 10 析规律析规律 三角形内角和定理的运用 本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质 高线的性质 解答的关键是三角形 的内角和定理的运用 5 运用三角形内角和定理的推论进行计算或证明 1 三角形内角和定理的推论 1 推论 1 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 如图 符号表示 ACD A B 谈重点谈重点 三角形的外角 推论是由三角形内角和定理推理得到的 可作为定理使用 该推论反映的是三角形的外角与和它不相邻内角的关系 2 三角形内角和定理的推论 2 推论 2 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 符号表示 ACD A 或 ACD B 析规律析规律 灵活使用三角形的外角 三角形的一个外角大于和它 不相邻 的任意一个内角 而不是大于任何一个内角 利用该推论证明角之间的不等关系时 先找到一个适当的三角形 使要证明的那个 大角处于外角的位置上 小角处于内角的位置上 例 5 1 如图 ABC 中 A 70 B 60 点 D 在 BC 的延长线上 则 ACD 等于 A 100 B 120 C 130 D 150 解析 解析 所求的角恰好是 ABC 的外角 根据外角推论 1 可求得 ABC 中 A 70 B 60 ACD A B 70 60 130 故选 C 答案答案 C 点评 点评 本题考查的是三角形内角与外角的关系 三角形的外角等于与它不相邻的两个 内角的和 例 5 2 如图 1 2 3 的大小关系为 A 2 1 3B 1 3 2 C 3 2 1D 1 2 3 解析 解析 由于 2 是 ABF 的外角 1 是 AEF 的外角 所以 2 3 1 4 又由于 4 和 2 是对顶角 故 4 2 所以 1 2 1 2 3 的大小关系为 1 2 3 故选 D 答案答案 D 例 5 3 如图 将一副三角板按图示的方法叠在一起 则图中 等于 解析 解析 此题主要考查外角的性质和直角三角形的性质 由外角的性质可得 45 30 15 答案答案 15 6 三角形内角和定理的实际应用 三角形的内角和在生活中的应用非常广泛 如方位角与折叠问题 零件的合格判定 等 用三角形的内角和定理解决生活中的实际问题时 要注意几何图形中与问题中的对应 条件 析规律析规律 灵活运用三角形的内角和 三角形的内角和为 180 是隐含条件 在实际应用中必不可少 在方位角的计算中需要构造三角形 在三角形中计算其度数 折叠问题中 被折叠部分折叠后的图形与原图形对应角相等 再根据内角和 平角 等知识列出方程计算 例 6 1 如图 是一块三角形木板的残余部分 量得 A 100 B 40 则这 块三角形木板另外一个角的度数为 解析 解析 根据木板的形状 将其 复原 为一个三角形 依据三角形的内角和定理解 答 所以 C 180 A B 180 100 40 40 答案答案 40 例 6 2 如图 D 是 AB 边上的中点 将 ABC 沿过 D 的直线折叠 使点 A 落在 BC 上的点 F 处 若 B 50 则 BDF 解析 解析 要求 BDF 的度数 可通过 DBF 利用三角形的内角和等于 180 来求 由折 叠可知 ADE FDE 所以 DF DA DB 所以 DFB B 50 所以 BDF 180 DFB B 80 答案答案 80 7 辅助线与角的转化应用 1 辅助线与角的转化 有关三角形角度的计算与比较 常常利用添加不同辅助线的方法 把大角转化为小角 或者把不规则图形转化为规则图形等 从而利用相关性质进行解题 在证明角度不等的问题中 常用 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 这一性质 当角不在同一个三角形中时 可作辅助线使之转化到同一个三角形中再解 析规律析规律 辅助线的作法 辅助线的添加有很多种方法 基本方法是延长法和连接法 在本节中主要是构造三角 形 利用 三角形内角和定理及其推论 解决角的问题 2 等腰三角形中内 外角的转换 对于等腰三角形 当不知道所给的角为顶角还是底角时 要分情况讨论 不能漏解 当等腰三角形的外角是钝角时 其相邻的内角一定是锐角 该锐角可能是等腰三角 形的顶角 也可能是底角 要分情况讨论 当等腰三角形的外角是锐角或直角时 其相邻的内角是钝角或直角 所以该内角一 定是等腰三角形的顶角 则这个外角一定是顶角的邻补角 例 7 1 如图 1 直线 a b 则 ACB 解析 解析 利用辅助线构造三角形即可 如图 2 延长 BC 与 a 相交 由 a b 先求出内错 角 1 B 50 再根据三角形外角性质即可求出 ACB 1 28 50 28 78 答案答案 78 例 7 2 等腰三角形的一个外角为 110 则这个等腰三角形的三个内角分别为 解析 解析 等腰三角形的一个外角为 110 则相邻的内角为 180 110 70 而 70 的内 角可能是顶角 也可能是底角 故分两种情况 当底角为 70 时 则顶角为 180 70 2 40 当顶角为 70 时 则底角为 180 70 55 1 2 答案答案 70 70