【备战2012】高考数学 历届真题专题07 平面向量 理

历届真题专题历届真题专题 2011 2011 年高考试题年高考试题 一 选择题一 选择题 1 1 2011 2011 年高考山东卷理科年高考山东卷理科 12 12 设设 是平面直角坐标系中两两不同的四点 是平面直角坐标系中两两不同的四点 1 A 2 A 3 A 4 A 若若 R R R R 且 且 则称则称 调和分调和分 1312 A AA A 1412 A AA A 11 2 3 A 4 A 割割 已知点已知点 C cC c o D do D d O O c c d R d R 调和分割点调和分割点 A 0A 0 0 0 B 1B 1 0 0 则下面说 则下面说 1 A 2 A 法正确的是法正确的是 A C A C 可能是线段可能是线段 ABAB 的中点的中点 B D B D 可能是线段可能是线段 ABAB 的中点的中点 C C C C D D 可能同时在线段可能同时在线段 ABAB 上上 D D C C D D 不可能同时在线段不可能同时在线段 ABAB 的延长线上的延长线上 3 20 201111 年高考全国新课标卷理科年高考全国新课标卷理科 10 10 已知 a 与 b 均为单位向量 其夹角为 有下列四 个命题 1 2 10 3 Pab 2 2 1 3 Pab 3 10 3 Pab 4 1 3 Pab 其中的真命题是 A B C D 14 P P 13 P P 23 P P 24 P P 5 2011 2011 年高考四川卷理科年高考四川卷理科 4 4 如图 正六边形 ABCDEF 中 BACDEF A 0 B BE C AD D CF 答案 D 解析 BACDEFDECDEFCDDEEFCF 6 2011 2011 年高考全国卷理科年高考全国卷理科 12 12 设向量满足 1 a b c a b a b 则的最大值等于 1 2 ac bc 0 60c A B D C A 2 B c D 132 答案 A 解析 如图 构造 AB a AD b AC c 所以四点共圆 120 60BADBCD A B C D 可知当线段为直径时 最大 最大值为 2 ACc 7 2011 2011 年高考上海卷理科年高考上海卷理科 17 17 设是空间中给定的 5 个不同的点 则使 12345 A A A A A 成立的点的个数为 12345 0MAMAMAMAMA M A 0 B 1 C 5 D 10 答案 B 解析 则 即 26abab 22 26aa bb 22 12 26a b 所以 所以 1a b 1 cos 2 a b a b ab 3 a b 3 3 2011 2011 年高考天津年高考天津卷理科卷理科 14 14 已知直角梯形已知直角梯形 ABCDABCD 中中 AD BC AD BC AD 2 BC 1 P AD 2 BC 1 P 是腰是腰 DCDC 上的动点上的动点 则则的最的最小值为小值为 90ADC 3 PAPB 6 2011 2011 年高考重庆卷理科年高考重庆卷理科 12 12 已知单位向量的夹角为 则 ij c c 60 2 ij cc 解析 3 222 22444 1 4 cos603 ijijijij ccccccc c A 7 2011 2011 年高考安徽年高考安徽卷江苏卷江苏 10 10 已知是夹角为的两个单位向量 21 e e 3 2 若 则 k 的值为 2 2121 eekbeea0 ba 答案 5 4 解析 a b 1212 2 eekee 2 2 1122 1 2 2kek e ee 0 解得 2 1 2 cos2 3 kk 5 4 k 2010 2010 年高考试题年高考试题 20102010 全全国卷国卷 2 2 理数 理数 8 ABCV中 点D在AB上 CD平方ACB 若CBa uur CAb uu r 1a 2b 则CD uuu r A 12 33 ab B 21 33 ab C 34 55 ab D 43 55 ab 答案 B 20102010 重庆理数 重庆理数 2 已知向量 a b 满足 则0 1 2 a bab 2ab A 0 B C 4 D 82 2 解析 2ab 22844 2 222 bbaaba 20102010 四川理数 四川理数 5 设点M是线段BC的中点 点A在直线BC外 则 2 16 BCABACABAC AM A 8 B 4 C 2 D 1 解析 由 16 得 BC 4 2 BC 4ABACABACBC 而ABACAM 故2AM 答案 C 20102010 山东理数 山东理数 12 定义平面向量之间的一种运算 如下 对任意的 Aa m n 令bp q 下面说法错误的是 ab mq np A A 若与共线 则 B a b ab 0 Aab ba AA C 对任意的 有 D R a b A ab A 2222 ab ab a b A 答案 B 解析 若与共线 则有 故 A 正确 因为 而a b ab mq np 0 Abapn qm A 所以有 故选项 B 错误 故选 B ab mq np Aabba AA 命题意图 本题在平面向量的基础上 加以创新 属创新题型 考查平面向量的基础知 识以及分析问题 解决问题的能力 20102010 湖南理数 湖南理数 4 在中 90 AC 4 则等于Rt ABC C AB AC uu u r uuu r A 16 B 8 C 8 D 16 1 2010 年安徽理数 2 2010 湖北理数 5 已知和点 M 满足 若存在实数 m 使得ABC 0MA MB MC 成立 则 m AB ACAMm A 2 B 3 C 4 D 5 20102010 浙江理数 浙江理数 16 已知平面向量满足 且与的 0 1 夹角为 120 则的取值范围是 解析 利用题设条件及其几何意义表示在三角形中 即可迎刃而解 本题主要考察了平面 向量的四则运算及其几何意义 突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力 属中档 题 20102010 江西理数 江西理数 13 已知向量 满足 与的夹角为 60 则a b 1a 2b a b ab 答案 3 解析 考查向量的夹角和向量的模长公式 以及向量三角形法则 余弦定理等知 识 如图 由余弦定理得 aOA bOB abOAOBBA 3ab 20102010 天津理数 天津理数 15 如图 在中 ABCAADAB 3BCBD 则 1AD AC AD A 答案 D 解析 本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识 属于难题 cos cos sinACADACADDACACDACACBAC sinB3BC 解析 近几年天津卷中总可以看到平面向量的身影 且均属于中等题或难题 应加强平 面向量的基本运算的训练 尤其是与三角形综合的问题 20102010 广东理数 广东理数 10 若向量 1 1 x 1 2 1 1 1 1 满足条件a r b r c r 2 则 2 cab rrr x 10 C 解得 0 0 1 cax 2 2 0 0 1 1 2 1 2 1 2cabxx 2x 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 1 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 2 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一 方法一 由题设知 则 3 5 1 1 ABAC 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为 4 22 10 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4 22 10 2 由题设知 2 1 OC 32 5 ABtOCtt 由 0 得 OCtAB OC 32 5 2 1 0tt 从而所以 511 t 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 20102010 江苏卷 江苏卷 15 本小题满分 14 分 在平面直角坐标系 xOy 中 点 A 1 2 B 2 3 C 2 1 3 求以线段 AB AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长 4 设实数 t 满足 0 求 t 的值 OCtAB OC 解析 本小题考查平面向量的几何意义 线性运算 数量积 考查运算求解能力 满分 14 分 1 方法一 方法一 由题设知 则 3 5 1 1 ABAC 2 6 4 4 ABACABAC 所以 2 10 4 2 ABACABAC 故所求的两条对角线的长分别为 4 22 10 方法二 方法二 设该平行四边形的第四个顶点为 D 两条对角线的交点为 E 则 E 为 B C 的中点 E 0 1 又 E 0 1 为 A D 的中点 所以 D 1 4 故所求的两条对角线的长分别为 BC AD 4 22 10 2 由题设知 2 1 OC 32 5 ABtOCtt 由 0 得 OCtAB OC 32 5 2 1 0tt 从而所以 511 t 11 5 t 或者 2 AB OCtOC 3 5 AB 2 11 5 AB OC t OC 2009 2009年高考试题年高考试题 10 2009 广东理 6 一质点受到平面上的三个力 123 F F F 单位 牛顿 的作用而 处于平衡状态 已知 1 F 2 F成 0 60角 且 1 F 2 F的大小分别为 2 和 4 则 3 F的大小为 A 6 B 2 C 2 5 D 2 7 解析 28 60180cos 2 00 21 2 2 2 1 2 3 FFFFF 所以72 3 F 选 D 11 2009 浙江理 7 设向量a b满足 3 a 4 b 0 a b 以a b ab的模为边长构成三角形 则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为 A 3 B 4 C 5 D 6 答案 C 解析 对于半径为 1 的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆 此时只有三个交点 对于 圆的位置稍一右移或其他的变化 能实现 4 个交点的情况 但 5 个以上的交点不能实现 12 2009 浙江文 5 已知向量 1 2 a 2 3 b 若向量c满足 cab cab 则c A 7 7 9 3 B 77 39 C 7 7 3 9 D 77 93 命题意图 此题主要考查了平面向量的坐标运算 通过平面向量的平行和 垂直关系的考查 很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的 应用 0OAOBOC NANBNC 且PA PBPB PCPCPA 则点 O N P 依次是ABC 的 A 重心 外心 垂心 B 重心 外心 内心 C 外心 重心 垂心 D 外心 重心 内心 注 三角形的三条高线交于一点 此点为三角型的垂心 解析 0OAOBOCOABCNANBNCOABC 由知为的外心 由知 为的重心 00 PA PBPB PCPAPCPBCA PBCAPB APBCPC 同理 为ABC 的垂心 选 23 2009 辽宁文理 3 平面向量 a 与 b 的夹角为 0 60 a 2 0 b 1 则 a 2b A 3 B 23 C 4 D 12 解析 由已知 a 2 a 2b 2 a2 4a b 4b2 4 4 2 1 cos60 4 12 2ab 2 3 答案 B 16 2009 福建理 9 文 12 设 a b c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零 向量 且满足 a与 b不共线 a c a c 则 b c 的值一定等于 A 以 a b为邻边的平行四边形的面积 B 以 b c为两边的三角形面积 C a b为两边的三角形面积 D 以 b c为邻边的平行四边形的面 积 解析 假设 a与 b的夹角为 b c b c cos b a cos 90 0 b a sin 即为以 a b为邻边的平行四边形的面积 故选 A 3 2009 广东理 10 若平面向量a b满足1 ba ba 平行于x轴 1 2 b 则 a 解析 0 1 ba或 0 1 则 1 1 1 2 0 1 a 或 1 3 1 2 0 1 a 4 2009 江苏 已知向量a 和向量b 的夹角为30o 2 3ab 则向量a 和向量b 的 数量积a b 解析 考查数量积的运算 3 233 2 a b 5 2009 安徽理 14 给定两个长度为 1 的平面向量OA 和OB 它们的夹角为120o 如图所示 点 C 在以 O 为圆心的圆弧AB 上变动 若 OCxOAyOB 其中 x yR 则xy 的最大值是 解析 设AOC OC OAxOA OAyOB OA OC OBxOA OByOB OB 即 0 1 cos 2 1 cos 120 2 xy xy 0 2 coscos 120 cos3sin2sin 2 6 xy 14 天津理 15 在四边形 ABCD 中 1 1 AB DC 则四边形 ABCD 的面积是 113 BABCBD BABCBD 解析 因为 1 1 所以四边形 ABCD 为平行四边形 所以AB DC 1133 BABCBDBABC BABCBDBD 33 2 6BDBABCBABCBD 即 则四边形 ABCD 的面积为15 天津文 15 若等边 16 2623 24 S 的边长为 平面内一点 M 满足 则 ABC 32 CACBCM 3 2 6 1 MBMA 解析 合理建立直角坐标系 因为三角形是正三角形 故设 3 3 0 32 0 0 BAC 这样利用向量关系式 求得 M 然后求得 2 1 2 33 2 5 2 3 2 1 2 3 MBMA 运用数量积公式解得为 2 3 2009 浙江理 18 本题满分 14 分 在中 角所对的边分别为 ABC A B C a b c 且满足 2 5 cos 25 A I 求的面积 II 若 求的值 3AB AC ABC 6bc a 解析 I 因为 又由 2 5 cos 25 A 2 34 cos2cos1 sin 255 A AA 得 3AB AC cos3 bcA 5bc 1 sin2 2 ABC SbcA II 对于 又 或 由余弦定理得5bc 6bc 5 1bc 1 5bc 222 2cos20abcbcA 2 5a 5 2009 江苏 15 本小题满分 14 分 设向量 1 若与垂直 4cos sin sin 4cos cos 4sin abc a 2bc 求的值 2 求的最大值 3 若 求证 tan bc tantan16 a b 解析 本小题主要考查向量的基本概念 同时考查同角三角函数的基本关系式 二倍角 的正弦 两角和的正弦与余弦公式 考查运算和证明得基本能力 满分 14 分 6 2009 广东理 16 本小题满分 12 分 已知向量与互相垂直 其中 2 sin a cos 1 b 0 2 1 求和的值 sin cos 2 若 求的值 10 sin 0 102 cos 解 1 与互相垂直 则 即 代入ab0cos2sin ba cos2sin 得 又 1cossin 22 5 5 cos 5 52 sin 0 2 5 5 cos 5 52 sin 2 则 2 0 2 0 22 10