《垂径定理》

24 1 2 垂直于弦的直径 一 教学目的 1 理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题 2 通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理 并辅以逻辑证明加予理解 二 教学重难点 重点 垂径定理及其运用 难点 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题 三 教学过程 一 复习引入 在一个平面内 线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周 另一个端点所形成的图形叫做圆 固定的 端点 O 叫做圆心 线段 OA 叫做半径 以点 O 为圆心的圆 记作 O 读作 圆 O 连接圆上任意两点的线段叫做弦 如图线段 AC AB 经过圆心的弦叫做直径 如图线段 AB 圆上任意两点间的部分叫做圆弧 简称弧 以 A C 为端点的弧记作 读作 圆弧 AC 或 弧 AC AC 大于半圆的弧 如图所示 叫做优弧 小于半圆的弧 如图所示或 叫做劣弧 ABC AC BC 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧 每一条弧都叫做半圆 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 二 探索新知 学生活动 请同学按要求完成下题 如图 AB 是 O 的一条弦 作直径 CD 使 CD AB 垂足为 M 1 如图是轴对称图形吗 如果是 其对称轴是什么 2 你能发现图中有哪些等量关系 说一说你理由 老师点评 1 是轴对称图形 其对称轴是 CD 2 AM BM 即直径 CD 平分弦 AB 并且平分及 AC BC AD BD AB ADB 这样 我们就得到下面的定理 垂直于弦的直径平分弦 并且平分弦所对的两条弧 下面我们用逻辑思维给它证明一下 已知 直径 CD 弦 AB 且 CD AB 垂足为 M 求证 AM BM AC BC AD BD 分析 要证 AM BM 只要证 AM BM 构成的两个三角形全等 因此 只要连接 OA OB 或 AC BC 即可 证明 如图 连接 OA OB 则 OA OB 在 Rt OAM 和 Rt OBM 中 Rt OAM Rt OBM AM BM 点 A 和点 B 关于 CD 对称 O 关于直径 CD 对称 当圆沿着直线 CD 对折时 点 A 与点 B 重合 与重合 与重合 AC BC AD BD AC BC AD BD 进一步 我们还可以得到结论 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 本题的证明作为课后练习 例 1 有一石拱桥的桥拱是圆弧形 如图所示 正常水位下水面宽 AB 60 m 水面到拱顶距离 CD 18 m 当洪水泛滥时 水面宽 MN 32 m 时是否需要采取紧急措施 请说明理由 分析 要求当洪水到来时 水面宽 MN 32 m 是否需要采取紧急措施 只要求出 DE 的长 因此只要求半 径 R 然后运用几何代数解求 R 解 不需要采取紧急措施 设 OA R 在 Rt AOC 中 AC 30 CD 18 R2 302 R 18 2 R2 900 R2 36R 324 解得 R 34 m 连接 OM 设 DE x 在 Rt MOE 中 ME 16 342 162 34 x 2 162 342 68x x2 342 x2 68x 256 0 解得 x1 4 x2 64 不合题意 舍去 DE 4 不需采取紧急措施 三 课堂小结