高中数学 排列组合例题精选学案 新人教A版选修2-3

1 10 110 1 排列与组合排列与组合 10 1 1 学习目标 掌握排列 组合问题的解题策略 10 1 2 重点 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 正难则反 等价转化的策略 5 相邻问题捆绑处理的策略 6 不相邻问题插空处理的策略 10 1 3 难点 综合运用解题策略解决问题 10 1 4 学习过程 1 知识梳理 1 分类计数原理 加法原理 完成一件事 有几类办法 在第一类中有种有不同的m 1 方法 在第 2 类中有种不同的方法 在第 n 类型有种不同的方法 那么完成这件 2 m n m 事共有种不同的方法 n mmmN 21 2 分步计数原理 乘法原理 完成一件事 需要分成 n 个步骤 做第 1 步有 m1种不同 的方法 做第 2 步有 m2种不同的方法 做第 n 步有 mn种不同的方法 那么完成这件 事共有种不同的方法 n mmmN 21 特别提醒 特别提醒 分类计数原理与 分类 有关 要注意 类 与 类 之间所具有的独立性和 并列性 分步计数原理与 分步 有关 要注意 步 与 步 之间具有的相依性和连续 性 应用这两个原理进行正确地分类 分步 做到不重复 不遗漏 3 排列 从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素 按照一定顺序排成一列 叫做从 n 个 不同元素中取出 m 个元素的一个排列 4 排列数 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素排成一列 称为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列数 用符号表示 m n A 5 排列数公式 1 1 Nmnnm mn n mnnnAm 特别提醒 特别提醒 2 1 规定 0 1 2 2 含有可重元素的排列问题 对含有相同元素求排列个数的方法是 设重集 S 有 k 个不同元素 a1 a2 an其中限重复 数为 n1 n2 nk 且 n n1 n2 nk 则 S 的排列个数等于 21k nnn n n 例如 已知数字 3 2 2 求其排列个数又例如 数字 5 5 5 求其排列个数 3 3 1 2 n 其排列个数 1 3 3 n 6 组合 从 n 个不同的元素中任取 m m n 个元素并成一组 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 7 组合数公式 1 1 mnm n C m mnnn A A C m n m m m nm n 8 两个公式 mn n m n CC m n m n m n CCC 1 1 特别提醒 特别提醒 排列与组合的联系与区别 联系 都是从n个不同元素中取出m个元素 区别 前者是 排成一排 后者是 并成一组 前者有顺序关系 后者无顺序关系 2 典型例题 考点一 排列问题 例 1 六人按下列要求站一横排 分别有多少种不同的站法 1 甲不站两端 2 甲 乙必须相邻 3 甲 乙不相邻 4 甲 乙之间间隔两人 5 甲 乙站在两端 6 甲不站左端 乙不站右端 考点二 组合问题 例 2 男运动员 6 名 女运动员 4 名 其中男女队长各 1 人 选派 5 人外出比赛 在下列情 3 形中各有多少种选派方法 1 男运动员 3 名 女运动员 2 名 2 至少有 1 名女运动员 3 队长中至少有 1 人参加 4 既要有队长 又要有女运动员 考点三 综合问题 例 3 4 个不同的球 4 个不同的盒子 把球全部放入盒内 1 恰有 1 个盒不放球 共有几种放法 2 恰有 1 个盒内有 2 个球 共有几种放法 3 恰有 2 个盒不放球 共有几种放法 10 1 5 当堂测试 4 1 从 5 名男医生 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都 有 则不同的组队方案共有 A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 2 2010 年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 A 48 种 B 12 种 C 18 种 D36 种 3 从 0 1 2 3 4 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四 位数的个数为 A 48 B 12 C 180 D 162 4 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中 各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 5 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 A 6 B 12 C 30 D36 6 用 0 到 9 这 10 个 数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 7 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理 则甲 乙 至少有 1 人入选 而丙 没有入 选的不同选法的总数为 A 85 B 56 C 49 D 28 8 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两 名学生不能分到同一个班 则不同分法的总数为 A 18 B 24 C 30 D 30 9 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有两 位女生相邻 则不同排法的种数是 A 360 B 288 C 216 D 96 10 1 6 参考答案 5 例例 1 1 解解 1 方法一方法一 要使甲不站在两端 可先让甲在中间 4 个位置上任选 1 个 有 A 种站法 然后其余 5 人在另外 5 个位置上作全排列有 A 种站法 根据分步乘法计数原 1 4 5 5 理 共有站法 A A 480 种 1 4 5 5 方法二方法二 由于甲不站两端 这两个位置只能从其余 5 个人中选 2 个人站 有 A 种站法 2 5 然后中间 4 人有 A 种站法 根据分步乘法计数原理 共有站法 A A 480 种 4 4 2 5 4 4 方法三方法三 若对甲没有限制条件共有 A 种站法 甲在两端共有 2A 种站法 从总数中减去 6 6 5 5 这两种情况的排列数 即共有站 法 A 2A 480 种 6 6 5 5 2 方法一方法一 先把甲 乙作为一个 整体 看作一个人 和其余 4 人进行全排列有 A 种站法 再把甲 乙进行全排列 有 A 种站法 根据分步乘法计数原理 共有 A A 5 5 2 2 5 5 240 种 站法 2 2 方法二方法二 先把甲 乙以外的 4 个人作全排列 有 A 种站法 再在 5 个空档中选出一个供 4 4 甲 乙放入 有 A 种方法 最后让甲 乙全排列 有 A 种方法 共有 1 5 2 2 A A A 240 种 4 4 1 5 2 2 3 因为甲 乙不相邻 中间有隔档 可用 插空法 第一步先让甲 乙以外的 4 个 人站队 有 A 种站法 第二步再将甲 乙排在 4 人形成的 5 个空档 含两端 中 有 A 4 4 种站法 故共有站法为 A A 480 种 2 5 4 4 2 5 也可用 间接法 6 个人全排列有 A 种站法 由 2 知甲 乙相邻有 A A 240 种 6 6 5 5 2 2 站法 所以不相邻的站法有 A A A 720 240 480 种 6 6 5 5 2 2 4 方法一方法一 先将甲 乙以外的 4 个人作全排列 有 A 种 然后将甲 乙按条件插入 4 4 站队 有 3A 种 故共有 A 3A 144 种 站法 2 2 4 4 2 2 方法二方法二 先从甲 乙以外的 4 个人中任选 2 人排在甲 乙之间的两个位置上 有 A 种 2 4 然后把甲 乙及中间 2 人看作一个 大 元素与余下 2 人作全排列有 A 种方法 最后对 3 3 甲 乙进行排列 有 A 种方法 故共有 A A A 144 种 站法 2 2 2 4 3 3 2 2 6 5 方法一方法一 首先考虑特殊元素 甲 乙先站两端 有 A 种 再让其他 4 人在中间位置 2 2 作全排列 有 A 种 根据分步乘法计数原理 共有 A A 48 种 站法 4 4 2 2 4 4 方法二方法二 首先考虑两端两个特殊位置 甲 乙去站有 A 种站法 然后考虑中间 4 个位置 2 2 由剩下的 4 人去站 有 A 种站法 由分步乘法计数原理共有 A A 48 种 站法 4 4 2 2 4 4 6 方法一方法一 甲在左端的站法有 A 种 乙在右端的站法有 A 种 且甲在左端而乙在右 5 5 5 5 端的站法有 A 种 共有 A 2A A 504 种 站法 4 4 6 6 5 5 4 4 方法二方法二 以元素甲分类可分为两类 甲站右端有 A 种站法 甲在中间 4 个位置之一 5 5 而乙不在右端有 A A A 种 故共有 A A A A 504 种 站法 1 4 1 4 4 4 5 5 1 4 1 4 4 4 例例 2 2 解解 1 第一步 选 3 名男运动员 有 C 种选法 3 6 第二步 选 2 名女运动员 有 C 种选法 2 4 共有 C C 120 种选法 3 分 3 6 2 4 2 方法一方法一 至少 1 名女运动员包括以下几种情况 1 女 4 男 2 女 3 男 3 女 2 男 4 女 1 男 由分类加法计数原理可得总选法数为 C C C C C C C C 246 种 6 分 1 4 4 6 2 4 3 6 3 4 2 6 4 4 1 6 方法二方法二 至少 1 名女运动员 的反面为 全是男运动员 可用间接法求解 从 10 人中任选 5 人有 C种选法 其中全是男运动员的选法有 C 种 5 10 5 6 所以 至少有 1 名女运动员 的选法为 C C 246 种 6 分 5 10 5 6 3 方法一方法一 可分类求解 只有男队长 的选法为 C 4 8 只有女队长 的选法为 C 4 8 男 女队长都入选 的选法为 C 3 8 所以共有 2C C 196 种选法 9 分 4 8 3 8 方法二方法二 间接法 从 10 人中任选 5 人有 C种选法 5 10 7 其中不选队长的方法有 C 种 所以 至少 1 名队长 的选法为 C C 196 种 9 分 5 8 5 10 5 8 4 当有女队长时 其他人任意选 共有 C 种选法 不选女队长时 必选男队长 共有 4 9 C 种选法 其中不含女运动员的选法有 C 种 所以不选女队长时的选法共有 C C 种选 4 8 4 5 4 8 4 5 法 所以既有队长又有女运动员的选法共有 C C C 191 种 4 9 4 8 4 5 例 3 解解 1 为保证 恰有 1 个盒不放球 先从 4 个盒子中任意取出去一个 问题转 化为 4 个球 3 个盒子 每个盒子都要放入球 共有几种放法 即把 4 个球分成 2 1 1 的三组 然后再从 3 个盒子中选 1 个放 2 个球 其余 2 个球放在另 外 2 个盒 子内 由分步乘法计数原理 共有 C C C A 144 种 1 4 2 4 1 3 2 2 2 恰有 1 个盒内有 2 个球 即另外 3 个盒子放 2 个球 每个盒子至多放 1 个球 也 即另外 3 个盒子中恰有一个空盒 因此 恰有 1 个盒内有 2 个球 与 恰有 1 个盒不放 球 是同一件事 所以共有 144 种放法 3 确定 2 个空盒有 C 种方法 2 4 4 个球放进 2 个盒子可分成 3 1 2 2 两类 第一类有序不均匀分组有 C C A 种 3 4 1 1 2 2 方法 第二类有序均匀分组有 A 种方法 2 2 2 2 2 4 A CC 2 2 故共有 C C C A A 84 种 2 4 3 4 1 1 2 2 2 2 2 2 2 4 A CC 2 2 当堂检测答案 1 从 5 名男医生 4 名女医生中选 3 名医生组成一个医疗小分队 要求其中男 女医生都 有 则不同的组队方案共有 A 70 种 B 80 种 C 100 种 D 140 种 解析 分为 2 男 1 女 和 1 男 2 女两大类 共有 70 种 2112 5454 CCCC 解题策略 合理分类与准确分步的策略 2 2010 年广州亚运会组委会要从小张 小赵 小李 小罗 小王五名志愿者中选派四人 分别从事翻译 导游 礼仪 司机四项不同工作 若其中小张和小赵只能从事前两项工作 其余三人均能从事这四项工作 则不同的选派方案共有 A 48 种 B 12 种 C 18 种 D36 种 解析 合理分类 通过分析分为 1 小张和小王恰有 1 人入选 先从两人中选 1 人 然后 把这个人在前两项工作中安排一个 最后剩余的三人进行全排列有种选法 113 223 CCA 2 小张和小赵都入选 首先安排这两个人 然后再剩余的 3 人中选 2 人排列有 种方法 22 32 AA 共有 24 12 36 种选法 8 解题策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 3 从 0 1 2 3 4 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数 组成没有重复数字的四 位数的个数为 A 48 B 12 C 180 D 162 解析 分为两大类 1 含有 0 分步 1 从另外两个偶数中选一个 种方法 2 从 1 2 C 3 个奇数中选两个 有种方法 3 给 0 安排一个位置 只能在个 十 百位上选 有 2 3 C 种方法 4 其他的 3 个数字进行全排列 有种排法 根据乘法原理共 1 3 C 3 3 A 种方法 2 不含 0 分步 偶数必然是 2 4 奇数有种不同的选法 1213 2333 CCCA 2 3 C 然后把 4 个元素全排列 共种排法 不含 0 的排法有种 根据加法原理把两部分 4 4 A 24 34 C A 加一块得 180 1213 2333 CCCA 24 34 C A 解题策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 4 甲组有 5 名男同学 3 名女同学 乙组有 6 名男同学 2 名女同学 若从甲 乙两组中 各选出 2 名同学 则选出的 4 人中恰有 1 名女同学的不同选法共有 A 150 种 B 180 种 C 300 种 D 345 种 解析 4 人中恰有 1 名女同学的情况分为两种 即这 1 名女同学或来自甲组 或来自乙组 则所有不同的选法共有 种选法 112211 536562 C C CC C C 解题策略 合理分类与准确分步的策略 5 甲 乙两人从 4 门课程中各选修 2 门 则甲 乙所选的课程中至少有 1 门不相同的选法 共有 A 6 B 12 C 30 D36 解析 可以先让甲 乙任意选择两门 有种选择方法 然后再把两个人全不相同的 22 44 CC 情况去掉 两个人全不相同 可以让甲选两门有 种选法 然后乙从剩余的两门选 有 2 4 C 种不同的选法 全不相同的选法是种方法 所以至少有一门不相同的选法为 2 2 C 2 4 C 2 2 C 22 44 CC 30 种不同的选法 2 4 C 2 2 C 解题策略 正难则反 等价转化的策略 9 6 用 0 到 9 这 10 个 数字 可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为 A 324 B 328 C 360 D 648 解析 第一类个位是零 共种不同的排法 2 9 A 111 488 CCC 第二类个位不是零 共种不同的解法 111 488 CCC 解题策略 合理分类与准确分步的策略 7 从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理 则甲 乙 至少有 1 人入选 而丙 没有入 选的不同选法的总数为 A 85 B 56 C 49 D 28 解析 合理分类 甲乙全被选中 有 种 选 法 甲乙有一个被选中 有种 21 27 CC 12 27 CC 不同的选法 共 49 种不同的选法 21 27 CC 12 27 CC 解题策略 1 特殊元素优先安排的策略 2 合理分类与准确分步的策略 8 将甲 乙 丙 丁四名学生分到三个不同的班 每个班至少分到一名学生 且甲 乙两 名学生不能分到同一个班 则不同分法的总数为 A 18 B 24 C 30 D 30 将甲 乙 丙 丁四名学生分成三组 则共有种不同的分法 然后三组进行全排列共 2 4 C 种不同的方法 然后再把甲 乙分到一个班的情况排除掉 共种不同的排法 所以 3 3 A 3 3 A 总的排法为 30 种不同的排法 2 4 C 3 3 A 3 3 A 注意 这里有一个分组的问题 即四个元素分成三组有几种不同的分法的问题 这里分为有序分组和无序分组 有兴趣的同学可以继续研究 这里不再详述 解题策略 1 正难则反 等价转化的策略 2 相邻问题捆绑处理的策略 3 排列 组合混合问题先选后排的策略 9 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排 若男生甲不站两端 3 位女生中有且只有两 位女生相邻 则不同排法的种数是 A 360 B 288 C 216 D 96 解析 分析排列组合的问题第一要遵循特殊元素优先考虑的原则 先考虑女生的问题 先 从