高中数学教学论文 重视高中文科生基本数学思维的培养

1 对高中生应具备的基本数学思维的反思对高中生应具备的基本数学思维的反思 摘要 本文主要分三部分论述 第一部分注重讨论高中生应该具备的基本的数学思维 第二部分简 单指出文科生学习数学的几大欠缺 第三部分是本文的重点 其中引用几个例子主要叙述了 针对文科生我们应该如何开展数学教学工作 关键词 形象思维 抽象逻辑思维 直觉思维 师生关系 语言工具 反思 一 高中生应具备的基本的数学思维 1 形象思维 我们知道数学以其抽象性 严谨性著称 但是数学思维中也有形象思维的成分 从常用数学 思想 数形结合 就可以看出形象思维是人们建立和理解数学概念的基础 例如集合论中的 韦恩图 从中可以看出几何中的图形不仅是研究的对象 而且也成为重要的化深奥为浅显的 数学语言 再如 我们讲映射时 可以举这样一个形象的例子 高一年段有 14 个班级 老师 1 b 是 K 1 班的班主任 老师 2 b 是 K 2 班的班主任 老师 14 b 是 K 14 班的班主任 我 们如果记集合A 高一年段 14 个班级 集合B 高一年段 14 个班主任 再对应法则 f 取班主任 下 fAB 就是一个映射 且为一一映射 其中 7 b 是 K 7 班的象 K 7 班是 7 b 的原象 这样将抽象数学概念具体化的过程就充分体现了形象思维的作用及在数 学思维中所占的地位 抽象逻辑思维 抽象逻辑思维是以概念 判断 推理的形式进行的思维 我们运用数学符号和概念来推导和 证明某一命题或者定理的过程就是抽象逻辑思维的最佳体现 数学中的抽象逻辑思维包括抽 象思维和辨证思维 作为一线的教育工作者 许多同行都已看到要使学生具有较强的抽象思 维能力 就必须在数学教学中力求学生掌握一些逻辑的方法和规则 例如掌握分析 综合 类 比 归纳等逻辑方法 并通过一些训练使学生学习和掌握一些基本的数学经验 直觉思维 学生通常会提出这样一个问题 为什么老师想得到 而自己做题时就是想不出来 究其原因还 是学生直觉思维的欠缺 综合国内外对直觉思维的研究 虽然尚存在许多争论 但至少有两点 可以肯定 其一 直觉思维是一种很重要的思维 逻辑是证明的工具 直觉是发现的工具 概括地说明了直觉思维在日常生活和科学活动中的重要地位和作用 其二 直觉思维没有明 显的思维过程 思维者对其思维过程无明显的意识 要获得高度的直觉必须依赖于丰富的学 识和经验 二 高中文科生学习数学的几大缺点 1 感性多于理性 善于记忆式学习 众所周知 文科生多擅长于形象思维 对于逻辑思维要求较高的数学仍然沿用学习其他文科 类科目的方式 记忆式 以至于经常有学生抱怨 我又忘记怎么做了 不善于将问题归类并及时总结基本的解题思路 许多学生在平时训练时通常不懂得及时做一些比较和归类 而使学习的工作量大大增加 例 如对于题 1 求函数 21 2 xx y 的值域和单调区间 题 2 求函数 2 1 2 log 32 yxx 的值 域和单调区间 不善于总结的学生便不易找到两题之间的相通之处 2 自信心不足 时常出现负面的消极情绪 特别对于数学基础不扎实的高三学生 对于数学的学习时常徘徊于放弃与不放弃之间 另外 一些学生则患得患失 偶尔考试的失败 没有取得理想的成绩便产生消极情绪 课堂听课效率低 应考时又舍不得放弃 课堂上时常忙于笔记而忽略了最重要的解题思维过程的来龙去脉 严重影响了听课效率 应 考时又不舍得放弃而导致时间不够甚至降低了基础题的得分率 三 针对高中文科生的不足 我们应该如何教数学 大多数的高中文科生都认为数学是一门要花大量时间而又难以取得好成绩的困难的课程 数 学难学应该说是客观存在的事实 那么 我们如何在有限的时间内使学生尽可能好地掌握 应具备 的数学知识 包括能力 素养 这是一个极其复杂的问题 从近几年教育部对数 学课程内容的改革以及数学教改的历史来看 我们不难意识到 数学发展对数学教育的影响 远远超过教育学的发展对数学教育的影响 那么 我们自身教学改革的目标是使得数学更适 合于教育的需要 简单地说 要将数学变得更容易一些 但是这是不是可能呢 以下笔者将结 合自身的教学经验谈几点粗浅的看法 针对文科生 以下简称学生 我们如何使数学变得更 容易 优化师生关系 努力形成良好的师生协作环境 心理研究表明 个体只有在无拘无束的情况下 在轻松愉悦的气氛中才能更好地发挥积 极性 而数学的严谨性是众所周知的 这种严谨性又往往表现在数学符号 概念 定理的演绎 与推理 恰恰是这种严谨性使得学生感到 不自由 枯燥乏味 而对数学产生排斥情绪 因 此 数学老师比其他学科的老师更要注重去营造一个和谐的师生环境 放下权威地位与学生 共同学习 课堂中可选择一到两个小停顿 一至两分钟时间 缓和枯燥气氛 或者用适当夸张 的语调亦或幽默的方式唤回学生的注意 课下以朋友的方式去解答学生的问题 耐心 一视同 仁 事实证明 学生对数学老师的认同可以弥补其对数学学科的厌烦情绪而重新获得对数学 的主动性 笔者认为 如何营造一个和谐的师生协作环境 捅破师生之间无形的一层薄纸还有 待于进一步研究 也将是一个重要的教育课题 教学过程中语言工具的运用 这里我不想花大量的笔墨去说明那些提高解题能力的途径 因为在许多数学教育的刊物中都 可以找到对此的阐述 这里只想讨论如何通过数学表达的再创造使学生更容易理解数学 荷 兰数学家佛赖登塔尔曾在其论著 作为教育任务的数学 一书中指出 语言是一种弹性工具 在 用日常语言表达数学事实时必须改造它 这种改造的过程一直在持续着 再创造也是佛赖登 塔尔的核心观点 笔者认为这种改造 再创造 不仅要适应数学的需要 更重要的是适应学生 学习 理解 的需要 适应师生之间知识交流的需要 我们来看两个例子 例 1 已知 2 1 41f xxx 求 f x 解法 1 配凑法 22 1 4121222f xxxxxx 2 1 2 1 2xx 将 1x 用x替代 2 22f xxx 解法 2 换元法 令 1tx 1xt 22 1 4 1 122f ttttt 即 2 22f xxx 3 法一对于复合函数 f g x 当 g x 表达比较复杂时是较困难的 且有很大的局限性 而法二 则比较普遍实用 对于换元法的讲解 我么不妨引用这样的语言 我们将 f x 称为标准函数 f g x 当 g x 是非x的表达式时 称为非标准函数 那么 由 f x 求 f g x 即由标准 函数求非标准函数 只要将 f x 表达式中x带入 g x 即可 求函数值 反之 由 f g x 求 f x 即由非标准函数求标准函数 由于标准函数是由对应法则 f 作用于一个单变量 即 一个字母x 所以我们为了需要 不妨假设 tg x 这样便顺理成章引入了换元 问题迎刃 而解 学生也较容易理解 例 2 已知数列 n a 的前n项和为 n S 且 41 nn Sa 求 n a 解 由 41 nn Sa 知 11 41 nn Sa 得 11 44 nnn aaa 即 1 43 nm aa 1 4 3 n n a a 数列 n a 是以公比为 4 3的等比数列 在 中令 1n 111 41Saa 1 1 3 a 1 14 33 n n a 本题在一开始讲解时要注意让学生明白 不是一个等式 而是无数个等式 即对任意的 n成立 或者指明是n S 与 n a 的一种关系 而仅仅由 我们无从下手 又注意到 11nnn aSS 1 nnN 我们通常可以对 进行指标调整从而派生出 这样便容 易得到等比数列的结论 教学实践证明 通过数学语言的再创造和形式化 自觉地掌握语言 并把它作为数学表达的工具就叫做形式化 的活动使学生对数学知识及解题过程的理解更加 深刻且不会破坏数学本身的严谨性 要善于引导学生对解题过程的反思并及时帮助学生总结 例 3 假设函数 f x 对于任意的实数 x y 满足 f xyf xf y 当 0 x 时 0f x 试判断 f x 的单调性 4 解 任取 12 x xR 且 12 xx 21 0 xx 21 0f xx 而 212121 f xxf xxf xfx 取 yx 得到 0 ff xfx 取 0 xy 得到 0 0 0 fff 从而 0 0f fxf x 故 11 fxf x 2121 0f xxf xf x 即 21 f xf x f x 是R上的减函数 本题的解答过程体现了其思维顺序 讲解之后尤其要注重引导学生反思 入手根据单调性定 义 但是由于 f x 无表达式 所以 21 f xf x 无法运算 而题目条件中只有 0 x 0f x 可以用于判断函数值的正负 而想到 2121 0 0 xxf xx 接下来我们希 望 21 f xx 可以理成 21 f xf x 形式 需要的结论 而根据题目条件只能有 2121 f xxf xfx 而 1 fx 的出现又引导我们考虑函数奇偶性 考虑奇偶性的 需要 我们自然想到取 yx 但又得到了 0 f 而为了计算 0 f 顺理成章取 0 xy 从而问题得以 解决 我们应该力求让学生看到其思路过程的环环相套 甚至力求顺理成章 而不至于产生思维断路 其实基本上所有数学问题求解时都有其思维脉络 教学过程当中应 该及时帮助或者引导学生总结 诸如 分式中根式加减通常采用有理化 解析几何中曲线与直 线相交问题 我们一般要做几个基本工作