【志鸿优化设计】2014届高考数学一轮复习 第15章 选考部分 几何证明选讲教学案 苏教版选修4

1 第第 1515 章章 选考部分选考部分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 考纲要求 1 理解相似三角形的判定与性质定理 了解直角三角形射影定理 2 会证明并应用圆周角定理 弦切角定理 圆的切线的判定定理及性质定理 3 会证明并应用相交弦定理 圆内接四边形的判定定理与性质定理 割线定理 切割 线定理 1 平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等 那么在其他 直线上截得的线段也 推论 1 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边 推论 2 经过梯形一腰的中点 且与底边平行的直线平分另一腰 2 平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成 推论 1 平行于三角形一边的直线截其他两边 或 所得的对应线段 推论 2 用平行于三角形一边且和其他两边 的直线截三角形 所截得的三角形 的三边与原三角形的三边对应 3 相似三角形的判定定理 对应角相等 对应边成比例的两个三角形叫做相似三角 形 相似三角形对应边的比值叫做相似比 或相似系数 判定定理 1 两角对应相等 两三角形相似 判定定理 2 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 判定定理 3 三边对应成比例 两三角形相似 4 相似三角形的性质定理 1 相似三角形对应高的比 对应中线的比和对应角平分线的比等于 2 相似三角形周长的比等于相似比 3 相似三角形面积的比等于 结论 相似三角形外接圆的直径比 周长比等于 外接圆的面积比等于 射影定理 直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的 两直角边分 别是它们在斜边上射影与斜边的 5 圆内接四边形的性质与判定定理 1 性质定理 1 圆的内接四边形的对角 性质定理 2 圆内接四边形的外角等于它的内角的 2 判定定理 如果一个四边形的 那么这个四边形的四个顶点 推论 如果四边形的一个外角等于它的 那么这个四边形的四个顶点 6 圆的切线的性质及判定定理 1 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的 推论 1 经过圆心且垂直于切线的直线必经过 推论 2 经过切点且垂直于切线的直线必经过 2 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的 7 圆周角定理和弦切角定理 1 圆周角定理 圆上一条弧所对的 等于它所对的 的一半 推论 1 同弧或 所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的 也相等 推论 2 半圆 或直径 所对的圆周角是 90 的圆周角所对的弦是 2 2 弦切角定理 弦切角等于它所夹的弧所对的 8 圆心角定理 圆心角的度数等于它 的度数 9 相交弦定理 切割线定理和割线定理 1 相交弦定理 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的 相等 2 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条 线段长的比例中项 3 割线定理 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段 长的 相等 10 切线长定理 从 一点引圆的两条切线 它们的 相等 圆心和这一点的连线 两条切线的夹角 1 如图 已知在 ABC中 ACB 90 CD AB于D AC 6 DB 5 求AD的长 2 2012 江苏南通二模 如图 圆O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点 P E为圆O上一点 AE AC 求证 PDE POC 3 如图 AD是 BAC的平分线 O过点A且与BC边相切于点D 与AB AC分别交 于E F两点 求证 EF BC 1 使用平行线分线段成比例定理及其推论时易犯的错误是什么 提示 将比例关系搞错是易犯的错误 在使用上述定理及其推论时 一定要搞清有关 线段或边的对应关系 2 有关线段的比值问题 通常用什么方法解决 提示 通常用平行线分线段成比例定理或相似三角形的判定和性质解答此类问题 对 于乘积式 有时需要转化为比例式 再借助于上述方法去解决 一 平行线分线段成比例定理的应用 例 1 如图 在 ABC中 D为BC中点 E在CA上且AE 2CE AD BE相交于点 F 求 AF FD BF FE 方法提炼 1 在解答与比例问题有关的题目时 可通过构造平行线 结合平行线分线段成比例 定理去证明 2 作平行线的方法 1 利用中点作出中位线可得平行关系 2 利用已知线段的比例 3 关系 作相关线段的平行线 解题时要注意观察图形特点 巧添辅助线 对解题可起到事 半功倍的效果 请做针对训练 1 二 相似三角形的性质与判定定理的应用 例 2 2012 江苏盐城二模 如图 等边三角形ABC内接于圆O D为劣弧BC上一点 连结BD CD并延长分别交AC AB的延长线于点E F 求证 CE BF BC2 方法提炼 证明三角形相似时 应根据条件 结合图形选择恰当的方法 一般的思考顺序是 先 找两对内角对应相等 若只有一个角对应相等 再判定这个角的两邻边是否对应成比例 若无角对应相等 就需证明三边对应成比例 一般地 证明等积式成立时 可先将其化成 比例式 再考虑利用平行线分线段成比例定理证明或相似三角形的性质证明其成立 要特 别注意 三角形相似具有传递性 请做针对训练 2 三 圆周角 弦切角和圆的切线问题 例 3 2012 苏北四市二模 如图 直线AB经过圆O上的点C 并且 OA OB CA CB 圆O交直线OB于E D 连结EC CD 若 tan CED 圆O的半径为 1 2 3 求OA的长 方法提炼 1 圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系 从而证明三角形 全等或相似 进而可求得线段或角的大小 2 涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化 关于圆周上的点 常作直径 或半径 或 向弦 弧 两端画圆周角或作弦切角 请做针对训练 3 四 相交弦定理的运用 例 4 如图 O1与 O2相交于A B两点 过点A作 O1的切线交 O2于点C 过点B作两圆的割线 分别交 O1 O2于点D E DE与AC相交于点P 1 求证 AD EC 2 若AD是 O2的切线 且PA 6 PC 2 BD 9 求AD的长 方法提炼 相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具 应用时一方面要 熟记定理的等积式的结构特征 另一方面在与定理相关的图形不完整时 要用辅助线补齐 相应部分 在实际应用中 见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理 见到两条割线就要 想到割线定理 见到切线和割线时就要想到切割线定理 请做针对训练 4 4 几何证明选讲 是高考的选考内容之一 主要以平行线分线段成比例定理 直角三 角形射影定理 圆周角定理 圆的切线的判定与性质 相交弦定理 圆内接四边形的性质 与判定 切割线定理为载体 解决有关求角 求线段长及线段长度之比等题目 以解答题 的形式出现 题目的难度不大 1 一直角三角形的两条直角边之比是 1 3 求它们在斜边上的射影比 2 2012 江苏南京三模 如图 O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点 P E为 O上一点 DE交AB于点F 求证 PF PO PA PB 3 2012 苏北四市三模 如图 半径分别为R r R r 0 的两圆 O O1内切于点 T P是外圆 O上任意一点 连结PT交 O1于点M PN与内圆 O1相切 切点为N 求证 PN PM为定值 4 如图 ABC内接于 O 过点A的直线交 O于点P 交BC的延长线于点D 且 AB2 AP AD 1 求证 AB AC 2 如果 ABC 60 O的半径为 1 且P为弧AC的中点 求AD的长 5 参考答案参考答案 基础梳理自测基础梳理自测 知识梳理知识梳理 1 相等 2 比例 两边的延长线 成比例 相交 成比例 4 相似比 相似比的平方 相似比 相似比的平方 比例中项 比例中项 5 1 互补 对角 2 对角互补 共圆 内角的对角 共圆 6 1 半径 切点 圆心 2 切线 7 1 圆周角 圆心角 等弧 弧 直角 直径 2 圆周角 8 所对弧 9 1 积 3 积 10 圆外 切线长 平分 基础自测基础自测 1 解 在 Rt ABC中 ACB 90 CD AB AC2 AB AD 设AD x 则AB x 5 又AC 6 62 x x 5 即x2 5x 36 0 解得x 4 x 9 舍去 AD 4 2 证明 因为AE AC AB为圆O的直径 故 OAC OAE 所以 POC OAC OCA OAC OAC EAC 又 EAC PDE 所以 PDE POC 3 证明 如图 连结DE 因为AD是 BAC的平分线 所以 EAD DAC 因为BC切 O于点D 所以 EAD EDB 所以 EDB DAC 又 DEF DAC 所以 DEF EDB 所以EF BC 考点探究突破考点探究突破 例 1 解 过点D作DG AC且交BE于点G 因为点D为BC的中点 所以EC 2DG 因为AE 2CE 所以 AE DG 4 1 从而 所以 AF FD AE DG 4 1 GF FE 1 4 6 因为BG GE 所以 BF FE 3 2 例 2 证明 因为三角形ABC内接于圆O 且 BAC 60 所以 BDC 120 所以 DBC DCB 60 又 BFC DCB 60 所以 DBC BFC 同理 DCB CEB 所以 CBE BFC 所以 即BC2 BF CE BF BC BC CE 例 3 解 连结OC 因为OA OB CA CB 所以OC AB 因为OC是圆的半径 所以AB是圆的切线 因为ED是直径 所以 ECD 90 所以 E EDC 90 又 BCD OCD 90 OCD ODC 所以 BCD E 又因为 CBD EBC 所以 BCD BEC 所以 BC2 BD BE BC BE BD BC 又因为 tan CED BCD BEC CD EC 1 2 BD BC CD EC 1 2 设BD x 则BC 2x 因为BC2 BD BE 所以 2x 2 x x 6 所以x BD 2 所以OA OB BD OD 2 3 5 例 4 1 证明 连结AB AC是 O1的切线 BAC D 又 BAC E D E AD EC 2 解法一 PA是 O1的切线 PD是 O1的割线 PA2 PB PD 即 62 PB PB 9 PB 3 或PB 12 舍去 在 O2中由相交弦定理 得PA PC BP PE PE 4 DE BD PB PE 9 3 4 16 AD是 O2的切线 DE是 O2的割线 AD2 DB DE 9 16 AD 12 解法二 设BP x PE y PA 6 PC 2 由相交弦定理得PA PC BP PE 即xy 12 AD EC DP PE AP PC 9 x y 6 2 由 可得 Error 或Error 舍去 DE 9 x y 16 AD是 O2的切线 DE是 O2的割线 7 AD2 DB DE 9 16 AD 12 演练巩固提升演练巩固提升 针对训练针对训练 1 解 如图 在直角三角形ABC中 ACB 90 BC AC 1 3 作CD AB于D 由射影定理得BC2 BD AB AC2 AD AB 则 BC2 AC2 BD AD 1 9 故它们在斜边上的射影的比是 1 9 2 证明 连结OC OE 则 EOC 2 EDC 因为 所以 AOC EOC 所以 AOC EDC 所以 POC PDF 又 P P 所以 POC PDF 所以 即PF PO PC PD PO PD PC PF 又由割线定理 得PC PD PA PB 所以PF PO PA PB 3 证明 如图 作两圆的公切线TQ 连结OP O1M 则PN2 PM PT 所以 PN2 PT2 PM PT 由弦切角定理知 POT 2 PTQ MO1T 2 PTQ 于是 POT MO1T 所以OP O1M 所以 PM PT OO1 OT R r R 所以