【备考2014】2013高考数学 （真题+模拟新题分类汇编） 推理与证明 文

1 推理与证明推理与证明 M1M1 合情推理与演绎推理 图 1 3 17 M1M1 2013 湖北卷 在平面直角坐标系中 若点 P x y 的坐标 x y 均为整数 则 称点 P 为格点 若一个多边形的顶点全是格点 则称该多边形为格点多边形 格点多边形的 面积记为 S 其内部的格点数记为 N 边界上的格点数记为 L 例如图 1 3 中 ABC 是格点三 角形 对应的 S 1 N 0 L 4 1 图中格点四边形 DEFG 对应的 S N L 分别是 2 已知格点多边形的面积可表示为 S aN bL c 其中 a b c 为常数 若某格点多 边形对应的 N 71 L 18 则 S 用数值作答 17 1 3 1 6 2 79 解析 1 把四边形面积分割 其中四个面积为 的三角形 1 2 一个面积为 1 的正方形 故其面积为 S 3 四边形内部只有一个格点 边界上有 6 个格点 故答案为 3 6 1 2 根据图中的格点三角形和四边形可得 1 4b c 3 a 6b c 再选顶点为 0 0 2 0 2 2 0 2 的格点正方形可得 4 a 8b c 由上述三个方程组解得 a 1 b c 1 所以 S N L 1 将已知数据代入得 S 71 9 1 79 1 2 1 2 16 B7B7 M1M1 2013 山东卷 定义 正对数 ln x 现有四个命题 0 0 x 0 b 0 则 ln ab bln a 若 a 0 b 0 则 ln ab ln a ln b 若 a 0 b 0 则 ln ln a ln b a b 若 a 0 b 0 则 ln a b ln a ln b ln 2 其中的真命题有 写出所有真命题的编号 16 解析 中 当 ab 1 时 b 0 a 1 ln ab ln ab bln a bln a 当 0 ab0 0 a 1 ln ab bln a 0 正确 中 当 0 ab1 时 左边 ln ab 0 右边 ln a ln b ln a 0 ln a 0 不成立 中 当 1 即 a b 时 左边 0 右边 ln a ln b 0 左边 右边 成立 当 1 a b a b 时 左边 ln ln a ln b 0 若 a b 1 时 右边 ln a ln b 左边 右边成立 若 a b 2 0 b a1 b 0 左边 ln ln a ln b ln a 右 a b 边 ln a 左边 右边成立 正确 中 若 0 a b0 左边 右边 若 a b 1 ln a b ln 2 ln a b ln 2 ln a b 2 又 a 或 b a b 至少有 1 个大于 1 a b 2 a b 2 ln ln a 或 ln ln b 即有 ln a b ln 2 ln a b ln 2 ln a b 2 a b 2 ln a ln b 正确 a b 2 13 M1M1 2013 陕西卷 观察下列等式 1 1 2 1 2 1 2 2 22 1 3 3 1 3 2 3 3 23 1 3 5 照此规律 第 n 个等式可为 13 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 解析 结合已知所给定的几项的特点 可知式子左边共 n 项 且从 n 1 一直到 n n 右侧第一项为 2n 连乘的第一项为 1 最后一项为 2n 1 故所求表达式为 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 M2M2 直接证明与间接证明 20 M2M2 D2D2 D3D3 D5D5 2013 北京卷 给定数列 a1 a2 an 对 i 1 2 n 1 该数列前 i 项的最大值记为 Ai 后 n i 项 ai 1 ai 2 an的最小 值记为 Bi di Ai Bi 1 设数列 an 为 3 4 7 1 写出 d1 d2 d3的值 2 设 a1 a2 an n 4 是公比大于 1 的等比数列 且 a1 0 证明 d1 d2 dn 1是等比数列 3 设 d1 d2 dn 1是公差大于 0 的等差数列 且 d1 0 证明 a1 a2 an 1是 等差数列 20 解 1 d1 2 d2 3 d3 6 2 证明 因为 a1 0 公比 q 1 所以 a1 a2 an是递增数列 因此 对 i 1 2 n 1 Ai ai Bi ai 1 于是对 i 1 2 n 1 di Ai Bi ai ai 1 a1 1 q qi 1 因此 di 0 且 q i 1 2 n 2 di 1 di 即 d1 d2 dn 1是等比数列 3 3 证明 设 d 为 d1 d2 dn 1的公差 对 1 i n 2 因为 Bi Bi 1 d 0 所以 Ai 1 Bi 1 di 1 Bi di d Bi di Ai 又因为 Ai 1 max Ai ai 1 所以 ai 1 Ai 1 Ai ai 从而 a1 a2 an 1是递增数列 因此 Ai ai i 1 2 n 1 又因为 B1 A1 d1 a1 d1 a1 所以 B1 a1 a2 b b a b a a b 若正数 a b c d 满足 ab 4 c d 4 则 A a b 2 c d 2 B a b 2 c d 2 C a b 2 c d 2 D a b 2 c d 2 10 C 解析 从定义知 a b min a b 即求 a b 中的最小值 a b max a b 即求 a b 中的最大值 假设 0 a 2 0 b 2 则 ab2 d 2 则 c d 4 与已知 c d 4 相矛盾 则假 设不成立 故 min a b 2 即 c d 2 故选择 C M3M3 数学归纳法 M4M4 单元综合 1 2013 陕西安康模拟 已知 f1 x cos x f2 x f1 x f3 x f2 x f4 x f3 x fn x fn 1 x 则 f2011 x A sin x B sin x C cos x D cos x 1 D 解析 由已知 有 f1 x cos x f2 x sin x f3 x cos x f4 x sin x f5 x cos x 可以归纳出 f4n x sin x f4n 1 x cos x f4n 2 x sin x f4n 3 x cos x n N N 所以 f2 011 x f3 x cos x 2 2013 诸城模拟 如图 K41 1 所示将若干个点摆成三角形图案 每条边 色括两个 端点 有 n n l n N N 个点 相应的图案中总的点数记为 an 则 9 a2a3 9 a3a4 9 a4a5 9 a2 012a2 013 图 K41 1 A B 2 010 2 011 2 011 2 012 C D 2 012 2 013 2 013 2 012 2 B 解析 由图案的点数可知 a2 3 a3 6 a4 9 a5 12 所以 an 3n 3 n 2 所以 所以 9 anan 1 9 3 n 1 3n 1 n n 1 1 n 1 1 n 9 a2a3 9 a3a4 9 a4a5 9 a2 012a2 013 1 选 B 1 2 1 2 1 3 1 2 011 1 2 012 2 011 2 012 3 2013 绍兴模拟 已知 1 2 3 3 32 4 33 n 3n 1 3n na b c 对一 切 n N N 都成立 那么 a b c 的值分别为 A a b c 1 2 1 4 B a b c 1 4 C a 0 b c 1 4 D 不存在这样的 a b c 5 3 A 解析 令 n 1 2 3 得所以 a b c 3 a b c 1 9 2a b c 7 27 3a b c 34 1 2 1 4 4 2013 广东汕头模拟 已知 2 3 4 若 2 2 3 2 3 3 3 8 3 8 4 4 15 4 15 6 a t 均为正实数 类比以上等式 可推测 a t 的值 则 a t 6 a t a t 4 29 解析 类比等式可推测 a 6 t 35 则 a t 29 5 2013 江门联考 已知等差数列 an 中 有 则在等比数列 bn 中 会有类似的结论 a11 a12 a20 10 a1 a2 a30 30 5 解析 由等比数列的性质可知 b1b30 b2b29 b11b20 10 b11b12 b20 30 b1b2 b30 所以 10 b11b12 b20 30 b1b2 b30 6 2013 福州模拟 已知点 A x1 ax1 B x2 ax2 是函数 y ax a 1 的图像上任意 不同两点 依据图像可知 线段 AB 总是位于 A B 两点之间函数图像的上方 因此有结论 a成立 运用类比思想方法可知 若点 A x1 sin x1 B x