【提优教程】江苏省2012高中数学竞赛 第25讲 反三角函数与三角方程教案

用心 爱心 专心1 第第 2525 讲反三角函数与三角方程讲反三角函数与三角方程 本讲主要内容 反三角函数的概念 运算与解三角方程 反三角函数 三角函数在其整个定义域上是非单调的函数 因此 在其整个定义域上 三角函数是没有反函数的 但是如果限定在某个单调区间内就可以讨论三角函数的反函数 了 一 反正弦函数一 反正弦函数 1 1 定义 定义 函数y sinx x 的反函数就是反正弦函数 记为 2 2 y arcsinx x 1 1 这个式子表示 在区间 内 正弦函数值为x的角就是 arcsinx 2 2 即 sin arcsinx x x 1 1 2 2 反正弦函数的性质 反正弦函数的性质 定义域为 1 1 值域为 2 2 在定义域上单调增 是 1 1 上的奇函数 即 arcsin x arcsinx x 1 1 y arcsinx的图象 与y sinx x 的图象关于y x对称 2 2 arcsin sinx 的值及y arcsin sinx 的图象 arcsin sinx x x 2 2 二 反余弦函数二 反余弦函数 仿反正弦函数的情况可以得到 1 1 定义 定义 函数y cosx x 0 的反函数就是反余弦函数 记为 y arccosx x 1 1 这个式子表示 在区间 0 内 余弦函数值为x的角就是 arccosx 即 cos arccosx x x 1 1 2 2 反余弦函数的性质 反余弦函数的性质 定义域为 1 1 值域为 0 在定义域上单调减 是 1 1 上的非奇非偶函数 即 arccos x arccosx x 1 1 y arccosx的图象 与y cosx x 0 的图象关于y x对称 arccos cosx 的值及y arccos cosx 的图象 arccos cosx x x 0 三 反正切函数三 反正切函数 1 1 定义 定义 函数y tanx x 的反函数就是反正切函数 记为 2 2 y arctanx x R R 这个式子表示 在区间 内 正切函数值为x的角就是 arctanx 2 2 即 tan arctanx x x R R 用心 爱心 专心2 2 2 反正切函数的性质 反正切函数的性质 定义域为 R R 值域为 2 2 在定义域上单调增 是 R R 上的奇函数 即 arctan x arctanx x R R y arctanx的图象 与y tanx x 的图象关于y x对称 2 2 arctan tanx 的值及y arctan tanx 的图象 arctan tanx x x 2 2 四 反余切函数四 反余切函数 请根据上面的内容自己写出 A类例题 例例 1 1 证明 cos arcsinx sin arccosx tan arccotx 1 x21 x2 并作它们的图象 1 x sin arc tan x tan arcsinx x 1 x2 x 1 x2 cos arctanx tan arccosx 1 1 x2 1 x2 x 证明 设 arcsinx 则 且 sin x 于是 cos 即 2 21 x2 cos arcsinx 1 x2 同理可证其余 设 arctanx 则 tan x 于是 sec 2 21 x2 所以 sin tan cos 就是 sin arctan x 同理可证其 x 1 x2 x 1 x2 余 说明 本题给出了反三角函数运算的方法 把某个反三角函数看成是在某个范围 该反 三角函数的主值区间 内的一个角 把反三角函数的运算改成三角函数的运算 例例 2 2 证明 arcsinx arccosx x 1 1 2 arctanx arccotx x R R 2 证明 令 arcsinx arccosx 则 0 2 2 2 2 2 而 sin x sin cos x 即 sin sin 但 与 都在区间 2 2 2 2 内 在此区间内正弦函数是单调增函数 从而 就是 arcsinx arccosx 2 2 同法可证 用心 爱心 专心3 说明 这是关于反正弦与反余弦函数 反正切与反余切函数的一个重要关系式 例 3 计算 sin arcsinx arcsiny x y 1 1 cos arccosx arccosy x y 1 1 解 sin arcsinx arcsiny x y 1 y21 x2 cos arccosx arccosy xy 1 x21 y2 情景再现 1 若 arctanx arctany arctanz 证明 x y z xyz 证明 cot arctanx arctan 1 x 1 x x2 2 设f x x2 x arcsin arctan arc cos arc 1 3 5 4 1 3 cot 则 5 4 A f f f f B f f f f C f f f f D f f f f 3 函数y arc cos x2 的值域是 1 2 A B C D 2 6 2 3 6 3 B类例题 例 4 求 10cot arc cot3 arc cot7 arc cot13 arc cot21 的值 解 设 arccot3 arccot7 arccot13 arccot21 则 0 4 tan tan tan tan 1 3 1 7 1 13 1 21 tan tan tan 1 tan tan 1 3 1 7 1 1 3 1 7 10 20 1 2 tan tan tan 1 tan tan 1 13 1 21 1 1 13 1 21 1 8 tan 1 2 1 8 1 1 2 1 8 2 3 10cot arc cot3 arc cot7 arc cot13 arc cot21 10 15 3 2 例 5 求常数c 使得 f x arc tan c在区间 内是奇函数 2 2x 1 4x 1 4 1 4 用心 爱心 专心4 解 若f x 是 内的奇函数 则必要条件是f 0 0 即c arctan2 1 4 1 4 当c arctan2 时 tan arcta arctan2 2 2x 1 4x 2 2x 1 4x 2 1 2 2x 1 4x 2 2x 2 2x 2 8x 1 4x 4 4x 即f x arctan 2x f x arctan 2x arctan2x f x 故f x 是 内的奇函数 1 4 1 4 说明 例 6 x 表示不超过x的最大整数 x 表示x的小数部分 即 x x x 则方程 cot x cot x 1 的解集为 解 由于 0 x 1 故 cot x cot1 0 即 cot x 0 cot x tan x cot x 1 cot x 2 x k x 即 x x k k Z Z 就是x k k Z Z 2 2 2 说明 情景再现 4 函数f x arc tanx arc sinx的值域是 1 2 A B C D 3 4 3 4 3 4 3 4 2 2 5 设 1 a 0 arc sina 那么不等式 sinx a的解集为 A x 2n x 2n 1 n Z Z B x 2n x 2n 1 n Z Z C x 2n 1 x 2n n Z Z D x 2n 1 x 2n n Z Z 6 在区间 0 上 三角方程 cos7x cos5x的解的个数是 C类例题 例 7 求使方程 sinx有实数解的实数a的取值范围 a a sinx 分析 解 sinx 0 平方得 sin2x a 故a sin2x a sinx 平方整理得 a2 2sin2x 1 a sin4x sinx 0 这是一个关于a的一元二次方程 2sin2x 1 2 4 sin4x sinx 4sin2x 4sinx 1 2sinx 1 2 a 2sin2x 1 2sinx 1 1 2 其中 a sin2x sinx 1 sin2x 故舍去 a sin2x sinx 当 0 sinx 1 时 有a 0 1 4 用心 爱心 专心5 当a 0 时 得 sinx 0 或 1 有实解 当a 时 sinx 有实解 1 4 1 2 即a的取值范围为 0 1 4 说明 例 8 解方程 cosnx sinnx 1 这里 n表示任意给定的正整数 分析 可先从n 1 2 3 着手研究 找出规律再解 n 1 时 cosx sinx 1 n 2 时 cos2x sin2x 1 n 3 时 cos3x sin3x 1 n 4 时 cos4x sin4x 1 解 原方程就是 cosnx 1 sinnx 当n为正偶数时 由于 cosnx 1 sinnx 0 故当且仅当 cosnx 1 sinnx 0 即x k k Z Z 时为 解 当n为正奇数时 若 2k x 2k 则 cosnx 1 sinnx 0 故只有 cosnx 1 sinnx 0 时 即 x 2k k Z Z 时为解 若 2k x 2 k 1 由于 1 sinnx 0 故只能在 2k x 2 k 1 内求解 3 2 此时x 2k 满足方程 3 2 若 2k x 2 k 1 当n 1 时 cosx sinx cosx sinx 1 3 2 当n 3 时 cosnx sinnx cosnx sinnx cos2x sin2x 1 即此时无解 所以 当n为正偶数时 解为x k k Z Z 当n为正奇数时 解为x 2k 与 x 2k k Z Z 3 2 说明 情景再现 7 解方程 cos2x cos22x cos23x 1 8 求方程x2 2xsin 1 0 的所有实数根 x 2 习题 25 1 arc sin sin2000 2000 年全国高中数学联赛 2 已知函数 y arcsin 2x y sin x cos x y log2x log1 2 1 x 其中 在区间 1 上单调的函数是 1 2 A 和 B 和 C 和 D 3 函数y arcsin sinx arcos cosx x 0 2 的值域 其中 x 表示不超过 实数x的最大整数 是 A 0 B 3 2 2 2 3 2 用心 爱心 专心6 C 0 D 2 1 0 1 2 4 已知 sin2 sin 则 2 2 4 5 求方程x2 2xsin 1 0 的所有实数根 x 2 6 求关于x的方程 x2 2x sin 2 0 的实数根 x 2 7 解方程 sinx 2 2csc2x 1 4 8 求方程 sinnx cosnx 的实数解 其中m n是正奇数 1 cosmx 1 sinmx 本节 情景再现 解答 1 证明 令 arctanx arctany arctanz 则 tan x tan y tan z x y tan tan tan 1 tan tan tan 1 tan tan z 1 xy z xyz x y z xyz 设 arctanx arctan 1 x 则 tan x 1 x 1 x 1 x 1 1 x x2 cot 1 x x2 故证 2 选B 解 f x x 2 0 2 2 4 6 4 3 2 2 3 3 4 5 6 故f f f f 2 2 2 2 3 选D 解 1 x2 y 1 2 1 2 3 4 解 定义域 1 1 在此范围内 arc tanx arc sinx x 4 4 1 2 4 4 故选D 5 解 x 2n 1 x 2n 选D 6 解 7x 5x 2k x k x k Z Z k 6 x k 0 1 2 3 4 5 6 k 6 7 解 1 cos2x 1 cos6x 1 2 cos22x 1 cos4xcos2x cos22x 0 cos2xcos3xcosx 0 用心 爱心 专心7 cos2x 0 2x k x k 2 1 2 4 cos4x 4x 2k x k k Z Z 1 2 2 3 1 2 1 6 8 解 4sin2 4 0 故 sin 1 k x 2k 1 x 2 x 2 x 2 2 2k 1 2 2 2k 1 1 1 4k2 4k 2 4k 2 0 当k为偶数时 4k2 0 k 0 当k为奇数时 4k2 8k 4 0 k 1 故解为x 1 习题 25 解答 1 解 2000 1800 180 20 故 sin2000 sin 180 20 sin 20 故原 式 20 2 解 函数在x 1 时 2x 1 2 此时y arcsin 2x 无意义 从而A C 1 2 均错 y sin x cos x sin x 在 1 上单调减 故D错 2 4 1 2 y log2x log1 2 1 x log2 log2 1 在 1 上单调增 故选 x 1 x 1 1 x 1 2 B 3 解 x 0 时 sinx 0 cosx 1 arcsin sinx arcos cosx 0 x 0 时 sinx cosx 0 arcsin sinx arcos cosx 2 2 x 时 sinx 1 cosx 0 arcsin sinx arcos cosx 2 2 x 时 sinx 0 cosx 1 arcsin sinx arcos cosx 2 x 时 sinx 1 cosx 1 arcsin sinx arcos cosx 3 2 2 x 2 时 sinx 1 cosx 0 arcsin sinx arcos cosx 选 3 2 2 C 4 解 2 2k 2k 4 4 4 2 2k 4 4 5