【师说系列】2014届高考数学一轮练之乐 1.8.7抛物线 文

1 师说系列师说系列 2014 2014 届高考数学一轮练之乐届高考数学一轮练之乐 1 8 71 8 7 抛物线抛物线 文文 一 选择题 1 已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点 A B 是该抛物线上的两点 AF BF 3 则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为 A B 1 C D 3 4 5 4 7 4 解析 根据抛物线定义与梯形中位线定理 得线段 AB 中点到 y 轴的距离为 AF BF 1 2 1 4 3 2 1 4 5 4 答案 C 2 过抛物线 y2 4x 的焦点作直线交抛物线于 A x1 y1 B x2 y2 两点 如果 x1 x2 6 那么 AB A 10 B 8 C 6 D 4 解析 由Error Error k2x2 2 k2 2 x k2 0 x1 x2 6 k 1 2 k2 2 k2 AB 2 1 k2 x1 x2 2 64 AB 8 答案 B 3 将两个顶点在抛物线 y2 2px p 0 上 另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记 为 n 则 A n 0 B n 1 C n 2 D n 3 解析 设直线 y x 与抛物线 y2 2px 联立可得 x p 故可得两交点 3 3 p 2 7 43 2 坐标为 p p 2p 和 p p 2p p p 2p 与 0 7 43 23 7 43 23 7 43 23 p 2 之间的距离为 2 2 p p p 2p 与 0 之间的距离为 2 2 p 故 3 7 43 23 p 23 等边三角形有两个 选 C 答案 C 4 已知双曲线 1 a 0 b 0 的左顶点与抛物线 y2 2px p 0 的焦点的距离为 x2 a2 y2 b2 4 且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为 2 1 则双曲线的焦距为 A 2 B 2 35 C 4 D 4 35 解析 由Error Error 解得Error Error 由题意得知Error Error 得Error Error 又知 a 4 p 2 故 a 2 b 1 c a2 b25 2 焦距 2c 2 故选 B 5 答案 B 5 设 M x0 y0 为抛物线 C x2 8y 上一点 F 为抛物线 C 的焦点 以 F 为圆心 FM 为 半径的圆和抛物线 C 的准线相交 则 y0 的取值范围是 A 0 2 B 0 2 C 2 D 2 解析 圆心到抛物线准线的距离为 p 即 4 根据已知只要 FM 4 即可 根据抛物线定义 FM y0 2 由 y0 2 4 解得 y0 2 故 y0 的取值范围是 2 答案 C 6 已知点 P 为抛物线 y2 2x 上的动点 点 P 在 y 轴上的射影是 M 点 A 的坐标是 4 7 2 则 PA PM 的最小值是 A B 4 11 2 C D 5 9 2 解析 焦点 F 当 P A F 三点共线时 PA PM 才有最小值 此时 1 2 0 PA PM PA PF 即 PA PM 的最小值为 FA 1 2 1 2 5 故选 C 7 2 1 2 2 42 1 2 1 2 9 2 答案 C 二 填空题 7 坐标原点为 O 抛物线 y2 2x 与过其焦点的直线交于 A B 两点 则 OA OB 解析 依题意 抛物线 y2 2x 的焦点坐标为 F 0 不妨考虑特殊情况 即直线 AB 与 1 2 x 轴垂直 此时解得 A 1 B 1 所以 1 1 2 1 2 OA OB 1 4 3 4 答案 3 4 8 设 A x1 y1 B x2 y2 是抛物线 y 2x2 上的两点 直线 L 是 AB 的垂直平分线 当 直线 L 的斜率为 时 则直线 L 在 y 轴上截距的取值范围是 1 2 解析 设 L 在 y 轴上的截距为 b 则直线 L 的方程为 y x b 过点 A B 的直线可设为 1 2 y 2x m 则 A B 的坐标是方程组Error Error 的解 即 x1 x2 是方程 2x2 2x m 0 的两 根 从而有 x1 x2 1 4 8m 0 m 1 2 又 AB 的中点 N m 1 在直线 L 上 即 m 1 b m b 将 m b 代入 得 1 2 1 4 5 4 5 4 3 b 故直线 L 在 y 轴上截距的取值范围是 3 4 3 4 答案 3 4 9 设圆 C 位于抛物线 y2 2x 与直线 x 3 所围成的封闭区域 包含边界 内 则圆 C 的半 径能取到的最大值为 解析 依题意 结合图形的对称性可知 要使满足题目约束条件的圆的半径最大 圆心位 于 x 轴上时才有可能 可设圆心坐标是 a 0 0 a 3 则由条件知圆的方程是 x a 2 y2 3 a 2 由Error Error 消去 y 得 x2 2 1 a x 6a 9 0 结合图形分析可知 当 2 1 a 2 4 6a 9 0 且 0 a 3 即 a 4 时 相应的圆满足题目约束条件 因此所求圆的最大半径是 6 3 a 1 6 答案 1 6 三 解答题 10 设抛物线顶点在原点 开口向上 A 为抛物线上一点 F 为抛物线焦点 M 为准线 l 与 y 轴的交点 已知 AM AF 3 求此抛物线的方程 17 解析 作 AB y 轴于 B AC l 于 C 据抛物线定义 AC AF AF 3 AC 3 从而 BM AC 3 AM 在 Rt ABM 中 AB 2 AM 2 BM 2 17 9 8 17 在 Rt ABF 中 BF 2 AF 2 AB 2 9 8 1 BF 1 从而 FM BF BM 4 或 FM BM BF 2 即抛物线的焦准距 p 4 或 p 2 又 抛物线开口向上 故抛物线方程为 x2 8y 或 x2 4y 11 已知 F 是抛物线 C y2 4x 的焦点 A B 是 C 上的两点 线段 AB 的中点为 M 2 2 求 ABF 的面积 解析 设过点 M 的直线方程为 y 2 k x 2 k 0 由Error Error 消去 y 得 k2x2 4k2 4k 4 x 4 k 1 2 0 设 A x1 y1 B x2 y2 则 x1 x2 x1x2 4k2 4k 4 k2 4 k 1 2 k2 由题意 2 x1 x2 2 4 k 1 于是直线方程为 y x 4k2 4k 4 k2 x1 x2 4 x1x2 0 AB 4 焦点 F 1 0 到直线 y x 的距离 d 2 1 2 4 ABF 的面积是 4 2 1 22 1 2 12 已知抛物线 C1 x2 y 圆 C2 y x2 y 4 2 1 的圆心为点 M 1 求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离 2 已知点 P 是抛物线 C1 上一点 异于原点 过点 P 作圆 C2 的两条切线 交抛物线 C1 于 A B 两点 若过 M P 两点的直线 l 垂直于直线 AB 求直线 l 的方程 解析 1 由题意可知 抛物线 C1 的准线方程为 y 所以圆心 M 0 4 到准线的距离 1 4 是 17 4 2 设 P x0 x A x1 x B x2 x 由题意得 2 02 12 2 x0 0 x0 1 x1 x2 设过点 P 的圆 C2 的切线方程为 y x k x x0 2 0 即 y kx kx0 x 2 0 则 1 kx0 4 x2 0 1 k2 即 x 1 k2 2x0 4 x k x 4 2 1 0 2 02 02 0 设 PA PB 的斜率为 k1 k2 k1 k2 则 k1 k2 是上述方程的两根 所以 k1 k2 k1k2 2x0 x2 0 4 x2 0 1 x2 0 4 2 1 x2 0 1 将 代入 y x2 得 x2 kx kx0 x 0 2 0 由于 x0 是此方程的根 故 x1 k1 x0 x2 k2 x0 所以 kAB x1 x2 k1 k2