余弦定理的教学设计

北京师范大学出版社 必修必修 5 第二章第 1 2 节 余弦定理余弦定理 执教人 执教人 赵赵 玲玲 单单 位 位 安徽省濉溪中学安徽省濉溪中学 余弦定理余弦定理 教学目标教学目标 1 知识与技能 探索任意三角形的边长与角度间的具体量化关系 引导学生观察 猜想 探究 归纳 出余弦定理 掌握余弦定理的内容及其证明方法 并学会应用余弦定理解决解三角形的两 类基本问题 并会运用余弦定理判断三角形的形状 2 过程与方法 通过对问题的探究 培养学生提出问题 分析问题 解决问题的能力 3 情感 态度 与价值观 培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法 通过平面几何 解析几何 三角函 数 余弦定理 向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辨证统一 增 强学生的合作精神和交流能力 发展学生的创新意识 培养创造性思维能力 教材分析教材分析 本节内容安排在 数学必修 5 北师大版 第二章 解三角形 第一节第 2 课时 余 弦定理 显然是对三角知识的应用 同时 作为三角形中的一个定理 也是对初中解直角 三角形内容的直接延伸 因而定理本身的应用又十分广泛 通过利用向量的数量积和几何 方法推导余弦定理 正确理解其结构特征和表现形式 解决 已知三边求三角形的三个角 已知两边及其夹角求三角形的其他边和角 及 判断三角形的形状 等问题 培养学生 数学思维品质 激发学生探究数学 应用数学的潜能 教学方法 教学方法 本节课采用合作探究教学模式 即在教学过程中 在教师的启发引导下 学生独立自 主 合作探究 以问题为导向设计教学情境 以 余弦定理的发现和证明 为基本探究内 容 学生通过个人 小组 集体合作等尝试活动 在知识的形成 发展过程中展开思维 培养学生发现问题 探索问题的能力和创新能力 教学重点 教学重点 余弦定理的证明及其应用 教学难点 教学难点 理解余弦定理的作用和使用范围 教学手段教学手段 多媒体辅助教学 教教 具具 直尺 粉笔 教鞭 教学过程设计教学过程设计 知识回顾知识回顾 正弦定理及其主要解决哪几类问题 设计意图 设计意图 回顾旧知 防止遗忘 提出问题 创设情境提出问题 创设情境 思考 思考 我们知道勾股定理 即直角 ABC 中 C 90 有 那么一般的三 222 cab 角形中 是否也有相似的结论 设计意图 设计意图 引导学生从简单入手 探求新知 合作探究合作探究 采取小组合作的形式 猜想 并鼓励学生用多种方法证明余弦定理 学学 生生 甲甲 上讲台讲解用向量的方法证明余弦定理 由向量的数量积 得 2 aBC BC ACABACAB 22 2ACAC ABAB 22 2cosbbcAc 即 222 2cosabcbcA 同理可得 222 2cos bcacaB 222 2cos cababC 余弦定理余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的 余弦的积的两倍 即 222 2cosabcbcA 222 2cos bcacaB 222 2cos cababC 学生乙 学生乙 上讲台讲解利用平面几何法证明余弦定理 学生丙 学生丙 用解析几何法证明余弦定理 设计意图 设计意图 通过以上向量法 平面几何法 解析几何法引导学生体会证明余弦定理 更好 地让学生主动投入到整个数学学习的过程中 培养学生发散思维能力 拓展学生思维空间 的深度和广度 培养学生语言表达能力 运用定理 解决问题运用定理 解决问题 思考思考 1 余弦定理是关于三角形的三边和一个角的关系式 从方程的角度看 已知其中 三个量 可以求出第四个量 那么能否由三边求出一个角呢 从余弦定理的三个关系式中 分离出角的余弦 可以得到以下变形 可以解决 已知三角形的三边求角 的问题 思考思考 2 运用余弦定理还可以解决什么样的解三角形问题呢 已知两边和夹角 求三角形的其他的边和角 应用举例一 应用举例一 解三角形问题 当堂检测 当堂检测 应用举例二 判断三角形形状 方法技巧 判断三角形形状时 若给的是边角关系 应用余弦定理或正弦定理将所给条件统一 转化为边之间关系或角之间关系 再进行恒等变形 化简 得出结论 强化训练 222 cos 2 bca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 abc C ab 1 a 例 1 在ABC 中 已知 b 1 c 2 A 60 求 1 5 37ABCABACBC 在中 求cosA 2 cos b ABCA c 例在中 a b c分别是A B C 的对边 已知 判断此三角形的形状 222 222 1 2 bcab bcc abABC 解 法由题意及余弦定理得化简得 c所以为直角三角形 sin 2 coscos sinsincos sin sinsin sincos sincos0 0 sin0 cos0 2 bB AABCA cC BABBACCAAC AACCABC 法由及正弦定理得 又即 为直角三角形 2 5 4 ABCabc 在中 判断此三角形的形状 注 已知三边确定角时 如果角的余弦值为正值 则角为锐角 若余弦值为负值 角为钝 角 课堂小结 课堂小结 1 余弦定理 2 利用余弦定理可以解决两类有关解三角形的问题 1 已知两边和一角 求其他的边和角 2 已知三边 求任意一角 3 利用余弦定理判断三角形的形状 4 数学思想方法 数学结合思想 转化与化归思想 作业 习题 2 1 A 组 第 2 题 第 5 题 教学反思