高二数学直线与圆锥曲线的位置关系（一）人教版知识精讲

高二数学直线与圆锥曲线的位置关系 一 人教版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 直线与圆锥曲线的位置关系 一 二 基本知识与方法 1 方程根的个数与相应函数图象交点个数相等 2 会用方程解的个数或判别式判断直线与曲线交点的个数 当一元二次方程的二次项 系数 形式上的 含有字母时 要分等于零和不等于零两种情形讨论方程根的个数 3 会用数形结合的方法 确定直线与曲线的位置关系 典型例题典型例题 例 1 已知抛物线与直线yxaxyx 2 1 2 2 1 求证抛物线与直线恒有公共点 2 当抛物线顶点在直线下方时 求 a 的取值范围 y y 2x a a 2 x 0 a 2 解 解 由1 1 2 2 2 yxax yx 得 24210 2 xa x 4280 2 a恒成立 直线与抛物线恒有公共点 2 2 2 4 2 2 x a y a 由 得2 2 2 4 2222 2 aa a 例 2 直线与椭圆恒有公共点 求实数 的范围ykxkR xy m m 1 5 1 22 解法一 解法一 由 ykx mxym 1 55 22 得 mkxkxm 510550 22 m 0 mk50 2 令恒成立 0 即恒成立10045550 22 kmkm 15 2 mk恒成立 mk151 2 max 又 m 5 mm15 且 解法二 解法二 直线 y kx 1 恒过点 0 1 直线与椭圆有交点点 不在椭圆外 01 0 5 1 1 m 即 且mm 15 例 3 讨论直线 l y kx 1 与双曲线 C x2 y2 1 的公共点的个数 y l l 1 x 0 解 解 由 得 ykx xy kxkx 1 1 1220 22 22 1 若 1 k2 0 即 k 1 时 方程 kx 1 0 有唯一解 当 k 1 时 l 与 C 有 1 个交点 即直线 y x 1 与 y x 1 分别与 C 有一个公共点 2101 2 若 即时 kk 由102 k 直线与分别与 有一个切点 yxyxC2121 由2022 k 当或或时 直线 与 有两个公共点 211112kkklC 例 4 当时 关于 的方程有几个实根 0 1 3 2 kxxkx 解 解 原方程化为 xk x x 2 0 22 在同一坐标系中 画出 的图象 yxyk xx 20 22 由图象交点个数可知原方程有 3 个实根 y 2 1 x 0 2 3 例 5 已知抛物线 x ay2 1 上恒有关于直线 l y x 对称的两点 求 a 的取值范围 解 解 设 为直线 与抛物线的两交点P xyQ xyly a x 1122 2 1 1 P Q 的中点为 M x y 则由 y a x y a x yyyy a xx 1 2 1 2 2 2 212121 1 1 1 1 1 又 klk yy xx PQPQ 21 21 1 y yy a 12 2 1 2 且 PQ 中点 M 在 l 上 xy a 1 2 即 x a y a 1 2 1 2 又由为抛物线内部的点My a x 2 1 1 1 2 1 1 1 2 21 2 22 aaa a a 21 1 2 a a 3 4 模拟试题模拟试题 1 设抛物线 y2 8x 的准线与 x 轴交于点 Q 若过点 Q 的直线与抛物线有公共点 则直l 线的斜率的取值范围是 l A B 1 2 1 2 22 C D 11 44 2 与直线平行的抛物线的切线方程是 240 xy yx 2 A 230 xy B 230 xy C 210 xy D 210 xy 3 曲线关于直线对称的曲线方程是 yx 2 4 x 2 A yx 2 84 B yx 2 48 C yx 2 164 D yx 2 416 4 如果过两点 A a 0 和 B 0 a 的直线与抛物线没有交点 那么yxx 2 23 实数 a 的取值范围是 5 直线被抛物线截得线段的中点坐标是 yx 1yx 2 4 6 在椭圆中 求以为中点的弦所在直线的方程 xy 22 164 1 M 21 l 7 给定双曲线 过点 B 1 1 能否作直线 m 使 m 与所给双曲线交于x y 2 2 2 1 Q1 Q2两点 且点 B 是线段 Q1Q2的中点 这样的直线如果存在 求出它的方程 如果不 存在 说明理由 8 已知椭圆 C 的方程为 试确定 m 的取值范围 使得对于直线 xy 22 43 1 椭圆