高中数学 第三章概率复习 理 知识精讲人教实验B版必修3

高二数学高二数学 第三章概率复习第三章概率复习 理理 人教实验人教实验 B 版必修版必修 3 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 一 教学内容 必修3 概率复习 二 教学目标 二 教学目标 1 了解互斥事件的意义 会用互斥事件的概率加法公式计算一些事件的概率 互斥事件 对立事件的概念及二者的联系与区别及应用 2 掌握古典概型 几何概型的概率计算公式 三 知识要点分析 三 知识要点分析 1 随机事件的概率 事件 A 的概率 在大量重复进行同一试验时 事件 A 发生的频率 n m 总接近于某个常数 在它附近摆动 这时就把这个常数叫做事件 A 的概率 记作 P A 由定义可知0 P A 1 显然必然事件的概率是1 不可能事件的概率是0 2 当 A 和 B 互斥时 事件 A B 的概率满足加法公式 P A B P A P B A B 互斥 3 对立事件的概率计算公式 P A P A 1 注 1 互斥事件不一定是对立事件 对立事件一定是互斥事件 在求用 至少 表达的 事件的概率时 先求其对立事件的概率往往比较简便 2 把一个复杂事件分解成几个彼此互斥的事件时 要做到不重复不遗漏 3 利用互斥事件的概率加法公式来求概率 首先要确定事件彼此互斥 然后求出事 件分别发生的概率 再求其和 在具体计算中 利用 1 APAP 或 1 APAP 常可使概率的计算简化 4 古典概率是一种特殊的概率模型 其特点是 1 对于每次随机试验来说 只可能出现有限个不同的试验结果 2 对于上述所有不同的试验结果 它们出现的可能性是相等的 古典概型的概率计算公式 P A 总的基本事件个数 包含的基本事件个数A 5 几何概型试验的两个基本特点 无限性 等可能性 几何概型的概率公式 P A 积 的区域长度 面积或体试验的全部结果所构成 积 的区域长度 面积或体构成事件A 典型例题典型例题 例1 在一次口试中 要从20道题中随机抽出6道题进行回答 答对了其中的5道就获得优 秀 答对其中的4道就可获得及格 某考生会回答20道题中的8道题 试求 1 他获得优秀的概率是多少 2 他获得及格与及格以上的概率有多大 解 解 从20道题中随机抽出6道题的结果数 即是从20个元素中任取6个元素的组合数 6 20 C 由于是随机抽取 故这些结果出现的可能性都相等 1 记 他答对5道题 为事件 1 A 由分析过程知在这 6 20 C种结果中 他答对5题的结 果有 651 8812 700CC C 种 故事件 1 A的概率为 1 6 20 70035 1938 P A C 2 记 他至少答对4道题 为事件 2 A 由分析知他答对4道题的可能结果为 65142 8812812 5320CC CC C 种 故事件 2 A的概率为 2 6 20 53207 51 P A C 答 答 他获得优秀的概率为 35 1938 获得及格与及格以上的概率为 7 51 例2 1 今有标号为1 2 3 4 5的五封信 另有同样标号的五个信封 现将五封信 任意地装入五个信封 每个信封装入一封信 试求至少有2封信配对的概率 解 解 设恰有2封信配对为事件 A 恰有3封信配对为事件 B 恰有4封信 也即5封信配 对 为事件 C 则 至少有2封信配对 事件等于 A B C 且 A B C 两两互斥 5 5 5 5 3 5 5 5 2 5 1 2 A CP A C BP A C AP 所求概率为 120 31 CPBPAP 答 答 至少有2封信配对的概率是 120 31 2 有三个人 每个人都以相同的概率被分配到四个房间中的每一间 求 三个人都被分配到同一个房间的概率 至少有两人被分配到同一个房间的概率 解 解 16 1 444 4 AP 8 5 4 1 1 3 3 4 A BPBP 思维点拨 思维点拨 运用互斥事件的概率加法公式解题时 首先要分清事件是否互斥 同时要 学会把一个事件分拆为几个互斥事件 做到不重不漏 例3 1 8个篮球队中有2个强队 先任意将这8个队分成两个组 每组4个队 进行比赛 则这2个强队被分在一个组内的概率是 2 从一副52张的扑克牌中任取4张 求其中至少有两张牌的花色相同的概率 1 解法一 解法一 2个强队分在同一组 包括互斥的两种情况 2个强队都分在 A 组和都 分在 B 组 2个强队都分在 A 组 可看成 从8个队中抽取4个队 里面包括2个强队 这一 事件 其概率为 4 8 2 6 C C 2个强队都分在 B 组 可看成 从8个队中抽取4个队 里面没有强队 这一事件 其概率为 4 8 4 6 C C 因此2个强队被分在同一个组内的概率为 7 3 4 8 4 6 4 8 2 6 C C C C P 解法二 解法二 2个强队分在同一个组 这一事件的对立事件为 2个组中各有一个强队 而2个组中各有一个强队 可看成 从8个队中抽取4个队 里面恰有一个强队 这一事件 其概率为 4 8 3 6 1 2 C CC 因此2个强队被分在同一个组内的概率为 7 3 7 4 11 4 8 3 6 1 2 C CC P 2 解法一 解法一 任取四张牌 设至少有两张牌的花色相同为事件 A 四张牌是同一花色 为事件 B1 有三张牌是同一花色 另一张牌是其他花色为事件 B2 每两张牌为同一花色为 事件 B3 只有两张牌为同一花色 另两张牌为不同花色为事件 B4 可见 B1 B2 B3 B4 彼此互斥 且 A B1 B2 B3 B4 4 52 1 13 1 3 3 13 1 4 2 4 52 4 13 1 4 1 C CCCC BP C CC BP 4 52 21 13 2 3 2 13 1 4 4 4 52 2 13 2 13 2 4 3 C C CCC B P C CCC B P 8945 0 4321 BPBPBPBPAP 解法二 解法二 由解法一知 A为取出的四张牌的花色各不相同 4 52 41 13 C C AP 8945 0 1 1 4 52 41 13 C C APAP 答 答 至少有两张牌的花色相同的概率是0 8945 例4 在一个口袋里放着除颜色外 其他情况完全相同的9个小球 其中有3个红球 2个 黄球 4个蓝球 今从中任意摸出两个球来 求下述事件的概率 1 两球皆为红球 2 两球皆为黄球 3 此两球皆为红球或皆为黄球 4 此两球是红球或黄球 5 两球皆为蓝球 解 解 从9个球中任意摸出两个球的所有不同结果数为 2 9 C 1 记 两球皆为红球 为事件 A 则 12 1 2 9 2 3 C C AP 2 记 两球皆为黄球 为事件 B 则 36 1 2 9 2 2 C C BP 3 记 此两球皆为红球或皆为黄球 为事件 C 则 9 1 2 9 2 2 2 3 C CC CP 4 记 此两球是红球或黄球 为事件 D 则 18 5 2 9 2 5 C C DP 5 记 两球皆为蓝球 为事件 E 则 6 1 2 9 2 4 C C EP 思维点拨 思维点拨 事件 A B 及其发生的概率 例5 三支球队中 甲队胜乙队的概率为0 4 乙队胜丙队的概率为0 5 丙队胜甲队的概 率为0 6 比赛顺序是 第一局是甲队对乙队 第二局是第一局中胜者对丙队 第三局是第 二局中胜者对第一局中败者 第四局是第三局中胜者对第二局中败者 求乙队连胜四局的 概率 解 解 设乙队连胜四局为事件 A 有下列情况 第一局中乙胜甲 A1 其概率为1 0 4 0 6 第二局中乙胜丙 A2 其概率为0 5 第三局中乙胜甲 A3 其概率为0 6 第四局中乙胜丙 A4 其概率为0 5 因各次比赛中的事件相互独立 故乙队连胜四局的概率为 P A P A1A2A3A4 0 62 0 52 0 09 思维点拨 思维点拨 搞清每一局比赛中乙队获胜的概率是正确解答本题的关键 本讲涉及的数学思想 方法本讲涉及的数学思想 方法 1 较为简单的问题可以直接使用古典概型公式计算 较为复杂的概率问题的处理方法 一是转化为几个互斥事件的和 利用互斥事件的加法公式 二是采用间接解法 先求事件 A 的对立事件的概率 由 P A P A 1求事件 A 的概率 2 几何概型主要用于解决与长度 面积 体积有关的题目 预习导学案预习导学案 常用逻辑用语 一 预习前知 1 反证法的作用是什么 2 如何判断复合命题的真假 二 预习导学 探究反思 探究反思的任务 逻辑联结词 四种命题 反证法 充要条件 1 命题 叫做命题 2 简单命题和复合命题 叫做简单命题 叫做复合命题 3 量词 短语 所有 在陈述中表示所述事物的全体 逻辑中通常叫做 短语 有一个 或 有些 或 至少有一个 在陈述中表示所述事物的个体或部分 逻辑中通常叫做 4 逻辑联结词 这些词叫做逻辑联结词 5 真值表 pq pp qp q 真真假真真 真假真假 假真真真假 假假假假 6 四种命题的形式 原命题 若 则 逆命题 否命题 逆否命题 反思 四种命题的关系如何 7 用反证法证题的步骤是 1 假设命题的结论不成立 即假设命题的反面成立 2 从这个假设出发 经过推理论证 得出与已知或学过的定理 公理等相矛盾的结 论 3 由矛盾判定假设不成立 从而肯定命题的结论成立 8 一般地 如果已知 那么我们就说 是 成立的 q 是 p 成立的 如果既有 又有 q p 那么我们就说 是 成立的 模拟试题模拟试题 答题时间 90分钟 一 选择题 1 一个口袋内有9张大小相同的卡片 其号数为1 2 3 9 从中任取两张 其号 数至少有一个为偶数的概率为 A 9 5 B 9 4 C 18 5 D 18 13 2 若书架上有中文书5本 英文书3本 日文书2本 则随机抽取一本恰为外文书的概率 为 A 5 1 B 10 3 C 5 2 D 2 1 3 某产品分甲 乙 丙三级 其中乙 丙两级均属次品 在正常生产情况下 出现乙级 品和丙级品的概率分别是5 和3 则抽验一只是正品 甲级 的概率为 A 0 95B 0 97C 0 92D 0 08 4 有4条线段 长度分别为1 3 5 7 从这四条线段中任取三条 则所取三条线段能 构成一个三角形的概率是 A 4 1 B 3 1 C 2 1 D 5 2 5 袋中有红 黄 绿色球各一个 每次任取一个有放回地抽取三次 球的颜色完全相同 的概率是 A 27 2 B 9 1 C 9 2 D 27 1 6 如图 在一个边长为 0ba b a 的矩形内画一个梯形 梯形上 下底分别为 a 2 1 a 3 1 与 高为 b 向该矩形内随机投一点 则所投的点落在梯形内部的概率为 A 10 7 B 7 5 C 12 5 D 8 5 二 填空题 7 口袋内装有一些大小相同的红球 白球和黑球 从中摸出1个球 摸出红球的概率是 0 42 摸出白球的概率是0 28 那么摸出黑球的概率是 8 第1小组有足球票2张 篮球票1张 第2小组有足球票1张 篮球票2张 甲从第1小组3 张票中任取一张 乙从第2小组3张票中任取一张 两人都抽到足球票的概率为 9 如图 在半径为1的半圆内 放置一个边长为 2 1 的正方形 ABCD 向半圆内任投一点 该点落在正方形内的概率为 三 计算题 10 袋中有5个白球 3个黑球 从中任意摸出4个 求下列事件发生的概率 1 摸出2个或3个白球 2 至少摸出1个白球 3 至少摸出1个黑球 11 投镖游戏中的靶子由边长为1米的四方板构成 并将此板分成四个边长为1 2米的小方 块 试验是向板中投镖 事件 A 表示投中阴影部分为成功 考虑事件 A 发生的概率 12 现有一批产品共有10件 其中8件为正品 2件为次品 1 如果从中取出一件 然后放回 再取一件 求连续3次取出的都是正品的概率 2 如果从中一次取3件 求3件都是正品的概率 试题答案试题答案 1 D 2 D 3 C 4 A 5 B 6 C 7 0 30 8 2 9 9 1 2 10 解 从8个球中任意摸出4个共有 4 8 C种不同的结果 记从8个球中任取4个 其中恰有 1个白球为事件 A1 恰有2个白球为事件 A2 恰有3个白球为事件 A3 恰有4个白球为事件 A4 恰有i个黑球为事件 i B 则 1 摸出2个或3个白球的概率 7 6 4 8 1 3 3 5 4 8 2 3 2 5 32321 C CC C CC APAPAAPP 2 至少摸出1个白球的概率 101 1 42 BPP 3 至少摸出1个黑球的概率 14 13 1 1 4 8 4 5 43 C C APP 11 解 试验所对应的基本事件组与大的正方形区域联系在一起 即事件组中的每一个 基本事件与大正方形区域中的每一个点一一对应 则事件 A 所包含的基本事件就与阴影正 方形中的点一一对应 这样 我们用阴影正方形的面积除以大正方形的面积来表示事件 A 的概率是合理的 解析 P A 1 2 2 12 1 4 12 解析 1 有放回地抽取3次 按抽取顺序 x y z 记录结果 则 x y z 都有 10种可能 所以试验结果有10 10 10 103种 设事件 A 为 连续3次都取出正品 则包 含的基本事件共有8 8 8 83种 因此 P A 3 3 10 8 0 512 2 解法1 可以看作不放回地抽样3次 顺序不同 基本事件不同 按抽取顺序记录 x y z 则 x 有10种可