自动控制原理课程设计——倒立摆系统控制器设计

倒立摆系统的控制器设计 第 1 页 共 31 页 1 引言 支点在下 重心在上 恒不稳定的系统或装置的叫倒立摆 倒立摆控制系 统是一个复杂的 不稳定的 非线性系统 是进行控制理论教学及开展各 种控制实验的理想实验平台 1 1 问题的提出 倒立摆系统按摆杆数量的不同 可分为一级 二级 三级倒立摆等 多 级摆的摆杆之间属于自有连接 即无电动机或其他驱动设备 对倒立摆系 统的研究能有效的反映控制中的许多典型问题 如非线性问题 鲁棒性问 题 镇定问题 随动问题以及跟踪问题等 通过对倒立摆的控制 用来检验 新的控制方法是否有较强的处理非线性和不稳定性问题的能力 倒立摆的控制问题就是使摆杆尽快地达到一个平衡位置 并且使之没有 大的振荡和过大的角度和速度 当摆杆到达期望的位置后 系统能克服随机 扰动而保持稳定的位置 1 2 倒立摆的控制方法 倒立摆系统的输入 来自传感器的小车与摆杆的实际位置信号 与期望值 进行比较后 通过 控制算法得到控制量 再经数模转换驱动直流电机实现倒 立摆的实时控制 直流电机通过皮带带动小车在固定的轨道上运动 摆杆的 一端安装在小车上 能以此点为轴心使摆杆能在垂直的平面上自由地摆动 作用力 u 平行于铁轨的方向作用于小车 使杆绕小车上的轴在竖直平面内旋 转 小车沿着水平铁轨运动 当没有作用力时 摆杆处于垂直的稳定的平衡 位置 竖直向下 为了使杆子摆动或者达到竖直向上的稳定 需要给小车 一个控制力 使其在轨道上被往前或朝后拉动 本次设计中我们采用其中的牛顿 欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的 数学模型 然后通过开环响应分析对该模型进行分析 并利用学习的古典控制 理论和 Matlab Simulink 仿真软件对系统进行控制器的设计 主要采用根轨迹 法 频域法以及 PID 比例 积分 微分 控制器进行模拟控制矫正 倒立摆系统的控制器设计 第 2 页 共 31 页 2 直线倒立摆数学模型的建立 直线一级倒立摆由直线运动模块和一级摆体组件组成 是最常见的倒立摆 之一 直线倒立摆是在直线运动模块上装有摆体组件 直线运动模块有一个自 由度 小车可以沿导轨水平运动 在小车上装载不同的摆体组件 系统建模可以分为两种 机理建模和实验建模 实验建模就是通过在研究 对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号 激励研究对象并通过传感器 检测其可观测的输出 应用数学手段建立起系统的输入 输出关系 这里面包 括输入信号的设计选取 输出信号的精确检测 数学算法的研究等等内容 鉴于小车倒立摆系统是不稳定系统 实验建模存在一定的困难 因此 本 文通过机理建模方法建立小车倒立摆的实际数学模型 可根据微分方程求解传 递函数 2 1 微分方程的推导 牛顿力学方法 微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后 可将直线一级倒立摆 系统抽象成小车和匀质杆组成的系统 如图1所示 做以下假设 M小车质量 m摆杆质量 b小车摩擦系数 I 摆杆惯量 F加在小车上的力 x小车位置 摆杆与垂直向上方向的夹角 摆杆与垂直向下方向的夹角 考虑到摆杆初始位置为竖直向下 倒立摆系统的控制器设计 第 3 页 共 31 页 图2 1 直线一级倒立摆模型 系统中小车和摆杆的受力分析图是图2 其中 N和P为小车与摆杆相互作 用力的水平和垂直方向的分量 注意 在实际倒立摆系统中检测和执行装置的 正负方向已经完全确定 因而矢量方向定义如图2所示 图示方向为矢量正方向 图2 2 小车及摆杆受力分析 分析小车水平方向所受的合力 可以得到以下方程 2 NxbFxM 1 由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式 2 sin lx dt d mN 2 2 2 即 2 3 sincos 2 mlmlxmN 把这个等式代入式 1 中 就得到小车运动方程 第一个运动方程 2 4 FmlmlxbxmM sincos 2 为了推出摆杆的运动方程 第二个运动方程 对摆杆垂直方向上的合力进行 分析 倒立摆系统的控制器设计 第 4 页 共 31 页 可以得到下面方程 2 5 cos l dt d mmgP 2 2 2 6 cossin 2 mlmlmgP 力矩平衡方程如下 2 7 INlPlcossin 注意 方程中力矩的方向 由于 sinsin coscos 6 和 3 代入 7 约去P和N 得到摆杆运动方程 第二个运动方程 2 8 cossin xmlmglmlI 2 设 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角 假设与1 单位是弧度 相比很小 即 则可以进行线性化近似处理 1 01 2 sin cos dt d 用来代表被控对象的输入力 线性化后两个运动方程如下 uF umlxbxmM xmlmglmlI 2 进行拉氏变换 得 2 sUssmlssbXssXmM ssmlXsmglssmlI 22 222 9 由于输出为角度 求解方程组的第一个方程 可以得到 即 2 10 s s g ml mlI sX 2 2 mglsmlI mls sX s 22 2 10 式称为摆杆角度与小车位移的传递函数 如令 则有 xv 倒立摆系统的控制器设计 第 5 页 共 31 页 2 mglsmlI ml sV s 22 11 11 式称为摆杆角度与小车加速度间的传递函数 由于伺服电机的速度控制 易于实现在实验中常采用此式 把 10 式代入 9 式的第二个方程中 得到 sUssmlss s g ml mlI bss s g ml mlI mM 2 2 2 2 2 2 q bmgl s q mglmM s q mlIb s s q ml sU s 2 2 3 12 其中 22 mlmlImMq 12 式称为摆杆角度与外加作用力间的传递函数 2 2 实际系统的模型参数 M 小车质量1 096kg m 摆杆质量0 109kg b 小车摩擦系数0 1N sec l 摆杆转动轴心到杆质心的长度0 25m I 摆杆惯量0 0034kgm2 2 3 实际数学模型 把上述参数代入 可以得到系统的实际模型 1 摆杆角度和小车位移的传递函数 2 13 2 2 0 02725 0 01021250 26705 ss X ss 2 摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为 倒立摆系统的控制器设计 第 6 页 共 31 页 2 14 2 0 02725 0 01021250 26705 s V ss 3 摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数 2 15 32 2 35655 0 088316727 91692 30942 ss U ssss 4 小车位置和加速度的传递函数 2 16 2 1 X s V ss 3 开环系统的时域分析 3 1 摆杆角度为输出响应的时域分析 本系统采用以小车的加速度作为系统的输入 摆杆角度为输出响应 此时的传 递函数为 3 1 26705 0 0102125 0 02725 0 222 smglsmlI ml sV s 图 3 1 摆杆角度的单位脉冲响应曲线图 倒立摆系统的控制器设计 第 7 页 共 31 页 图3 2 摆杆角度的单位阶跃响应曲线图 3 2 小车位置为输出响应的时域分析 采用以小车的加速度作为系统的输入 小车位置为响应 则此时的传递函数 为 3 2 2 1 X s V ss 图3 3 小车位置的单位脉冲响应曲线图 倒立摆系统的控制器设计 第 8 页 共 31 页 图3 4 小车位置的单位阶跃响应曲线图 由于以上时域分析中所有的传递函数的响应图都是发散的 所以系统不稳定 需要校正 4 根轨迹法设计 4 1 原系统的根轨迹分析 本系统采用以小车的加速度作为系统的输入 摆杆角度为输出响应 此前已经 得出的传递函数为 26705 0 0102125 0 02725 0 222 smglsmlI ml sV s 4 1 运行结果 闭环零点z Empty matrix 0 by 1 闭环极点p 5 1136 5 1136 倒立摆系统的控制器设计 第 9 页 共 31 页 图4 1 原系统根轨迹曲线图 可以看出 系统无零点 有两个极点 并且有一个极点为正 画出系统闭 环传递函数的根轨迹如图2 6 可以看出闭环传递函数的一个极点位于右半平面 并且有一条根轨迹起始于该极点 并沿着实轴向左跑到位于原点的零点处 这 意味着无论增益如何变化 这条根轨迹总是位于右半平面 即系统总是不稳定 的 4 2 串联超前校正装置设计 对此系统设计控制器 使得校正后系统的要求如下 调整时间 0 5 2 s ts 最大超调量 4 2 1 确定闭环期望极点的位置 由最大超调量 2 1 10 p e 10 p 倒立摆系统的控制器设计 第 10 页 共 31 页 4 2 4 2 闭环主导极点所在的极坐标图 在此我们对超调量留有一定余量 令 5 p 可以得到 0 687710 由可以得到 cos 弧度 0 812466 其中为位于第二象限的极点和O点的连线与实轴负方向的夹角 又由 4 0 5 s n ts 对调节时间留有一定余量 令 2 的误差带 4 0 5 s n ts 取其为0 2s 可以得到 于是可以得到期望的闭环主导极 29 067500 n 点为 cossin n j 代入数据后 可得期望的闭环主导极点为 倒立摆系统的控制器设计 第 11 页 共 31 页 1 2 19 990010 21 102584Sj 4 2 2 超前校正传递函数设计 未校正系统的根轨迹在实轴和虚轴上 不通过闭环期望极点 因此需要对系统 进行超前校正 设控制器为 4 3 1 1 1 c c szTs K s Tssp 4 2 3 校正参数计算 计算超前校正装置应提供的相角 已知期望的闭环主导极点和系统原来的极点 的相角和为 4 4 2 1 1 4 624226 di i G sSP 因此校正装置提供的相角为 3 14 4 624226 1 482633 4 5 又已知 0 812466 对于最大的 值的 角度可由下式计算得到 1 0 423246 2 4 6 j S 倒立摆系统的控制器设计 第 12 页 共 31 页 p Z c Z O 图4 3直线一级倒立摆根轨迹计算图 由于角度都已求出 线段SO的长度即为自然频率的大小 故可用正弦定理计算 求出超前校正装置的零点和极点 正弦定理 分别为 p 66 835473 z c z 12 641783 4 2 4 超前校正控制器 校正后系统的开环传递函数为 4 7 2 0 02725 12 641783 0 01021250 2670566 835473 K s G s ss 由幅值条件 并设反馈为单位反馈 所以有 1 dd G sH s K 729 65 对相应参数保留五位有效值 于是我们得到了系统的控制器 729 65 12 642 66 835 c s G s s 4 8 4 2 5 matlab 环境下串联超前校正后的根轨迹图 在 MATLAB 中编写如下的m 文件 对系统进行仿真 运行即可以得到以上的计算 结果 校正后系统的跟轨迹如下图所示 倒立摆系统的控制器设计 第 13 页 共 31 页 图 4 4 串联超前校正后系统的根轨迹图 从图 4 4 中可以看出 系统的三条根轨迹都有位于左半平面的部分 选取 适当的 K 就可以稳定系统 4 2 6 simulink 环境下对串联超前校正的仿真 图 4 5 串联超前校正 simulink 流程图 倒立摆系统的控制器设计 第 14 页 共 31 页 图 4 6 串联超前校正后的阶跃响应曲线 4 3 串联滞后 超前校正装置设计 4 3 1 控制器的设计 可以看出 系统在 0 5s 的时间内可以稳定 响应比较迅速 超调比较小 为 使系统满足相应的要求 减少稳态误差 在超前校正的基础上可以引入滞后校 正装置 滞后校正的传递函数采用 4 9 2 2 0 1 s Gc s s 则此时总的超前 滞后校正传递函数为 4 10 2 2 729 65 12 642 0 166 835 ss Gc s Gc s ss 4 3 2 simulink 环境下对串联超前校正的仿真 图 4 7 串联滞后 超前校正 simulink 流程图 倒立摆系统的控制器设计 第 15 页 共 31 页 图 4 8 串联超前校正后的阶跃响应曲线 由上图可以看出 加入滞后环节中超调量增加不是很大 但是稳态误差已经明 显减少了 所以说串联滞后 超前装置对于改善系统性能来说作用比较理想 5 频域法设计 5 1 系统频域响应分析 系统对正弦输入信号的响应 称为频率响应 在频率响应方法中 在一定 范围内改变输入信号的频率 研究其产生的响应 频率响应可以采用以下两种 方法进行分析 一种为伯德图 采用两幅分离图 一幅表示幅频特性 一幅表 示相频特性 另一种是奈奎斯特图 表示的是当 从0 变化到无穷大时 向量 G j 的矢端轨迹 奈奎斯稳定判据使我们有可能根据系统的开环频率响应特 性信息 研究线性闭环系统的绝对稳定性和相对稳定性 根据式 2 17 我们已经得到了直线一级倒立摆的数学模型 实际系统的 开环传递函数为 2 0 02725 0 01021250 26705 s V ss 其中输入为小车的加速度 V S 输出为摆杆的角速度 S 利用 Matlab 绘制系统 的 Bode 图 图 5 1 和 Nyquist 图 图 5 2 如下 倒立摆系统的控制器设计 第 16 页 共 31 页 图 5 1 直线一级倒立摆系统的 Bode 图 图 5 2 直线一级倒立摆系统的 Nyquist 图 由4 1节中的计算可知 系统不存在零点 但存在两个极点 其中一个极点 位于S平面的右半部分 根据奈奎斯特稳定判据 闭环系统稳定的充分必要条件 是 当 由 变化时 G j H j 曲线逆时针包围 GH平面上 1 j0点的次数R等于开环传递函数右极点个数P 对于直线一级倒立摆 由 图5 1和图5 2我们可以看出 开环传递函数在S右半平面有一个极点 因此 G j H j 曲线逆时针包围 1 j0点的次数R 1 而本系统的奈奎斯特图并没 倒立摆系统的控制器设计 第 17 页 共 31 页 有逆时针包围 1 j0点一圈即1R 因此系统不稳定 需要设计控制器来稳定 系统 5 2 频域法控制器设计 直线一级倒立摆的频率响应设计可以表示为如下问题 考虑一个单位负反馈系统 其开环传递函数为 2 0 02725 0 01021250 26705 s V ss 设计控制器 c Gs 使得系统的静态位置误差常数为 10 相位裕量为50 增 益裕量等于或大于10dB 5 2 1 控制器的选择 根据图 5 1 和图 5 2 可以初步观察出 给系统增加一个超前校正就可以满 足设计要求 设超前校正装置为 1 1 1 1 ccc s Ts T GsKK Ts s T 5 1 则已校正系统具有开环传递函数 c Gs G s 设 1 2 0 02725 0 0102125 0 26705 K G sKG s s 5 2 其中 c KK 5 2 2 系统开环增益的计算 根据稳态误差要求计算增益K 倒立摆系统的控制器设计 第 18 页 共 31 页 2 00 1 0 02725 limlim10 1 0 010215 0 26705 pcc ss s T KGs G sK s s T 53 可以得到 98 c KK 5 4 于是有 1 2 0 02725 98 0 01021250 26705 G s s 5 5 5 2 3 校正装置的频率分析 利用MATLAB画出 1 Gs的Bode图和Nyquist图 如图5 3 图5 4所示 图 5 3 校正装置的 Bode 图 倒立摆系统的控制器设计 第 19 页 共 31 页 图 5 4 校正装置的 Nyquist 图 可以看出 系统的相位裕量为0 根据设计要求 系统的相位裕量为50 因此需要增加的相位裕量为50 增加超前校正装置会改变 Bode 图的幅值曲线 这时增益交界频率会向右移动 必须对增益交界频率增加所造成的 G j 的相 位滞后增量进行补偿 因此 假设需要的最大相位超前量为 55 由 5 6 sin 1 1 0 8192 计算可以得到 值 0 0994 5 2 4 控制器转折频域和截止频域的求解 确定了衰减系统 就可以确定超前校正装置的转角频率 1 T 和 1 T 可以看出 最大相位超前角 m 发生在两个转角频率的几何中心上 即 1 T 在1 T 点上 由于包含 Ts 1 Ts 1 项 所以幅值的变 化为 倒立摆系统的控制器设计 第 20 页 共 31 页 1 T 1 1 j 1 j T1 1 j T1 j 又因为 1 1 20lg 20lg10 5700Gj 分贝 并且 1 20lg10 5700Gj 分贝对应于rad s 因此我们选择此频率作为 28 3417 新的截止频率 c 这一频率相应于 即 于是求得 T 1 c T 1 c 1 8 9355 89 8944 1 5 8 5 2 5 校正装置的确定 由式 5 8 可以确定校正装置为 1 1 8 9355 89 8944 985 91 5 9 利用 Matlab 绘制校正后系统的 Bode 图和 Nyquist 图 如下图所示 5 7 倒立摆系统的控制器设计 第 21 页 共 31 页 图 5 5 校正后系统的 Bode 图 图 5 6 校正后系统的 Nyquist 图 从图 5 5 中可以看出 系统具有要求的相角裕量和幅值裕量 从图 5 6 中 可以看出 曲线绕 1 0j 点逆时针一圈R 1 与校正后系统开环传递函数右极 点个数P 1相等 即R P 因此 校正后的系统稳定 校正后系统的单位阶跃 响应如图 5 7 单位脉冲响应如图 5 8 倒立摆系统的控制器设计 第 22 页 共 31 页 图 5 7 校正后系统的单位阶跃响应 图 5 8 校正后系统的单位脉冲响应 从图 5 7 和图 5 8 可以看出 系统在遇到干扰后 在 1 秒内可以达到新的 平衡 但是超调量比较大 换而言之 系统存在一定的稳态误差 为使系统获得快速响应特性 又可 以得到良好的静态精度 可以采用滞后 超前校正 通过应用滞后 超前校正 低频增益增大 稳态精度提高 又可以增加系统的带宽和稳定性裕量 倒立摆系统的控制器设计 第 23 页 共 31 页 5 3 控制器改进 从上图可知 超前校正后系统仍然存在一定的稳态误差 可以考虑采用滞 后 超前校正 设滞后 超前控制器为 12 1 11 1 cc ss TT G sK ss TT 5 10 根据滞后 超前控制器思想 利用 MATLAB 编程 源程序见附录二 求得 结果如下 最优校正方案的串联滞后 超前校正环节的极点为 z 2 最优校正 方案的串联滞后 超前校正环节的零点为 p 0 1988 最优校正方案的滞后 超前校正后的开环传递函数为 G 1 1 1 2 1 1 2 985 91 8 9355 89 8944 2 0 1988 5 11 由于 2 零点和 0 1988 极点比较接近 所以该零点对相角裕度影响等不是很大 滞后 超前校正后的系统 Bode 图和 Nyquist 图分别如图 5 9 图 5 10 所示 图 5 9 最优校正后系统的 Bode 图 倒立摆系统的控制器设计 第 24 页 共 31 页 图 5 10 最优校正后系统的 Nyquist 图 滞后 超前单位脉冲响应曲线和单位阶跃响应曲线如图 5 11 图 5 12 所示 图 5 11 最优校正后系统的单位阶跃响应 倒立摆系统的控制器设计 第 25 页 共 31 页 图 5 12 最优校正后系统的单位脉冲响应 可见 系统性能有了一定提高 基本满足设计要求 6 PID 控制设计 6 1 PID简介 PID控制器又称PID调节器 是工业过程控制系统中常用的有源校正装置 目前应用比较广泛的主要有电子式PID控制器和气动式PID控制器 在自控原理中 经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统 控 制器设计时一般需要有关被控对象的较精确模型 但是很多场合下 不能也没 有必要对控制系统建立精确的数学模型 这种情况下PID控制器的优势得以显 现 结构简单 容易调节 且不需要对系统建立精确的模型 在控制上应用较 广 6 2 PID控制设计分析 倒立摆系统的控制器设计 第 26 页 共 31 页 我们注意到 PID控制器设计之初并不需要对被控系统进行精确的分析 为了突出PID控制的这一优势 我们采用实验的方法对系统进行控制器参数的设 置 即在Matlab中利用Simulink仿真测试来确定PID控制器的参数 其系统结构 框图如下所示 f sv 0r s e s u s PIDcontroller G s 图 6 1 PID 控制结构图 由于 0r s 为了方便查看我们将上图进行转换 转换结果如下 PIDcontroller G s f sv u s c s 图 6 2 PID 控制等效结构图 该图更加方便我们理解PID控制器的作用 系统的输出为 1 1 num G snum denPID den y sF sF sF s numPID num G s PID sdenPID dennumPID num denPID den 其中各个参数的含义如下 PID PID num numPID den denPID 被控对象传递函数分子项 控制器传递函数分子项 被控对象传递函数分母项 控制器传递函数分母项 倒立摆系统的控制器设计 第 27 页 共 31 页 通过分析上式便可以评价PID控制器控制的效果 进而得出系统性能的相 关指标 主要依据图像所反映出系统性能的欠缺进行有针对性的调节 其中P反 映误差信号的瞬时值大小 改变快速性 I反映误差信号的累计值 改变准确性 D反映误差信号的变化趋势 改变平稳性 6 3 PID控制器的参数测定 通过刚刚的分析 我们已经得出了 PID 控制系统的传递函数如式 6 1 2 13 c K G sKK s s 6 1 在 Simulink 环境中建立 PID 控制模型 之后可以根据 6 2 中提到的控制规 律进行参数选取 进而求得合适的参数 图 6 3 PID 控制系统仿真 双击 PID 控制器 选择参数进行仿真 经过多次参数选取 得到了比较合 适的参数 如图 6 4 倒立摆系统的控制器设计 第 28 页 共 31 页 图 6 4 PID 参数选择 仿真结果如图 6 5 图 6 6 所示 图 6 5 小车位移 图 6 6 摆杆角度 倒立摆系统的控制器设计 第 29 页 共 31 页 控制效果比较理想 PID 控制器的传递函数为 450 41040 c G ss s 6 2 此外 还可以通过在根轨迹中增加零极点 借助 SISO 工具进行 PID 控制 器的参数的选择 由于此前已经叙述过该过程 在此不做赘述 7总结与体会 本次设计主要是通过利用频率法的方法对直线一级倒立摆进行校正 不包 括起摆程序 通过此次课程设计我不仅更加熟练掌握了利用 MATLAB 在自动控 制领域