谈谈高考数学的复习.docx

谈谈高考数学的复习陕西师范大学数学系 罗增儒 邮编 710062电话13609297766E-mail：同学们（还有老师们）：下午好我首先要对同学们说，正当大家面临深深激动的高考，而又微微不安的时候，我谨表示我的同情、理解与支持当然，不仅仅是道义上的、口头上的（省略号代表什么？）我还要说，不管是高考选择了你，还是你选择了高考，你都要把高考掌握在自己的手里问题是，怎样掌握在自己的手里我还要对师生们说，我1962年参加过高考，1978年教中学时带过毕业班多年，从1980年高考阅卷开始，又长期研究高考试题和高考解题，1985年到大学任教后，更进一步接触到招生和命题工作，可以说经历了参加高考、高考辅导、高考阅卷、高考解题、高考命题、高考录取等全程工作，我戏称“高考”只有一件事没有经历过,那就是“高考落榜”根据我的经验，数学高考的全程工作有5个基本问题（构成“数学高考学”）：命制试题试卷问题怎样命题；（评估）掌握数学知识问题怎样复习；（教育）提高解题能力问题怎样解题；（数学）运用考试技术问题怎样答题；（考试）填报高考志愿问题怎样选择（运筹） 今天的主题是高考数学的复习（当然会涉及解题）.1 数学高考复习的指导思想高考复习工作的误区是，将智力开发等同于技艺训练，以做模拟题所带来的偶然因素去代替数学素质的提高其大运动量超纲训练的一个不幸后果是，使数学成为中学课程中最令人生畏的学科之一我认为高考复习的指导思想：以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向；以考试大纲为复习大纲，以现行教材为内容依据（依纲靠本）；以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材（1）以考试规律为指导，以近年高考命题的稳定性风格为导向弄清水平考试与选拔考试的联系与区别高考内容与教学内容（教材）是一致的，但教学与考试是教育的两个不同阶段平时教学是学生从不知到知、从知之较少到知之较多、从能力较低到能力较高的一个学习过程，而高考只检验学生的学习结果，是对学习结果的一个评估过程这是性质不同的两件事情高考不是基础教育的终点，学业水平考试（毕业考）是基础教育的终点，高考是高等教育的起点 平时教学按教学规律进行，高考复习按考试规律进行平时教学要面对全体学生，按教学规律进行，如果平常教学按高考水平来要求“考什么就教什么、怎么考就怎么教”，那是应试教育，不对的；而高考的基本任务是为高校选拔新生，必须在全体考生的成绩中“拉开距离”，高考试题的难度是由成绩前50%左右考生的水平决定的，所以高考复习要按考试规律进行，“考什么就练什么、怎么考就怎么练”没错 弄清高考试题的稳定性风格和一般技术，并以其为高考复习的导向 （2）以考试大纲为复习大纲，以现行教材为内容依据（依纲靠本）以考试大纲为复习大纲（依纲）依纲：高考命题年年变，要抓住根本应万变，这个根本就是以考试大纲为大纲靠本以现行教材为内容依据（靠本）：以现行教材为依据，又不拘泥于教材上面说过，高考命题的依据是考试大纲，而考试大纲的依据是课程标准，教材是课程的载体因此高考命题最具体、最方便的依据其实是教材命题人是拿着教材去命题的，遇到问题也是拿出教材来找依据的教材是考试内容的具体化；教材是高考命题的基本依据；教材是中、低档试题的直接来源；教材是解题能力的基本生长点多版本并存的地方常说“依纲不靠本”，但这不是要远离教材与教学，而是为了公平，要平等地对待各个版本，不刻意向某一版本倾斜(“依纲靠多本”)怎样才算精通教材?能够对考试说明规定的一二百个知识点进行“双基排队”，综合整理梳理出有哪些重要概念?有几条重要定理（公式）?它们之间有哪些联系?画出知识结构总图和分图能够对中学教材中的基本方法和重要技巧心中有数，了解每一个方法用在哪些章节，每一章节用到了哪些方法，列成表格了解教材的不同内容在高考中的不同角色哪些内容适作什么题型；哪些内容会在高考中提高要求，哪些不提高，哪些很少考到（线性规划、框图、三视图经常考，要拿满分）能根据教材内容、学生实际、高考能力要求改编一些有针对性的训练题离开了教材就离开了高考，问题在“怎样抓”这个问题看似简单，实则复杂（有只“靠本”考不上之误说，其实，离开了课本才会迷失方向、误入歧途）我们说高考研讨的中心，应是如何用好教材；高考复习的成功，在于真正用好教材（3）以解题训练为中心，以中档综合题为重点，以近年高考试题为基本素材因为高考选拔的特点是以解题能力的高低为标准，一次性闭卷来决定胜负的，因此，高考复习要以解题训练为中心，并最终表现为学生解题能力的提高为了体现以解题训练为中心，应该：第一阶段采用“习题化”的复习技术：基本内容填空，基本概念判断，基本公式串联，基本运算选择（参见下文的范例）第二阶段专题突出解题方法，重点在中档综合题第三阶段组织模拟考试，考试就是解题为什么要以中档综合题为重点，立足中下题目？中档综合题区分度好，训练价值高，教师讲得清楚，学生听得明白，有利于学生数学素质的提高；中下题目是命题原则的主要体现，是试题构成的主要成分，是考生得分的主要来源，是高校录取的主要依据，是进一步解高难题的基础 压轴题要有，但控制数量，重在讲清“怎样解”，从何处下手、向何方前进如何进行解题训练的取材？以近年高考试题为基本素材，辅以结合实际的资料选题与改编近年高考试题是解题训练的优质素材 高考试题经过全国考生的实践检验和全国教师的深入研讨，科学性强（漏洞也清楚），解题思路明朗，解题书写规范，评分标准清晰，是优质的训练素材使用近年高考试题既有利于全面覆盖，又有利于突出重点高考试题都努力抓课程的重点内容和重要方法，练高考试题就是练重点每套高考试题能覆盖全部知识点的60以上，几套试题一交叉，既保证了全部覆盖，又体现了重点突出使用近年高考试题能提高复习的针对性近年高考试题体现了命题风格、命题热点，命题形式（特别是新题型、新导向），有利于考生适应高考情景，提高高考复习的针对性有人说，把近几年的题目做一遍就可以去高考了2 数学高考复习的三阶段安排高考复课的三阶段安排曾经是一个常规，第一阶段全面复习，第二阶段专题讲座，第三阶段模拟训练其实质应是思维素质竖向提升的三个层次，是从知识到方法、到能力素养的拾级登高 第一阶段，数学高考的全面复习（1）基本要求：第一阶段系统整理知识，优化知识结构，深化数学认识，决不是简单重复，其本质含义是为数学素质的提高准备物质基础 第一阶段复习应做到“三抓四过关” 三抓： 抓基本概念的准确和实质性的理解； 抓公式、定理的熟练和初步应用； 抓基本技能的正用、逆用、变用、连用、巧用四过关：能准确理解书中的任一概念；能独立证明书中的每一定理；能熟练求解书中的所有例题；能历数书中各单元的作业类型（类型怎么来？）真正做到“四过关”可望得分率达到08左右，得120分上下 (2) 基本方法：第一阶段复习的基本方法是从大到小、先粗后细，把教学中分割讲授的知识单点、知识片断组合成知识结构要做到“四化”： 各章内容综合化；基础知识体系化；基本方法类型化；解题步骤规范性可辅以图线、表格、口诀，习题化等技术措施第二阶段，数学高考的专题讲座如果说第一阶段是以纵向为主、顺序复习的话，那么这一阶段就是以横向为主，突出重点，抓住热点，深化提高了，是从知识到方法、到能力素养的提升专题的组织应包括五个方面：（1）第一阶段中的弱点 （2）教材体系中的重点重点至少要覆盖到5道解答题（必答）的相关内容：函数与导数（包括二次函数与抽象代数证明，导数的应用）； 向量与三角（数、角、形，恒等变换）； 数列与不等式（归纳、猜想、探索、论证）；平面解析几何（包括曲线位置与参数讨论、平面向量）；立体几何与空间向量（包括四直角三角形四面体，应突出空间向量）；概率统计 （3）高考试题中的热点 压轴题应该是一个值得关注的热点, 压轴题的类型：导数及其应用（5小类：导数的几何意义，单调性，极值与最值，不等式恒成立，导数法证明不等式）圆锥曲线（6小类：基本量和轨迹方程，直线与圆锥曲线的位置关系（弦长），定值、定点、定直线，讨论参数的取值范围，最值，与平面向量交汇）数列（6小类：等差数列与等比数列，通项，求和，递推数列，由函数生成数列，数列恒等式（或不等式）与数学归纳法）（近年全国卷未作压轴题）其它（4）中学数学的解题方法体系覆盖基本题型(如怎样求解选择题, 怎样求解填空题, 怎样求解解答题, 怎样求解应用题, 怎样求解探索题等) 中学数学的解题方法体系（如坐标法、三角法、向量法等已经体现在相应的内容中，此外，要有意识覆盖待定系数法，换元法，配方法，反证法，代入法，消元法，数学归纳法）（5）应试的技术:针对性、实用性、系列化如保持内紧外松的临战状态 使用适应高考的答题策略制定科学的答题程序( 提前进入角色；迅速摸清题情； 执行“三个循环”； 做到“四先四后”； 答题“一慢一快”； 立足中下题目、力争高上水平； 立足一次成功、重视复查环节；内紧外松等)运用解题策略于分段得分(如缺步解答, 跳步解答，退步解答, 倒步解答, 辅助解答等, “退可分段得分、进可全题解决”)这五个方面是复习工作的继续深入与自然提高，也是高考应试的宏观驾驭与有效逼近抓好“五个方面”再与近几年的高考试卷相结合，可望得分率达到09左右，得130多分（辅导教师应有能力把学生带到140分）第三阶段，数学高考的模拟训练 模拟训练不宜盲目多练，超限强化，重点应放在数学思想方法的提炼和心理素质的调整上通过几套仿真套题，完成适应性训练，把最佳技状态带进考场有的地方已把第三阶段穿插进前两个阶段里（1）模拟训练的作用 基本内容的再次覆盖与重点强调；解题能力的实际检验与强化提高；考试经验的实际积累与迅速丰富（2）模拟训练的组织要抓好试题组织与考卷讲评两件工作，讲评既要有内容的覆盖面又要有数学思想方法的重点提炼模拟试题的组织辅导教师命题；（编）典型题目分块；（编）外地引进（购买，交流）模拟考试的讲评讲评内容包括：本题考查了哪些知识点，主要应用了什么方法，关键在哪里指出学生中的典型错误，分析其知识上、逻辑上、心理上和策略上的原因表扬学生中的优秀解法；交代清楚每一题、每一步的评分标准讲清题目的纵横联系 讲评要注重数学思想方法的提炼3 复习工作的重要提示（1）全面理解解题基本功解题成功的四个基础高考复习的一个基本点是夯实解题基本功，而对这个问题的一个片面认识是，只抓解题的知识因素（概念、定理、公式、方法、技能等）其实，成功的解题取决于多种因素，冒着过于简单化的风险，解题可以理解为“把知识内容连接成一个逻辑链条”，因此，解题首先要有知识基础和组织知识内容的思维能力，同时在调动和配置知识内容时还需要经验与良好的心理所以，尽管解题的成功取决于多种因素，但最基本的应有：解题的知识因素，解题的能力因素，解题的经验因素，解题的情感因素解题的知识因素（认知结构）人的思维依赖于必要的知识和经验，数学知识正是数学解题思维活动的出发点与凭借丰富的知识并加以优化的结构能为题意的本质理解与思路的迅速寻找创造成功的条件既然，解题就是把知识内容连接成一个逻辑链条，那么，没有知识内容那来的知识逻辑链！要将知识按照自己的理解加以组织没有知识谈不上解题智慧不是别的，而是组织良好的知识体系解题的能力因素（思维能力）数学解题中既有逻辑思维又有非逻辑思维，其主要成分是3种基本的数学能力：运算能力，逻辑思维能力，空间想象能力，核心是能否掌握正确的思维方法，并表现于发现问题、分析问题、解决问题的敏税、洞察力与整体把握 解题的经验因素（经验题感）在解题实践中，既会有成功又会有失败，这两方面的积累，都能形成有长久保留价值或借鉴作用的经验解题经验就好像是建筑上的预制构件（或称为思维组块），遇到合适的场合，可以原封不动地把它用上（模式识别）解题所做的脑力工作就在于回忆他的经验中用得上的东西，并且和他的解题思维联系起来“如果我们着手解答一道习题，那么，第一件事就想知道：这是道什么题？它是什么形式，属于哪种类型？换句话说，就是需要识别给定习题的类型” 解题的情感因素（情感态度）指良好的心理素质，包括动机、兴趣、态度、品德、意志等波利亚说：“认为解题纯粹是一种智能活动是错误的；决心与情绪所起的作用很重要”他强调说：“教学生解题是意志的教育当学生求解那些对他来说并不太容易的题目时，他学会了败而不馁，学会了赞赏微小的进展，学会了等待主要的念头，学会了当主要念头出现后全力以赴如果学生在学校里没有机会尝尽为求解而奋斗的喜怒哀乐，那么他的数学教育就在最重要的地方失败了” 例1 （2016年高考数学理科第5题，5分）如图1，小明从街道的处出发，先到处与小红会合，再一起到位于处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） （A）24 （B）18 （C）12 （D）9 图1讲解 本题以公益活动为载体（社会正能量），有不尽相异元素全排列的数学背景，但并不考“不尽相异元素的排列公式”首先，由经过到告诉我们，事情分两步完成（用到“两个计数原理”）；其次，每一步都是把实际问题提炼为“排列组合”数学问题；还有十分关键的一点是，如何确定路径“最短”可见，题目涉及的知识不多（甚至可以说只是常识），求解也两三步即可完成，那么，作为高考题到底想考什么呢？我们先看解法解法1 （直接解法）在每条最短路径中（如图2箭头所示），人从出发到达任何一个街道交汇点时，必需向东或向北走，由到时，每条最短路径唯一对应着2个“东”和2个“北”组成 图2的排列，反之亦然，因而，最短路径的条数就是2个“东”和2个“北”的全排列数（不尽相异元素的全排列）先把2个“东”和2个“北”看成4个相异的元素，有种排法，但2个“东”是相同的、2个“北”也是相同的，故得由到最短路径条数为 同理，由到时，每条最短路径唯一对应着2个“东”和1个“北”组成的排列，最短路径条数为.由乘法原理得，由经过到有条最短路径，故选（B）说明1：一般地，个，个，个的全排列数为结合本题，当时有（或），因而不尽相异元素的全排列，可以转化为相异元素的组合来解决解法2 （组合解法）在每条最短路径中，人从出发到达任何一个街道交汇点时，必需向东或向北走，由到的每条最短路径要走2条“向东”和2条“向北”、共4条街道，取出“向东”的2条街道（如图2，第二次取一定比第一次取位置高），剩下的自动就是2条“向北”的街道，故有种走法同理，由到的最短路径条数为由乘法原理得，由经过到有条最短路径，故选（B）说明2：这个解法也可以借助杨辉三角来解决如图3，根据组合公式，杨辉三角可以表示为组合数的形式 图3于是，我们可以把街道的纵横图构造成杨辉三角的形式，直接呈现解法2中的，解法3 （杨辉三角解法）如图4，以为杨辉三角的顶点，第一行、第一列为杨辉三角中填数字1的边，其余每一个正方形顶点填上其左方与下方的数字之和，该数字就是由到该处的最短路径条数由图4可见，由到的最短路径条数为6 图4同理，由到的最短路径条数应为3由乘法原理得，由经过到有条最短路径，故选（B）说明3：由于排列组合数的计算都基于“两个计数原理”，所以当数字不大时也可用一一列举来代替解法4 （一一列举解法）在每条最短路径中，人从出发到达任何一个街道交汇点时，必需向东或向北走如图1，由到的最短路径按照第一步向东还是向北可以分为2类；而向东时第一步有2种走法，或者向东走1个街口、或者向东走2个街口；向东走2个街口时，有1条最短路径到达，向东走1个街口时，再向北又可以走1个街口或2个街口，有2条最短路径到达；故第一步向东共有3条最短路径同理，第一步向北，由到也有3条最短路径，故由到共有条最短路径同理，由到共有条最短路径所以，由经过到有条最短路径，故选（B）说明4：这个解法像是用生活常识来解题，用到高中知识很少（“两个计数原理”可以算），因而，类似的题目在初中、甚至小学课外读物都能找到，如例1-1 在图5中，从经到，沿最短路线走，有多少条不同路线？解 在每条最短路径中，人从出发到达任何一个街道交汇点时，必需向东或向北走从经过到要经过两点，从到有2种走法，从到有4种走法，共有种走法 图5说明5：上面由一般到特殊呈现了“一题多解”（从高中都有“超纲”之嫌的“不尽相异元素的全排列”到小学生都能完成的“一一列举”），我们说4个解法不是各别孤立的，通过一系列的“说明”已经沟通了它们的联系，从而引出我们关于“一题多解”的两个观点：观点1：解题研究无禁区，解题教学有范围就是说，作为数学解题“多多益善”，简单的解法和麻烦的解法，正确的解法和错误的解法都可以兼收并蓄；但把那个解法拿进课堂、拿几个？则应该由教学要求和学生水平来决定不要教师知道几个解法就教学生几个解法（会异化为烦琐哲学与加重负担），也不要用“解题教学有范围”来否定教师的“解题研究无禁区”观点2：沟通不同解法的知识联系本来，对于解题获得答案来说，有一个解法就够了（考试更别“一题多解”），解题教学为什么还要“一题多解”呢？我们说，一题多解有两个教学功能：其一，多角度审视有助于接近问题的深层结构；其二，不同的知识通过一个问题沟通起来，有助于形成优化的认知结构但潜在功能转化为显性作用需要一个条件：沟通不同解法的知识联系我们认为，惟有沟通不同解法的知识联系，才有更多机会洞察问题的深层结构，形成优化的认知结构，释放出“一题多解” 的教学价值（本例中把“不尽相异元素的全排列”在“两个计数原理”的基础上,与“相异元素的组合”以及“杨辉三角”等都沟通了） 说明6：总结上面的讲解，我们认为，本题考察的重点恐怕不在知识上，而在思维能力、数学素养上，因而，本题可以成为高考“考数学素养”的一个注释或标记由上面的讲解可以看到： 求解需要结合图形将公益活动实际问题抽象为数学问题包括 将整个问题抽象为组合模型； 将“最短路径”提炼为“全程路径向左和向下投影时都没有投影线的重复”，从而人到达任何一个街道交汇点时，必需向东或向北走（不出现向南或向西的走法），并且，第二次“向东”一定比第一次“向东”位置高、第二次“向北”一定比第一次“向北”位置高（如图2） 求解需要分析题目中的逻辑关系，包括两个方面 路径走法：只能向东或向北走，并且，第二次“向东（北）”一定比第一次“向东（北）”位置高； 分步完成由到，再由到 求解需要进行数学运算和选择是用乘法还是加法，用乘法时乘数怎么算，用加法时加数怎么算等可见，问题的解决可以体现数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象等数学素养为了加深理解，下面提供两道“不尽相异元素全排列”背景的应用题 例1-2 （1988年中国高中联赛）甲乙两队各出7名队员按事先安排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，依次类推，直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数有多少？ 例1-3 联欢晚会准备了个礼物（为正整数），平分为两串公开吊挂在墙上，每个获奖者可以（也只能）从两串的最下方任选一个礼物，则个获奖者选这个礼物共有几种不同的选法？解题失误的四种形式有一种简单化的认识，以为解题错误都是知识不过关造成的，其实，解题错误的类型不只一个，在知识过关的情况下也会出现差错既然成功的解题有知识因素，能力因素，经验因素和情感因素，那么不成功或失败的解题也会与这些因素相关，我们总结为：知识性错误，逻辑性错误，策略性错误，心理性错误知识性错误这主要指由于数学知识上的缺陷所造成的错误如误解题意、概念不清、记错法则、用错定理，不顾范围使用方法等核心是所涉及的内容是否符合数学事实逻辑性错误这主要指由于违反逻辑规则所产生的推理上或论证上的错误如虚假论据，不能推出，偷换概念，循环论证等，常常表现为四种命题的混淆，充要条件的错乱，反证法反设不真等核心是所进行的推理论证是否符合逻辑规则 知识性错误与逻辑性错误既有联系又有区别 策略性错误这主要指由于解题方向上的偏差，造成思维受阻或解题长度过大对于考试而言，即使做对了，若费时费事，也会造成潜在丢分或隐含失分，存在策略性错误在解题探求中，思维受阻或思路曲折是不可避免的，因而，探索阶段的策略性错误是很难完全消除的心理性错误这主要指解题主体虽然具备了解决问题的必要知识与技能，但由于某些心理原因而产生的解题错误如顺序心理、滞留心理、潜在假设，以及看错题、抄错题、书写丢三落四等 例2 （2016年高考数学理科第17题，12分）为等差数列的前项和，且，记，其中表示不超过的最大整数，如，（）求；（6分）（）求数列的前1 000项和（6分） 讲解：本例由一个等差数列派生出另一个数列，增加了“求对数”和“取整”两个运算，这是一个新的情景，构成了考察学生数学知识和数学素养的实质内容由求出是常规容易题（甚至由都能猜到），但加上“求对数”和“取整”（特别是“取整”）问题就多了,错误主要出在第（）问的数列求和上本来，整数相加是小学的问题，此处与小学求和的不同是既要确定“加项”是什么（0，1，2，3），又要确定“加项”0有几个、“加项”1有几个、“加项”2有几个、“加项”3有几个？由于第（）问求时，已经对求和的“加项”作了一些提示，从而问题的关键是：从到有几项（确定有几个0相加），从到有几项（确定有几个1相加），从到有几项（确定有几个2相加），考试结果表明，有一批考生没有看透这个实质，并且在确定“加项”时会遗漏“3”，在确定“加项”个数时既有遗漏、又有增多，原因大量是心理性错误，但也夹杂有知识性错误，得分率为069(1) 误把作为等差数列如 评析：这个解法有两个知识性错误，第式中误把作为等差数列来求和了，第式中误为4了,对数知识不过关 （2）“加项”遗漏了3如 评析：这主要是是心理性错误，由于紧张而丢三落四，其实，心算检查都能发现求和的项数不足1000项： （3）各个“加项”的个数确定不准确，有的遗漏、有的增多 如 (项数超过1000) (项数超过1000)(项数只有998项) 评析：多数学生可能是心理性错误；有的学生可能是等差数列求项数不过关，属于知识性错误；也可能有的学生是既有心理性错误又有知识性错误（4）加项和加项个数都有错误 评析：此处既有知识性错误又有心理性错误出现是对数知识不过关，算错“加项个数”有的可能是等差数列求项数不过关；“加项”遗漏了3主要是心理性错误（5）加法也有算错的 (求和应为1893) (按式子求和应为1892)说明：近年来，一线教师多有学生运算能力下降的反映，从这道题目中出现的种种问题可以认为是学生运算能力下降的又一次提醒.例3 （一道数列题的错解分析）已知，且试证数列或者对任何正整数都满足，或者对任何正整数都满足证明 用反证法，设结论不成立，则对一切都有 ，即 ，得满足条件的数列有 这与且矛盾，所以，或者对任何正整数都满足，或者对任意正整数都满足评析 这个解法犯有逻辑性错误，首先表现为反设不真，原题是说必为单调数列，其反面还有可能为摆动数列，不能肯定必为常数列正确的反设应为：存在使且，还有两个比较隐蔽的知识性错误是：（1）数列的单调性与实数的三岐性是不同的；（2）由只能得出数列的项可取三个值，而不能像解三次方程一样得出三个常数列下面给出正确解法供参考分析要证 但由于，策略的选择是把(一切)作为的充分条件，由此得出对的合理猜想： (1) 时，对一切成立； (2) 时，对一切成立结合起来就是时 同理，对作分析，将有时，有 注意到，与都表明xn+1在xn与1之间，应有 ， 其充要条件是 ， 或 考虑到已知条件，应取作为的充分条件证明1 (1)先证且 当时，显然成立 假设时，有 ，则 ，并且，若，则 ，即 ，得=1，矛盾，故有xk+11 由数学归纳法知，对一切，有 且（2）这时，由（见），得 (一切)，或 (一切)，更有 (一切)，或 (一切) 在这道考题的处理中，我们首先用分析法探求思路；同时使用了“加强命题”的非等价变换：为了证明原结论，我们先来证式或式；最后，对于命题“若A则B或C”，我们引进式作统一处理，避开了两种情况的讨论所有这些，都要求有较强的逻辑推理能力还要看到，步步推理都离不开数式演算的辅助 证明2由知又据幂函数的单调性有记 有又合比、分比并递推再合比、分比，得，这表明分，1为定比0，故在，1之间有得 (一切)，或 1(一切)，更有 (一切)，或 (一切) 这个解法与证明1的方向是一致的，但求出了数列的通项公式，运算的技巧性更强，而推理的隐蔽性也更大（2）突破一个“老大难” 高考阅卷启示我们，许多中上水平的考生常常在“会而不对、对而不全”上产生分野，拉开录取与落榜的距离这是一个老大难问题会而不对有的考生并不缺乏基本功，拿到一道题目也不是束手无策，而是在正确的思路上或考虑不周，或推理不严，或书写不准，最后答案却是错的或是不完全的，这叫“会而不对”对而不全另有一些考生，思路大体正确，最终结论也出来了，但丢三落四，或缺少重大步骤、中间某一逻辑点过不去，或遗漏某一极端细节，讨论不够完备，或是潜在假设、或是以偏概全，这叫做“对而不全”“会而不对、对而不全”的综合治理，做到“会而对、对而全、全而优”“会而不对、对而不全”的例子在高考中是很多的，值得注意的是，过去对这个问题一味从“双基”上去加强，其实错误的原因，既有知识因素，又有逻辑因素，还有策略因素和心理因素因此，解决这个问题应该“综合治理”应该查漏补缺，加强双基，强调概念的实质性理解，强调技能的灵活性运用，强调知识结构的优化应该介绍一些逻辑知识，特别是充要条件、四种命题，反证法等一定要在逻辑上搞清楚应进行考前心理的调整和考场心理的辅导，以最佳竞技状态去克服慌乱急躁、紧张焦虑和丢三落四解题训练要加强策略意识的培养，不仅要有思路，而且还要有更科学的思路，多一个思维回路或多一步解题长度，就是多一个干扰和多一个犯错误的机会考场中遇到会做的题目，要特别注意表达得准确、考虑的周密、书写的规范、语言的科学，力争做到“会则对、对则全”注意复查环节，其作用就像足球场上的守门员解决好“会而不对、对而不全”，是一件事半功倍的工作，它能立竿见影地提高成绩（3）增强速度意识，合理分配时间，提高整体效益现在的一套试卷有22题，28问，平均到每道试题的时间只有几分钟（争分夺秒），因而，平时复习就要有速度训练，要有时间观念为了给解答题留下较多思考时间，选择题、填空题应在一、二分钟内解决，时间长了，即使做对了也是“潜在丢分”，非解答题与解答题的时间比可分配为3：7或4：6据统计，一套高考试卷通常控制在2000个印刷符号，阅读一遍需57分钟，考虑到有的题目要反复阅读，约需12分钟；书写主要用于解答题，约3000个印刷符号，抄一遍至少要28分钟，这就一共需40分钟于是，用于思考，草算、文字组织和复查检验的时间还不到80分钟，平均每一问不到3分钟这一算就不难理解，为什么每年都有大量考生做不完其实高考本身有速度要求，也未打算让每一个考生都“全做全对”解题书写要简明扼要，快速规范（写得分点）（4）同时抓非重点内容的满分率和重点内容的高分率非重点内容一般不会出太难的题，这些内容要抓满分率（如线性规划、框图、三视图等），确保在容易题、中档题上满分，确保在选择题、填空题上不丢分或少丢分；解答题中的前三道（通常不是难题）也要抓成功率，比如，每年的试卷分析显示，立体几何题是“中等难度、高等得分”，抓立体几何题的满分率是提高总分的有效途径至于难题也要抓高分率4 范例讲解4-1 形成知识的网络结构 范例1 是否形成良好的认知结构，脑子里有无思维路线图？（1）闭上眼睛，你能回忆起几条数学定理，说出几个数学名词？越多越好！文科必考内容：共20个知识板块，约260课时、190个知识点；理科必考内容：共21个知识板块，约290课时、220个知识点（2）当我说“函数”时，你能想起相关的多少个概念和定理？越多越好！（思维概念图） 图6 你应该想起四五十个名词、概念、定理、方法，在脑子里有思维概念图（同样，可以思考方程、不等式、圆锥曲线、三角函数、线面关系等等的思维概念图） 范例2 作为知识体系化的例子“角的复习”：（1）角的两种定义和两种度量制（2）平面几何中的角：各类角；（锐角、直角、钝角、余角、补角）三线八角；三角形中的角；圆上的角（3）坐标系中的角：正、负角；直线的倾斜角；两直线的夹角；极坐标的极角；复数的辐角；辅助角（4）立体几何中的角:异面直线所成的角；直线与平面的夹角；二面角；（5）终边相同的角集合：求任意角的三角函数值；象限角；三角函数周期；极坐标的多值性；等差数列（终边相同的角组成的双向延伸的等差数列）范例3 对于你能写出多少个等式？越多越好！ 你应该能写出一二十个等式，包括同角关系公式，诱导公式，和差倍半公式，形成知识链（思维概念图,习题化） （同角关系） （从中取两个作商的关系） （诱导公式）（奇变偶不变，符号看象限；本质是对称性，还可看作和差角公式的特例） （和差公式）（倍半公式）sin（变形公式）2sin2cos 4-2 揭示内容的数学本质 范例4 工程问题的深层提炼 题1 一件工程，甲单独干需要a天，乙单独干需要b天，甲乙一齐干几天完成？题1-1 一件工程，甲单独干一半需要a天，乙单独干一半需要b天，甲乙一齐干几天完成？这是小学时的“工程问题”，其基本关系是： 工作效率工作时间=工程总量（定值） 对这个基本关系作抽象，有 单位量单位数=总量（定值） 再作形式化抽象，得 （定值）可见，“工程问题”的本质是一个反比例函数模式：一件工程，对应着存在一个反比例函数关系这是反映题型特征的基本关系（对应工作效率，对应工作时间，对应定值工程总量）题1中，甲单独干需要a天，乙单独干需要b天，对应着在反比例函数中因变量取（相应有），（相应有） 题1中，甲乙一齐干几天完成，对应着求函数值：（用3次反比例函数） 同理，题1-1中有（调和平均） 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数（工程总量）和自变量，（每个工程队的工作效率），也能求出函数值（两个工程队一齐干的工作时间）更一般地，“工程问题”的反比例函数模式是：对反比例函数，给出函数值，求其求解步骤是：首先将表示为，然后代入所求式（用次反比例函数） 计算结果与比例系数无关，这就是说，即使不知道比例系数和自变量，也能求出函数值如果把工程平分为段，个工程队干每一段分别需天，则个工程队一起干需天完成（调和平均）有了工程问题的这些认识，就能对“形异而质同”的问题迅速识别，并提取相应的方法加以解决例4-1 （2007高考数学陕西文科第12题，难度系数0.28）某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为（ ） （A） （B） （C） （D）例4-2 （2012高考数学陕西文科第10题，难度系数014）小王从甲地到乙地往返的时速分别为和（），其全程的平均时速为，则 （ ） （A） （B） （C） （D）范例5 “二分法”教学中数形结合思想的体现人们认为，在“二分法”课题中有丰富的数学思想，如函数与方程的数学思想，近似逼近的数学思想，数形结合的数学思想，特殊与一般的数学思想，程序化地处理问题的算法思想等等请研讨“数形结合”数学思想的具体体现怎样“数形结合”的呢？研讨“二分法”课题中是怎样“数形结合”的时，常常只听到“由数到形”的描述：把方程的解转化为函数图象与轴的交点其实，这里既有“由数到形”、又有“由形到数”，是一个双流向的“数形结合” 第1、由数到形的操作化落实：“由数到形”经历了4个操作步骤：方程的解方程组的解函数零点函数图象与轴的交点数式逐渐演变为形象，几何味越来越重、越来越浓 （1）首先是求一元方程的近似解这是一个纯代数的问题，一维的、静态的（2）令为，问题转化为求二元方程组的解这还是一个纯代数的问题，保持静态特征，但已经是二维的了，便于向坐标系过度（3）把方程转变为函数，把方程转变为函数值为零这虽然还是一个纯代数的问题，但已经是二维、动态的了（4）通过坐标系把函数转化为图象，把转化为图象与轴的交点（零点）这就把数变成了形，零点在轴上的2与3之间（如图7）这一过程的基本线索是把方程的解（数）转化为函数图象的零点（形） 第2、由形到数的操作化落实:“由形到数”经历了4个操作步骤：坐标系数轴表格二分法形象逐渐演变为数式，代数味越来越重、越来越浓 （1）坐标系在二维坐标系上可以看到函数的图象与轴的交点（零点），这个交点（零点）在轴的2与3之间这是二维坐标系的形象（图7） 图7 （2）数轴因为是找轴上的零点，所以考虑一维数轴上的区间就够了，取区间的中点，用区间套 逐步逼近零点这是一维数轴上的形象，零点在区间上被逼近（参见图7中的轴） （3）表格，把逼近的形象用数值反映出来，计算端点的函数值，填写在表格上，区间两端点的数值越来越接近零点这就把一维形象通过表格呈现为“数” （4）得出“二分法”的一般程序这是一维的纯代数表达，也是从特殊到一般的归纳这一过程的基本线索是把找函数零点（形）的方法直观地提炼为“二分法”程序（数）学生在这个双流向“数形结合”的活动中，从特殊到一般提炼出了“二分法”，看到了“函数与方程的数学思想”、体验了“近似与逼近的数学思想”，积累了“程序化地处理问题的算法思想”没有行动支撑的思想会是空洞而生硬的，没有思想指导的行动会是盲目而肤浅的数学教学既要用数学思想去指导教学设计，又要用教学操作去落实数学思想 范例6 绝对值的深化与练习 如果复习只涉及绝对值的文字定义、几何定义、代数定义以及等，那还没有脱离“简单重复”；若加上 ，就有点高中味了若再作变形，就可以纵向深化了： ， ，例5-1 （2016年高中数学联赛第一、1题）设实数满足，则的取值范围是 解：由得，原不等式可变为 得的取值范围为例5-2 （改编题）设实数满足，则的取值范围是 例5-3 （改编题）设实数满足，则的取值范围是 例5-4 （2016年高考数学甲卷文、理科第(24)题，满分10分）已知函数，M为不等式的解集. （I）求M； （II）证明：当时， 解：题目的两问分别考查绝对值不等式的解法和证明，都可以通过一题多解来熟识绝对值不等式的解（证）的多种处理方解法.先看第（I）问.解法1 （零点分段法）第一步找出每一个绝对值的零点，第二步按零点分3种情况讨论，第三步合并得出结论 解法2：（图象法）将函数脱去绝对值符号写成分段函数 作出函数的图像如图8，可见时， 图8解法3：（数形结合法）如图9，考虑数轴上一点x到与两点的距离之和，让x从原点出发向右移动，一直到处都有 图9（）；当x继续向右移动、到达1之前，有 ，（） 当x到达1并继续向右移动时，有 ，（） 可见，时，时. 同理，让x从原点出发向左移动，有时，时. 合并得，当且仅当时，故. 解法4：（升维法）由已知有 ， 设 ，（）升维，改写为 当时，表示从点到点的一条线段；当时，这是平面内到两点，距离之和为的点的轨迹、为椭圆（图10），其方程为 ，得 ， 图10即椭圆内的点到两点，距离之和小于2，故. 解法5：（平方法）由已知有，移项 ，平方并整理，得 ， 即 ，解得 ，故. 解法6：（不等式法）已知有 ，由绝对值不等式有 故得.（必要性） 又当时，相加. 当时，相加. 所以，当且仅当时，故. 第（II）问相当于莫斯科第15届（1952年）数学竞赛的一道试题： 例5-5 已知，求证 后来进入我国中学课本作例题，1993年被改编为一道高考题：例5-6 （1993年高考数学理科第(29)题，满分10分）已知关于 x 的实系数二次方程 有两个实数根.证明:（）如果，那么且；（）如果且，那么. 下面给出例5-5几个有特色的思路：观察题目中的条件和结论，容易看到一个共同的形式：，而这有一系列的等价关系，即数学内容上的联系或“知识链”： 在与之间 存在，使 函数的性质 更多函数的性质.由此可成批产生解法.如思路1：由，变形即得.思路2：由，变形即得.思路3：设，作合比、分比有 ，变形即得.若再作合比、分比有思路4：，或 ，（定比分点）均表明在与之间，变形即得.思路6：设，有，作一次函数 ，易知是一个增函数，且 ， ，得 ，由增函数，得，变形即得.思路7：作函数，有.取 ，则，但，故 ，即. 范例7 通过线性规划题深化认识 每年的数学高考几乎都会有线性规划试题，这类题目的数学实质是求定义域内（约束条件）二元函数（目标函数）的最值，当然，中学没有二元函数，但可以通过“图上作业法”直观找出最值（据此，俗称这类题目为“线性规划题”，避开了“二元函数”）如 例6-1 （2016 年高考数学全国甲卷（文科）第14题）若满足约束条件则的最小值为_ 例6-2 （2016 年高考