【步步高】2014届高三数学一轮 3.1 导数的概念及其运算课时检测 理 （含解析）北师大版

1 3 13 1 导数的概念及其运算导数的概念及其运算 一 选择题 1 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 x2 则f 1 A 1 B 2 C 1 D 2 解析 f x 2f 1 2x 令x 1 得f 1 2f 1 2 f 1 2 答案 B 2 设曲线 1 1 x y x 在点 3 2 处的切线与直线10axy 垂直 则a A 2B 2 C 1 2 D 1 2 答案 B 3 已知f x xln x 若f x0 2 则x0 A e2 B e C D ln 2 ln 2 2 解析 f x 的定义域为 0 f x ln x 1 由f x0 2 即 ln x0 1 2 解得x0 e 答案 B 4 设函数f x 是 R 上以 5 为周期的可导偶函数 则曲线y f x 在x 5 处的切线的斜率 为 A B 0 C D 5 1 5 1 5 解析 因为f x 是 R 上的可导偶函数 所以f x 的图象关于y轴对称 所以f x 在x 0 处取得极值 即f 0 0 又f x 的周期为 5 所以f 5 0 即曲线y f x 在 x 5 处的切线的斜率为 0 选 B 答案 B 5 设f0 x sin x f1 x f 0 x f2 x f 1 x fn 1 x f n x n N 则f2 013 x 等于 A sin x B sin x C cos x D cos x 解析 f0 x sin x f1 x cos x f2 x sin x f3 x cos x f4 x sin x fn x fn 4 x 故f2 012 x f0 x sin x f2 013 x f 2 012 x cos x 2 答案 C 6 已知函数f x 的导函数为f x 且满足f x 2xf 1 ln x 则f 1 A e B 1 C 1 D e 解析 由f x 2xf 1 ln x 得f x 2f 1 1 x f 1 2f 1 1 则f 1 1 答案 B 7 等比数列 an 中 a1 2 a8 4 函数f x x x a1 x a2 x a8 则f 0 A 26 B 29 C 212 D 215 解析 函数f x 的展开式含x项的系数为a1 a2 a8 a1 a8 4 84 212 而f 0 a1 a2 a8 212 故选 C 答案 C 二 填空题 8 已知函数f x f sin x cos x 则f 2 4 解析 由已知 f x f cos x sin x 2 则f 1 因此f x sin x cos x f 0 2 4 答案 0 9 函数 3 Rxaxxxf 在1 x处有极值 则曲线 xfy 在原点处的切线方程是 解析 因为函数 3 Rxaxxxf 在1 x处有极值 则 f 1 3 a 0 a 3 所求 切线的斜率为 3 所以切线方程为 y 3x 答案 3x y 0 10 若过原点作曲线y ex的切线 则切点的坐标为 切线的斜率为 解析 y ex 设切点的坐标为 x0 y0 则 ex0 即 ex0 x0 1 因此切点的坐 y0 x0 ex0 x0 标为 1 e 切线的斜率为 e 答案 1 e e 11 已知函数f x 在 R 上满足f x 2f 2 x x2 8x 8 则曲线y f x 在x 1 处的 导数f 1 解析 f x 2f 2 x x2 8x 8 3 x 1 时 f 1 2f 1 1 8 8 f 1 1 即点 1 1 在曲线y f x 上 又 f x 2f 2 x 2x 8 x 1 时 f 1 2f 1 2 8 f 1 2 答案 2 12 已知f1 x sin x cos x 记f2 x f1 x f3 x f2 x fn x fn 1 x n N n 2 则f1 f2 f2 012 2 2 2 解析 f2 x f1 x cos x sin x f3 x cos x sin x sin x cos x f4 x cos x sin x f5 x sin x cos x 以此类推 可得出fn x fn 4 x 又 f1 x f2 x f3 x f4 x 0 f1 f2 f2012 f1 f2 f3 f4 0 2 2 2 2 2 2 2 答案 0 三 解答题 13 求下列函数的导数 1 y x2sin x 2 y ex 1 ex 1 3 y log2 2x2 3x 1 解析 1 y x2 sin x x2 sin x 2xsin x x2cos x 2 法一 y ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 ex 1 2 ex ex 1 ex 1 ex ex 1 2 2ex ex 1 2 法二 y 1 ex 1 2 ex 1 2 ex 1 y 1 即y 2 ex 1 2ex ex 1 2 3 法一 设y log2u u 2x2 3x 1 则y x y u u x 4x 3 1 u ln 2 4x 3 2x2 3x 1 ln 2 法二 y log2 2x2 3x 1 4 2x2 3x 1 1 2x2 3x 1 ln 2 4x 3 2x2 3x 1 ln 2 14 求下列函数的导数 1 y 2x 1 n n N 2 y ln x 1 x2 3 y 2xsin 2x 5 解析 1 y n 2x 1 n 1 2x 1 2n 2x 1 n 1 2 y 1 x 1 x2 1 2x 2 1 x2 1 1 x2 3 y 2sin 2x 5 4xcos 2x 5 15 设函数f x x3 2ax2 bx a g x x2 3x 2 其中x R a b为常数 已知曲 线y f x 与y g x 在点 2 0 处有相同的切线l 1 求a b的值 并写出切线l的方程 2 若方程f x g x mx有三个互不相同的实根 0 x1 x2 其中x1 x2 且对任意的 x x1 x2 f x g x 0 m 1 4 又对任意的x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 特别地 取x x1时 f x1 g x1 mx1 m成立 即 0 m m0 x1x2 2 m 0 故 0 x10 则f x g x mx x x x1 x x2 0 又f x1 g x1 mx1 0 所以函数在x x1 x2 上的最大值为 0 于是当m 0 时对任意的x x1 x2 f x g x m x 1 恒成立 综上 m的取值范围是 1 4 0 16 设函数f x ax 曲线y f x 在点 2 f 2 处的切线方程为 7x 4y 12 0 b x 1 求f x 的解析式 2 证明 曲线y f x 上任一点处的切线与直线x 0 和直线y x所围成的三角形面积为 定值 并求此定值 解析 1 方程 7x 4y 12 0 可化为y x 3 7 4 当x 2 时 y 又f x a 于是Error 1 2 b x2 5 解得Error 故f x x 3 x 2 证明 设P x0 y0 为曲线上任一点 由f x 1 知 曲线在点P x0 y0 处的切线方程为y y0 x x0 3 x2 1 3 x2 0 即y x x0 x0 3 x0 1 3 x2 0 令x 0 得 y 从而得切线与直线x 0 交点