【步步高】2014届高三数学大一轮复习 1.3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词教案 理 新人教A版

1 1 3 1 3 简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词简单的逻辑联结词 全称量词与存在量词 2014 高考会这样考 1 考查逻辑联结词 或 且 非 的含义 判断命题的真假或求 参数的范围 2 考查全称量词和存在量词的意义 对含一个量词的命题进行否定 复习备考要这样做 1 充分理解逻辑联结词的含义 注意和日常用语的区别 2 对量词的 练习要在 含一个量词 框架内进行 不要随意加深 3 注意逻辑与其他知识的交汇 1 简单的逻辑联结词 1 命题中的 且 或 非 叫做逻辑联结词 2 简单复合命题的真值表 pqp qp q 綈p 真真真真假 假真假真真 真假假真假 假假假假真 2 全称量词与存在量词 1 常见的全称量词有 任意一个 一切 每一个 任给 所有的 等 2 常见的存在量词有 存在一个 至少有一个 有些 有一个 某个 有的 等 3 全称量词用符号 表示 存在量词用符号 表示 3 全称命题与特称命题 1 含有全称量词的命题叫全称命题 2 含有存在量词的命题叫特称命题 4 命题的否定 1 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 2 p或q的否定 非p且非q p且q的否定 非p或非q 难点正本 疑点清源 1 逻辑联结词 或 的含义 逻辑联结词中的 或 的含义 与并集概念中的 或 的含义相同 如 x A或x B 是指 x A且x B x A且x B x A且x B三种情况 再如 p真或q真 是指 p真且q假 p假且q真 p真且q真三种情况 2 2 命题的否定与否命题 否命题 是对原命题 若p 则q 的条件和结论分别加以否定而得到的命题 它既 否定其条件 又否定其结论 命题的否定 即 非p 只是否定命题p的结论 命题的否定与原命题的真假总是对立的 即两者中有且只有一个为真 而原命题与否命 题的真假无必然联系 3 含一个量词的命题的否定 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 1 下列命题中 所有真命题的序号是 5 2 且 7 4 3 4 或 4 3 不是无理数 2 答案 解析 5 2 和 7 4 都真 故 5 2 且 7 4 也真 3 4 假 4 3 真 故 3 4 或 4 3 真 是无理数 故不是无理数为假命题 22 点评 对含有 或 且 非 的复合命题的判断 先判断简单命题 再根据真值表 判断复合命题 2 已知命题p x R R x2 2 命题q是命题p的否定 则命题p q p q p q 1 x2 中是真命题的是 答案 p p q 解析 x 1 时 p成立 所以p真 q假 p q真 p q假 3 若命题 x R R 有x2 mx m 0 是假命题 则实数m的取值范围是 答案 4 0 解析 x R R 有x2 mx m 0 是假命题 则 x R R 有x2 mx m 0 是真命 题 即 m2 4m 0 4 m 0 4 2012 湖北 命题 x0 R RQ Q x Q Q 的否定是 3 0 A x0D R RQ Q x Q Q B x0 R RQ Q x D Q Q 3 03 0 C xD R RQ Q x3 Q Q D x R RQ Q x3D Q Q 答案 D 解析 的否定是 x3 Q Q 的否定是x3D Q Q 命题 x0 R RQ Q x Q Q 的否定是 x R RQ Q x3D Q Q 故应选 D 3 0 5 有四个关于三角函数的命题 3 p1 x R R sin2 cos2 x 2 x 2 1 2 p2 x y R R sin x y sin x sin y p3 x 0 sin x 1 cos 2x 2 p4 sin x cos y x y 2 其中的假命题是 A p1 p4 B p2 p4 C p1 p3 D p2 p3 答案 A 解析 p1为假命题 对于p2 令x y 0 显然有 sin x y sin x sin y 即p2为 真命题 对于p3 由 sin2x 当x 0 时 sin x 0 sin x 1 cos 2x 2 于是可判断p3为真命题 对于p4 当x 时 有 sin x cos 1 cos 2x 2 5 4 y 这说明p4是假命题 2 2 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假 例 1 已知命题p1 函数y 2x 2 x在 R R 上为增函数 p2 函数y 2x 2 x在 R R 上为减函 数 则在命题q1 p1 p2 q2 p1 p2 q3 綈p1 p2和q4 p1 綈p2 中 真命题 是 A q1 q3 B q2 q3 C q1 q4 D q2 q4 思维启迪 先判断命题p1 p2的真假 然后对含逻辑联结词的命题根据真值表判断真 假 答案 C 解析 命题p1是真命题 p2是假命题 故q1为真 q2为假 q3为假 q4为真 探究提高 1 判断含有逻辑联结词的复合命题的真假 关键是对逻辑联结词 且 或 非 含义的理解 2 解决该类问题的基本步骤 弄清构成复合命题中简单命题p和q的真假 明确 其构成形式 根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假 写出由下列各组命题构成的 p q p q 綈p 形式的复合命题 并 判断真假 4 1 p 1 是素数 q 1 是方程x2 2x 3 0 的根 2 p 平行四边形的对角线相等 q 平行四边形的对角线互相垂直 3 p 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同 q 方程x2 x 1 0 的两实根的绝对 值相等 解 1 p q 1 是素数或是方程x2 2x 3 0 的根 真命题 p q 1 既是素数又是方程x2 2x 3 0 的根 假命题 綈p 1 不是素数 真命题 2 p q 平行四边形的对角线相等或互相垂直 假命题 p q 平行四边形的对角相等且互相垂直 假命题 綈p 有些平行四边形的对角线不相等 真命题 3 p q 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同或绝对值相等 假命题 p q 方程x2 x 1 0 的两实根的符号相同且绝对值相等 假命题 綈p 方程x2 x 1 0 的两实根的符号不相同 真命题 题型二 含有一个量词的命题的否定 例 2 写出下列命题的否定 并判断其真假 1 p x R R x2 x 0 1 4 2 q 所有的正方形都是矩形 3 r x0 R R x 2x0 2 0 2 0 4 s 至少有一个实数x0 使x 1 0 3 0 思维启迪 否定量词 否定结论 写出命题的否定 判断命题的真假 解 1 綈p x0 R R x x0 0 真命题 4 綈s x R R x3 1 0 假命题 探究提高 全称命题与特称命题的否定与命题的否定有一定的区别 否定全称命题和特 称命题时 一是要改写量词 全称量词改写为存在量词 存在量词改写为全称量词 二 是要否定结论 而一般命题的否定只需直接否定结论即可 1 已知命题p x R R sin x 1 则 A 綈p x R R sin x 1 B 綈p x R R sin x 1 C 綈p x R R sin x 1 D 綈p x R R sin x 1 2 命题p x R R 2x x2 1 的否定綈p为 5 答案 1 C 2 x R R 2x x2 1 题型三 逻辑联结词与命题真假的应用 例 3 已知p 方程x2 mx 1 0 有两个不相等的负实数根 q 不等式 4x2 4 m 2 x 1 0 的解集为 R R 若 p q 为真命题 p q 为假命题 求实数m的取值范围 思维启迪 判断含有逻辑联结词的命题的真假 关键是判断对应p q的真假 然后判 断 p q p q 綈p 的真假 解 p为真命题 Error m 2 q为真命题 4 m 2 2 4 4 1 0 1 m 3 由 p q 为真命题 p q 为假命题 知p与q一真一假 当p真 q假时 由Error m 3 当p假 q真时 由Error 10 设命题p 函数y ax在 R R 上单调递增 命题q 不等式 ax2 ax 1 0 对 x R R 恒成立 若 p q 为假 p q 为真 求a的取值范围 解 函数y ax在 R R 上单调递增 p a 1 不等式ax2 ax 1 0 对 x R R 恒成立 且a 0 a2 4a 0 解得 0 a 4 q 0 a 4 p q 为假 p q 为真 p q中必有一真一假 当p真 q假时 Error 得a 4 当p假 q真时 Error 得 00 且c 1 设p 函数y cx在 R R 上单调递减 q 函数f x x2 2cx 1 在上为增函数 若 p且q 为假 p或q 为真 求实数c的 1 2 取值范围 审题视角 1 p q都为真时 分别求出相应的a的取值范围 2 用补集的思想 求 出綈p 綈q分别对应的a的取值范围 3 根据 p且q 为假 p或q 为真 确定 p q的真假 规范解答 6 解 方法一 函数y cx在 R R 上单调递减 0 c 1 2 分 即p 0 c0 且c 1 綈p c 1 3 分 又 f x x2 2cx 1 在上为增函数 c 1 2 1 2 即q 00 且c 1 綈q c 且c 1 5 分 1 2 1 2 又 p或q 为真 p且q 为假 p真q假或p假q真 6 分 当p真 q假时 c 0 c 1 2且c 1 c 1 2 c1 10 分 c 0 c 1 2 综上所述 实数c的取值范围是 12 分 c 1 2 c9 m 9 12 分 答题模板 第一步 求命题p q对应的参数的范围 第二步 求命题綈p 綈q对应的参数的范围 第三步 根据已知条件构造新命题 如本题构造新命题 p且q 或 p或q 第四步 根据新命题的真假 确定参数的范围 第五步 反思回顾 查看关键点 易错点及解题规范 温馨提醒 解决此类问题的关键是准确地把每个条件所对应的参数的取值范围求解出来 然后转化为集合交 并 补的基本运算 答题时 可依答题模板的格式进行 这样可使答题思路清晰 过程完整 老师在阅卷时 便于查找得分点 7 方法与技巧 1 要写一个命题的否定 需先分清其是全称命题还是特称命题 对照否定结构去写 并注 意与否命题的区别 对于命题否定的真假 可以直接判定 也可以先判定原命题 再判 定其否定 判断命题的真假要注意 全称命题为真需证明 为假举反例即可 特称命题 为真需举一个例子 为假则要证明全称命题为真 2 要把握命题的形成 相互转化 会根据复合命题来判断简单命题的真假 3 全称命题与特称命题可以互相转化 即从反面处理 再求其补集 失误与防范 1 p q为真命题 只需p q有一个为真即可 p q为真命题 必须p q同时为真 2 p或q的否定 非p且非q p且q的否定 非p或非q 3 全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题 4 简单逻辑联结词内容的考查注重基础 注重交汇 较多地考查简单逻辑与其他知识的综 合问题 要注意其他知识的提取与应用 一般先化简转化命题 再处理关系 A 组 专项基础训练 时间 35 分钟 满分 57 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 下列命题中的假命题是 A x0 R R lg x0 0 B x0 R R tan x0 1 C x R R x3 0 D x R R 2x 0 答案 C 解析 对于 A 当x0 1 时 lg x0 0 正确 对于 B 当x0 时 tan x0 1 正确 4 对于 C 当x 0 时 x30 正确 2 2012 湖北 命题 存在一个无理数 它的平方是有理数 的否定是 A 任意一个有理数 它的平方是有理数 B 任意一个无理数 它的平方不是有理数 C 存在一个有理数 它的平方是有理数 8 D 存在一个无理数 它的平方不是有理数 答案 B 解析 通过否定原命题得出结论 原命题的否定是 任意一个无理数 它的平方不是有理数 3 2012 山东 设命题p 函数y sin 2x的最小正周期为 命题q 函数y cos x的 2 图象关于直线x 对称 则下列判断正确的是 2 A p为真 B 綈q为假 C p q为假 D p q为真 答案 C 解析 p是假命题 q是假命题 因此只有 C 正确 4 已知命题p x 1 2 x2 a 0 命题q x R R 使x2 2ax 2 a 0 若 命题 p且q 是真命题 则实数a的取值范围是 A a a 2 或a 1 B a a 1 C a a 2 或 1 a 2 D a 2 a 1 答案 A 解析 由题意知 p a 1 q a 2 或a 1 p且q 为真命题 p q均为真命题 a 2 或a 1 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 5 命题 x R R ex x 的否定是 答案 x R R ex x 6 若命题p 关于x的不等式ax b 0 的解集是 x x 命题q 关于x的不等式 b a x a x b 0 的解集是 x a x0 命题q 1 若 綈q且p 为真 则x的取值范围是 1 3 x 答案 3 1 2 3 解析 因为 綈q且p 为真 即q假p真 而q为真命题时 0 即 2 x0 解得x 1 或x 3 由 Error 得x 3 或 1 x 2 或x 3 所以x的取值范围是x 3 或 1 x 2 或x0 解 1 綈q x0 R R x0是 5x 12 0 的根 真命题 2 綈r 每一个质数都不是奇数 假命题 3 綈s x R R x 0 假命题 9 12 分 已知c 0 设命题p 函数y cx为减函数 命题q 当x 时 函数f x 1 2 2 x 恒成立 如果 p或q 为真命题 p且q 为假命题 求c的取值范围 1 x 1 c 解 由命题p为真知 0 c 1 由命题q为真知 2 x 1 x 5 2 要使此式恒成立 需 1 c 1 2 若 p或q 为真命题 p且q 为假命题 则p q中必有一真一假 当p真q假时 c的取值范围是 0 c 1 2 当p假q真时 c的取值范围是c 1 综上可知 c的取值范围是 c 0 c 1 2或c 1 B 组 专项能力提升 时间 25 分钟 满分 43 分 一 选择题 每小题 5 分 共 15 分 1 2011 安徽 命题 所有能被 2 整除的整数都是偶数 的否定是 A 所有不能被 2 整除的整数都是偶数 10 B 所有能被 2 整除的整数都不是偶数 C 存在一个不能被 2 整除的整数是偶数 D 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 答案 D 解析 由于全称命题的否定是特称命题 本题 所有能被 2 整除的整数都是偶数 是全 称命题 其否定为特称命题 存在一个能被 2 整除的整数不是偶数 2 2012 辽宁 已知命题p x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 则綈p是 A x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 B x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 C x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 D x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 0 答案 C 解析 綈p x1 x2 R R f x2 f x1 x2 x1 a的解集为 R R q 函数f x 7 3a x在 R R 上是 ex 4 1 ex 减函数 如果这两个命题中有且只有一个真命题 那么实数a的取值范围是 A 1 a 2 B 2 a 7 3 C 2 a D 1a的解集为 R R ex 4 1 ex B a f x 7 3a x在 R R 上是减函数 由于函数y 的最小值为 1 故A a a1 即a 2 所以B a a 2 要使这两个命题中有且只有一个真命题 a的取值范围为 R RA B R RB A 而 R RA B 1 2 1 2 R RB A 2 1 因此 R RA B R RB A 1 2 故选 A 二 填空题 每小题 5 分 共 15 分 4 已知命题p x R R m R R 4x 2x 1 m 0 若命题綈p是假命题 则实数m的取 值范围是 答案 1 11 解析 若綈p是假命题 则p是真命题 即关于x的方程 4x 2 2x m 0 有实数解 由于m 4x 2 2x 2x 1 2 1 1 m 1 5 设p