高二数学上 8.1《向量的坐标表示及其运算》教案（沪教版）

8 18 1 1 1 向量的坐标表示及其运算 向量的坐标表示及其运算 1 1 一 教学内容分析一 教学内容分析 按现行上海市中小学数学课程标准 本章内容是在初中学习了向量的基本概念 向量 的加法 减法 实数与向量的积等基础之上的后继学习 但与初中有所不同的是 初中教材 对向量的学习是以 形 为主 主要从 形 的角度展开 而本章内容则主要是以 数 为主 从 数 的角度进行论述 当然 由于向量本身所具有的数形结合的特点 本章教材 在以 数 为主旨处理教学内容的同时并没有弱化向量的 形 的方面的特征 而是二者 相得益彰 互为依赖 互为补充 以 数 为主旨研究向量 其核心手段是向量及其运算的坐标表示 向量的坐标表示 实际上是向量的代数表示 在引入向量的坐标表示后 向量的加法 减法 实数与向量的积 向量的数量积等就完全可以用它们的坐标的加法 减法 数乘 数量积等运算来进行 使 向量运算完全代数化 将数与形紧密结合起来 这样 就使得很多问题 可以转化为熟知的 数量的运算进行解决 向量及其运算的坐标表示 一方面为用代数方法处理几何问题提供了 通道 另一方面也为向量概念推广到高维空间指明了途径 同时 它也是高中数学中描述 与处理如立几 解几 三角等诸多问题的一个有力的工具 在高考中也占有一个重要的地 位 作为本章的第一课时 本节课的主要内容是向量的坐标表示及其运算 它是本章重要的 基础性与前提性内容 它引入了将向量问题代数化的基本手段与方法 向量的坐标表示 本节内容课本上的基本处理方法是在引入一些相关的基础性的概念之后 通过任意向 量都可以正交分解为基本单位向量 i j 的线性组合 在向量的正交分解的基础上抽象概括 出向量的坐标表示形式 并依据向量的正交分解的本质得到向量坐标形式下的运算法则 本节课要着力解决三个问题 一是要解决引入向量的坐标形式的必要性的问题 以引 起学生学习的动机 二是要解决如何引入向量的正交分解及如何由此抽象出向量的坐标形 式或者说是如何让学生理解向量坐标的本质的问题 三是要解决引入向量坐标形式以后如 何以坐标形式进行运算的问题 作为本节课 本章的第一个课时 来说 第二个问题是重 中重之中 因为如果学生不能理解向量的坐标是怎么来的 它的本质是什么 就会对后继 学习带来一定的困难 因此 我们在课上要对这一点特别的重视 二 教学目标设计二 教学目标设计 1 了解基本单位向量 位置向量 向量的正交分解等概念 会用坐标表示向量 会用 两向量的坐标形式的和 差及实数与向量的积等运算解决相关问题 2 经历如何将位置向量及任意向量表示为基本单位向量的线性组合这一正交分解的 过程 以及经历如何通过向量的正交分解的本质概括抽象出向量的坐标表示的过程 初步 形成抽象思维的能力 理解平面向量与一对有序实数对的一一对应关系 理解向量的坐标 表示方法及其运算法则 体会数形结合的思想方法 3 感知数学中的运动 变化 相互联系与相互转化的规律 加深对辩证唯物主义观点 的体验 发展从数学的角度分析和解决问题的能力 以及通过积极参与数学学习和问题解 决的过程 增强学习的主体意识 形成数学的应用意识 养成严谨 慎密的思维习惯 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 教学重点是如何写向量的坐标以及向量坐标形式的运算及其应用 教学难点是对向量 的正交分解的过程的理解以及由向量的正交分解抽象出向量的坐标表示的过程的理解 四 教学流程设计四 教学流程设计 小结与作业 坐标表示的运算 运用与深化 知起点与终点的 向量的坐标表示 情境问题 向量的正交分解 向量的坐标表示 位置向量的 正交分解 任意向量的 正交分解 位置向量的 坐标表示 任意向量的 坐标表示 返回到情境问题 五 教学过程设计五 教学过程设计 一一 情境引入情境引入 上海市莘庄中学的健美操队四名队员 A B C D 在一个长 10 米 宽 8 米的矩形表演 区域 EFGH 内进行健美操表演 1 若在某时刻 1 t 四名队员 A B C D 保持如图 1 所示的平行四边形队形 队员 A 位于点 F 处 队员 B 在边 FG 上距 F 点 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 E F G HH G F E 图 2 图 1 8 m 1 0 m D C B A D C BA 1 0 m 8 m 说明说明 此时队员 C 在位于距 EF 边 5 米距 FG 边 5 米处 这个图形比较特殊 学生很快 就会得到答案 这时教师引入第二个问题 2 若在某时刻 2 t 四名队员 A B C D 保持如图 2 所示的平行四边形队形 队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 说明说明 不要求学生写出结果 只引导学生思考 这个图形更为一般一些 学生解决的 可能不是很顺 这时 教师就可以说 这一节我们就来学习一个新的内容 向量的坐标表 示及其运算 学习了这个内容之后 同学们只要花上两分钟或者只要一分钟的时间就可以 解决这个问题了 引起学生学习的兴趣与探究的欲望 二 学习新课二 学习新课 1 1 向量的正交分解向量的正交分解 我们称在平面直角坐标系中 方向与 x 轴和 y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫 做基本单位基本单位向量向量 分别记为 i j 如图 称以原点 O 为起点的向量为位置向量位置向量 如下图左 OA 即为一个位置向量 思考思考 1 1 对于任一位置向量OA 我们能用基本单位向量 i j 来表示它吗 如上图右 设如果点 A 的坐标为 x y 它在小 x 轴 y 轴上的投影分别为 M N 那 么向量OA 能用向量OM 与ON 来表示吗 依向量加法的平行四边形法则可得 OAOMON OM 与ON 能用基本单位向量 i j 来表示吗 依向量与实数相 乘的几何意义可得 OMxi ONy j 于是可得 OAOMONxiy j 由上面这个式子 我们可以看到 平面直角坐标系内的任一位置向量OA 都能表示成 两个相互垂直的基本单位向量 i j 的线性组合 这种向量的表示方法我们称为向量的正交 分解 2 2 向量的坐标表示向量的坐标表示 思考思考 2 2 对于平面直角坐标系内的任意一个向量a 我们都能将它正交分解为基本单 位向量 i j 的线性组合吗 如下图左 显然 如上图右 我们一定能够以原点 O 为起点作一位置向量OA 使OAa 于 是 可知 在平面直角坐标系内 任意一个向量a 都存在一个与它相等的位置向量OA 由于这一点 我们研究向量的性质就可以通过研究其相应的位置向量来实现 由于任意一个 位置向量都可以正交分解为基本单位向量 i j 的线性组合 所以平面内任意的一个向量 a 都可以正交分解为基本单位向量 i j 的线性组合 即 a OA xiy j 上式中基本单位向量 i j 前面的系数 x y 是与向量a 相等的位置向量OA 的终点 A 的 坐标 由于基本单位向量 i j 是固定不可变的 为了简便 通常我们将系数 x y 抽取出来 得到有序实数对 x y 可知有序实数对 x y 与向量a 的位置向量OA 是一一对应的 因而可用有序实数对 x y 表示向量a 并称 x y 为向量a 的坐标 记作 a x y 说明说明 x y 不仅是向量a 的坐标 而且也是与a 相等的位置向量OA 的终点 A 的 坐标 当将向量a 的起点置于坐标原点时 其终点 A 的坐标是唯一的 所以向量a 的坐标 也是唯一的 这样 我们就将点与向量 向量与坐标统一起来 使复杂问题简单化 显然 依上面的表示法 我们有 1 0 0 1 0 0 0 ij 例例 1 1 课本例题 如图 写出向量 a b c 的坐标 解 解 由图知 1 2a 与向量b 相等的位置向量为OA 可知 1 2bOA 与向量c 相等的位置向量为OB 可知 1 2cOB 说明说明 对于位置向量a 它的终点的坐标就是向量的坐标 对于起点不在原点的向 量 b c 我们是通过先找到与它相等的位置向量 再利用位置向量的坐标得到它们的坐标 那么 有没有不通过位置向量 直接就写出任意向量的坐标的方法呢 答案是肯定的 而 且很简便 但我们需几分钟后再来解决这个问题 让我们先学习向量坐标表示的运算 3 3 向量的坐标表示的运算向量的坐标表示的运算 我们学过向量的运算 知道向量有加法 减法 实数与向量的乘法等运算 那么 在 学习了向量的坐标表示以后 我们怎么用向量的坐标形式来表示这些运算呢 设 是一个实数 1122 ax ybxy 由于 1111 ax yx iy j 2222 bxyx iy j 所以 1122 abx yxy 1122 x iy jx iy j 1212 1212 1212 x ix iy jy j xxiyyj xxyy 11111111 ax yx iy jx iy jxy 于是有 1122 x yxy 1212 xxyy 1111 x yxy 说明说明 上面第一个式子用语言可表述为 两个向量的和 差 的横坐标等于它们对应的 横坐标的和 差 两个向量的和 差 的纵坐标也等于它们对应的纵坐标的和 差 可笼统 地简称为 两个向量和 差 的坐标等于对应坐标的和 差 同样 第二个式子用语言可表述为 数与向量的积的横坐标等于数与向量的横坐标的 积 数与向量的积的纵坐标等于数与向量的纵坐标的积 也可笼统地简称为 数与向量积 的坐标等于数与向量对应坐标的积 4 4 应用与深化应用与深化 下面我们来研究刚才提出的不通过位置向量 如何直接写出任意向量的坐标的问题 例例 2 2 如下图左 设 11 P x y 22 Q xy是平面直角坐标系内的任意两点 如何 用 P Q 的坐标来表示向量PQ 解 解 如上图右 向量PQOQOP 2211 2121 xyx y xx yy 从而有 2121 PQxx yy 说明说明 上面这个式子告诉我们 平面直角坐标系内的任意向量的横坐标等于它终点的 横坐标与它起点的横坐标的差 纵坐标也等于它终点的纵坐标与它起点的纵坐标的差 可 简称为 任意向量坐标 终点坐标 起点坐标 例例 3 3 课本例题 如图 平面上 A B C 三点的坐标 分别为 2 1 3 2 1 3 1 写出向量 AC BC 的坐标 2 如果四边形 ABCD 是平行四边形 求 D 的坐标 解 解 1 12 3 13 2AC 13 322 1BC 2 在上图中 因为四边形 ABCD 是平行四边形 所以DCAB 设点 D 的坐标为 DD xy 于是有 1 3 DD xyAB 又 32 215 1AB 故 1 35 1 DD xy 由此可得 15 31 D D x y 解得 4 2 D D x y 因此点 D 的坐标为 4 2 练习 练习 1 请大家用两分钟的时间解答本节课一开始我们所提出的在某时刻 2 t 健 美操队员 C 的位置问题 即 在某时刻 2 t 四名队员 A B C D 保持如图所示的平行四边 形队形 如下图左 队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 D 位于距 EF 边 4 米距 FG 边 5 米处 你能确定此时队员 C 的位置吗 D C 1 3 A 2 1 B 3 2 y xO E F G H D C B A 1 0 m 8 m y x O F A 2 1 B 6 3 C D 4 5 H G E 解 解 以点 F 为坐标原点 以边 FG 为 x 轴 以边 FE 为 y 轴 建立如上图右所示直角坐 标系 则依题意有 A 2 1 B 6 3 D 4 5 设 C x y 则由 ABCD 是平行四边形可得 4 2 2 4 6 6 ACABAD 又 2 1 2 1 ACx yxy 故 2 1 6 6 xy 于是 x 8 y 7 即 C 8 7 答 队员 C 位于距 EF 边 8 米 距 FG 边 7 米处 2 在某时刻 3 t 四名队员 A B C D 保持平行四边形队形 已知队员 A 位于距 EF 边 2 米距 FG 边 1 米处 队员 B 在距 EF 边 6 米距 FG 边 3 米处 队员 C 位于如下图左所示的 矩形阴影部分区域内 包括边界 某一位置 你能确定此时队员 D 可能的位置区域吗 4 m 5 m 8 m 1 0 m A B C D H G F E B 6 3 A 2 1 O E FG H D C 1 0 m 8 m 5 m 4 m y x 解 解 以点 F 为坐标原点 以边 FG 为 x 轴 以边 FE 为 y 轴 建立如上图右所示直角坐 标系 依题意有 A 2 1 B 6 3 设 D x y 则由 ABCD 是平行四边形可得 4 2 DCAB 又 D x y 所以可得 C x 4 y 2 由题意 541016 42826 xx yy 于是可得队员 D 可能的位置区域如图所示阴影部分 除去点 B 6 2 61 y x O F A B C D H G E 例例 4 4 已知向量 4 1a 与 5 2b 求23ab 的坐标 解 因为 28 2a 315 6b 所以 23815 2623 4ab 三 巩固练习三 巩固练习 1 如图 写出向量 a b c 的坐标 2 已知 1 2 a 若其终点坐标是 2 1 则其起 点的坐标是 若其起点坐标是 2 1 则其终 点的坐标是 3 已知向量 2 3a 与 1 5b 求 3ab 及3ba 的坐标 解 1 由题意 2 1 1 1 2 11 121 1 1 1 2abc 2 设起点的坐标是 x y 则 2 1 x y 1 2 解得 x y 3 1 即起点 的坐标是 3 1 设终点的坐标是 x y 则 x y 2 1 1 2 解得 x y 1 3 即起点的坐 标是 1 3 3 3ab 3 7 14 1 57 14 3ba 1 5 3 2 3 7 14 另法 3ba 3ab 7 14 7 14 四 课堂小结 四 课堂小结 本节课我们讲了哪些内容 请学生作答 1 向量的正交分解 是如何对向量进行正交分解的 2 向量的坐标表示 是用什么表示向量的坐标的 3 向量的坐标运算 运算法则是什么 五 作业布置五 作业布置 1 已知 2 0 1 3 ab 则ab 与ab 的坐标分别为 A 3 3 3 3 B 3 3 1 3 C 1 3 3 3 D 1 3 3 3 2 若点 A 坐标为 2 1 AB 的坐标为 4 6 则 B 点的坐标为 A 2 7 B 2 7 C 6 5 D 2 5 3 已知 4 3 2 axby 若 1 2 ab 则 x y 4 已知AB 1 ix j 2 x 且AB 的坐标所表示的点在第四象限 则 x 的取 值范围是 5 已知 A 5 2 B 2 5 C 7 4 D 4 1 求证 AB CD 6 已知 1 2 3 1 11 7 abc 并且 cxayb 求 x y 的值 7 已知 22 2 5 amnbmn 且 ab 求 m n的值 六 教学设计说明及反思六 教学设计说明及反思 在本节课的设计上 我是先用一个实际的情境问题引入 引起学生学习的兴趣 同时 也在最后通过应用向量坐标这个工具对于这个问题的简便解决以及对于这一问题的进一步 深化 使学生体会到引入向量坐标形式这个工具的必要性 并培养学生数学的应用意识 体会到数学是有用的 是有价值的 另外 在新授课内容的设计上 主要采用了以知识内 容本身的逻辑关系而形成的继承关系为顺序的直线型的设计 主要有四个板块 一是向量 的正交分解 二是向量的坐标表示 三是向量的坐标运算 四是应用与深化 其中向量的正