考点17正弦定理和余弦定理

圆学子梦想 铸金字品牌 1 温馨提示 温馨提示 此此题库为题库为 Word 版 版 请请按住按住 Ctrl 滑滑动动鼠鼠标滚轴标滚轴 调节调节合适的合适的观观 看比例 点看比例 点击击右上角的关右上角的关闭闭按按钮钮可返回目可返回目录录 考点考点 1717 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理 一 选择题一 选择题 1 2012 2012 湖南高考理科湖南高考理科 7 7 在 ABC 中 AB 2 AC 3 AB BC 1 则 BC A 3 B 7 C 2 2 D 23 解题指南 利用向量的数量积计算公式 和余弦定理组成方程组解出 BC 的 值 解析 选 A 由 1 1 uuu r uuu r AB BC 1 1 2 21 1 2 2 p p uuu r uuu rcos cos BCBB BC 由余弦定理 即即 2 22 22 2 2 2 cos ACABBCAB BCB 2 2 9 94 44 4 cosBCBCB 2 2 1 1 5 54 4 2 2 uuu r BCBC BC 故故选选A A 2 2 3 33 3 BCBC 2 2012 2012 湖南高考文科湖南高考文科 8 8 在 ABC 中 AC 7 BC 2 B 60 则 BC 边上的高等于 A 3 2 B 3 3 2 C 36 2 D 339 4 解题指南 本题考查余弦定理 三角形面积公式 考查方程思想 运算能力 是历年常考内容 根据余弦定理和直角三角形中的三角函数定义 列出方程组 解出答案 解析 选 B 设AB c 在 ABC 中 由余弦定理知 222 2cosACABBCAB BCB 圆学子梦想 铸金字品牌 2 即 2 742 2cos60cc 2 230 3 1 cccc 即 0 又 0 3 cc 设 BC 边上的高等于h 由三角形面积公式 11 sin 22 ABC SAB BCBBC h A AAA 知 11 3 2 sin602 22 h 解得 3 3 2 h 故选 B 3 2012 2012 广东高考文科广东高考文科 6 6 在 ABCA 中 若 A 60 B 45 BC 3 2 则 AC A 4 3 B 23 C 3 D 3 2 解题指南 已知两角一边解三角形 显然适合采用正弦定理 但在由正弦值 求角时 要注意解的个数的判断 解析 选 B 在 ABCA 中 由正弦定理知 2 3 2 sin 2 2 3 sinsinsin3 2 ACBCBCB AC BAA 4 2012 2012 湖北高考文科湖北高考文科 8 8 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 若三边的长为连续的三个正整数 且 A B C 3b 20acosA 则 sinA sinB sinC 为 A 4 3 2 B 5 6 7 C 5 4 3 D 6 5 4 解题指南 本题考查正弦定理和余弦定理的应用 解答本题的关键是把边 a c 均用 b 表示出来 再利用余弦定理把已知化简求值 解析 选 D 由题意知 a b 1 c b 1 3b 20acos A 20 b 1 222 2 bca bc 20 b 1 222 1 1 2 1 bbb b b 整理得 2 727400bb 解之得 b 5 可知 a 6 c 4 结合正弦定理可知答案 圆学子梦想 铸金字品牌 3 二 填空题二 填空题 5 2012 2012 湖北高考理科湖北高考理科 1111 设 ABC 的内角 A B C 所对的边分别是 a b c 若 a b c a b c ab 则角 C 解题指南 本题考查余弦定理 把已知条件展开整理可得结果 解析 由 a b c a b c ab 可知 222 abcab 又 222 1 cos 22 abc C ab 所以 0 120C 答案 0 120 6 2012 2012 福建高考文科福建高考文科 1313 在 ABC 中 已知 BAC 60 ABC 45 BC 3 则 AC 解题指南 本题知两角一对边 选用正弦定理求另一对边 解析 选由正弦定理 sin sin ACBC BA 即 2 sin22 sin2 BC ACB A 答案 2 7 2012 2012 安徽高考理科安徽高考理科 1515 设的内角所对边的长分别为 ABC A B C a b c 则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 若 2 abc 则 3 C 若 2abc 则 3 C 若 333 abc 则 2 C 若 2ab cab 则 2 C 若 22222 2ab ca b 则 3 C 解题指南 对于 用余弦定理判断 用反证法 举反例 解析 222 2 21 cos 2223 abcabab abcCC abab 圆学子梦想 铸金字品牌 4 222222 4 1 2cos 2823 abcabab abcCC abab 当 2 C 时 22232233 cabca cb cab 与 333 abc 矛盾 取 2 1abc 满足 2ab cab 得 2 C 取 2 1abc 满足 22222 2ab ca b 得 3 C 答案 8 2012 2012 陕西高考文科陕西高考文科 1313 在三角形 ABC 中 角 A B C 所对应的长分别 为a b c 若 2a B 6 c 2 3 则 b 解题指南 已知两边及其夹角 用余弦定理可求第三边 解析 由余弦定理得 222 2cos4 122 2 2 3cos 6 bacacB 16 124 2b 答案 2 9 2012 2012 北京高考理科北京高考理科 1111 在 ABC 中 若 a 2 b c 7 1 cos 4 B 则 b 解题指南 对角 B 利用余弦定理列式求解 解析 7 7bccb 由余弦定理得 222 2cosbacacB 即 22 1 4 7 2 2 7 4 bbb 解得 4b 答案 4 10 2012 2012 北京高考文科北京高考文科 1111 在 ABC 中 若 a 3 b 3 3 A 则 C 的大小为 解题指南 利用正弦定理求出 B 再利用内角和定理求 C 圆学子梦想 铸金字品牌 5 解析 在 ABC 中 由正弦定理得 33 sin sin 3 B 1 sin 2 B 6 abABB 362 C 答案 2 三 解答题三 解答题 11 2012 2012 江苏高考江苏高考 1515 本小题满分 14 分 在 ABC 中 已知 3ABACBA BC AA 1 求证 tan 3tanBA 2 若 5 cos 5 C 求 A 的值 解题指南 1 注意向量积公式的应用 和正弦定理的利用 边角转化 2 先利用 5 cos 5 C 求出 tan2C 再利用两角和的正切公式构造与tan A有关 的方程 解析 1 由 3ABACBA BC AA 得 cos3 cosABACABABCB AA 即为 cos3coscbAcaB cos3 cosbAaB 由正弦定理得sin cos3sincosBAAB 两边同除cos cosAB得tan3tanBA 即tan 3tanBA 成立 2 因 5 cos 5 C 所以 C 为锐角 所以 tan2C 由 1 tan 3tanBA 且A BC 得 tan 3tanACA 圆学子梦想 铸金字品牌 6 即 tantan tan 3tan3tan 1tantan AC ACAA AC 即 tan2 3tan 2tan1 A A A 所以tan 1A 或 1 tan 3 A 因tan 3tanBA 由内角和为 知两角均为锐角 故 1 tan 3 A 应舍去 所以tan 1A 所以 4 a 12 2012 2012 浙江高考理科浙江高考理科 1818 本题满分 14 分 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 cosA 2 3 sinB 5cosC 1 求 tanC 的值 2 若 a 2 求 ABC 的面积 解题指南 解三角形问题 主要考查正 余弦定理 三角恒等变换的方法 注意同角三角函数间的互化和边角之间的互化 解析 1 由 cosA 2 3可得 sinA 5 3 由 sinB 5cosC 可得 sin A C 5cosC 即 52 cossin5cos 33 CCC 等号两边同除以cosC 可得 52 tan5 33 C 即tan 5C 2 由tan 5C 可得 306 sin cos 66 CC 2 305 63 c 解得 3c 圆学子梦想 铸金字品牌 7 而 sinB 525623030 cossin 3336366 CC 11305 sin2 3 2262 ABC SacB 13 2012 2012 浙江高考文科浙江高考文科 1818 本题满分 14 分 在 ABC 中 内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 bsinA 3acosB 1 求角 B 的大小 2 若 b 3 sinC 2sinA 求 a c 的值 解题指南 考查三角形中的正 余弦定理的应用 注意其中边角间的互化 解析 1 由 bsinA 3acosB 可得 sinBsinA 3sinAcosB 又 sinA 0 可得 tan3B 所以 3 B 2 由 sinC 2sinA 可得 2ca 在 ABC 中 222222 92cos423ababBaaaa 解得 3a 所以 22 3ca 14 2012 2012 安徽高考文科安徽高考文科 1616 本小题满分 12 分 设 ABC的内角 CBA 所对边的长分别为 cba 且有 CACAABsincoscossincossin2 求角 A 的大小 若 2b 1c D为BC的中点 求AD的长 解题指南 1 将A CB 代入 CACAABsincoscossincossin2 化简得到 1 cos 2 A 从而求出A 2 根据余弦定理即可求出 解析 0 sin sin0ACB A BACB 圆学子梦想 铸金字品牌 8 2sincossincoscossinsin sinBAACACACB 1 cos 23 AA II 222222 2cos3 2 abcbcAabacB 在Rt ABD 中 2222 37 1 22 ADABBD 15 2012 2012 辽宁高考理科辽宁高考理科 T17 T17 与 与 2012 2012 辽宁高考文科辽宁高考文科 T17 T17 相同 相同 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 角 A B C 成等差数列 求cosB的值 边 a b c 成等比数列 求sin sinAC的值 解题指南 1 结合等差数列定义和三角形内角和定理 求得角 B 2 利用等比数列的定义 结合正弦定理 将边的关系转化为角的关系 借 助 1 的结论 解决问题 解析 由已知2 BAC 三角形的内角和定理 180ABC 解得 60B 所以 1 coscos60 2 B 由已知 2 bac 据正弦定理 设sin sinsin abc k ABC 则 sin sin sinakA bkB ckC 代入 2 bac 得 2 sinsinsinBAC 即 22 3 sinsinsin1 cos 4 ACBB 16 2012 2012 天津高考文科天津高考文科 1616 在 ABC 中 内角 A B C 所对的边分别是 a b c 已知 a 2 c 2 cosA 2 4 I 求 sinC 和 b 的值 II 求 cos 2A 的值 3 解题指南 1 根据余弦定理求解 圆学子梦想 铸金字品牌 9 2 利用三角函数的两角和 倍角公式化简计算 解析 1 在中 由可得ABC 又由 7 2 2 sin sinsin4 ac acC AC 0b 故解得 1b 所以 7 sin 1 4 Cb 2 由 214 cos sin 44 AA 得 2 3 cos22cos1 4 AA 7 sin22sincos 4 AAA 所以 321 cos 2 cos2 cossin2 sin 3338 AAA 17 2012 2012 江西高考理科江西高考理科 1717 在 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 4 A sinsin 44 bccBa 1 求证 2 BC 2 若a 2 求 ABC 的面积 解题指南 1 选择将已知条件 sinsin 44 bccBa 边化角 得出 2 BC 2 由 1 中结论及a 2 求出其他的边和角 然后选择合适的面积公式 求出 ABC 的面积 解析 1 证明 由 sinsin 44 bCcBa 应用正弦定理 得 圆学子梦想 铸金字品牌 10 sinsinsinsinsin 44 BCCBA 22222 sinsincossinsincos 22222 BCCCBB 整理得 sin coscossin1BCBC 即 sin1BC 由于 0 4 B C 从而 2 BC 2 3 4 BCA 因此 5 88 BC 由 2 4 aA 得 sin5sin 2sin 2sin sin8sin8 aBaC bc AA 所以 ABC 的面积 151 sin2sinsin2cossin 288882 SbcA 18 2012 2012 江西高考文科江西高考文科 1616 ABC 中 角 A B C 的对边分别为 a b c 已知 3cos B C 1 6cosBcosC 1 求 cosA 2 若 a 3 ABC 的面积为2 2 求 b c 解题指南 1 选择将已知条件 3cos B C 1 6cosBcosC 化简 先求得 cos BC 再求得co