第26届北京市高中力学竞赛决赛试题[1]

第第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题届北京市高中力学竞赛决赛试题 景山学校杯 一 填空题 一 填空题 6 6 小题 每小题小题 每小题 8 8 分 共分 共 4848 分 分 1 北京在地球表面的位置约是东经 117 北纬 37 莫斯科的位 置约是东经 37 北纬 56 据报道说 习近平主席计划莫斯科时间上午 10 点在 莫斯科国际关系学院举行报告 试估计在北京的时间应是 理由是 2 如图 1 所示 光滑轨道 PABCDE 由直轨道和两个半径均相同的圆弧轨道 连接而成 小滑块由高 h 的 P 点释放滑下 无论 h 取何值 滑块不会脱离轨道 的部分是 可能最先脱离轨道的部分是 经过该部分之后可能 脱离轨道的部分是 3 如图 2 所示 一块密度为水密度的 1 2 的塑料块连接到轻弹簧的一端 弹簧另一端固定在桶底 塑料块完全浸没在水中时弹簧伸长 5mm 如果水桶以 加速度匀加速上升 塑料块达到稳定状ga 2 1 态后弹簧伸长 mm 理由是 得得 分分 h A B C D E F O1 O2 R R R R R 图 1 P 图 2 4 体重 60kg 的短跑运动员 在 50m 的比赛中 起跑后的 1 0s 内加速 后 来匀速 经 8 0s 跑到终点 我们可估算出运动员在跑动中的最大功率是 W 保留两位有效数字 5 有一种绳系卫星 母星在确定的轨道上运动 母星上用细绳悬吊一个子 星 如图 3 所示 稳定时母星和子星间的细绳方向应指向地心 但有时子星会 发生摆动 子星上无动力装置 为消除摆动使细绳方向指向地心 可采取的措 施是 理由是 6 如图 4 所示 一鼓轮放在粗糙地面上 右边紧靠光滑的竖直墙壁 鼓 轮重量不计 其上由绳索悬吊一重物 G 已知 r R 3 鼓轮与地面间的摩擦因 数为 鼓轮处于静止平衡状态 如果增大 r 其他条件不变 鼓轮是否能处 于平衡状态 答 理由是 二 计算题 共二 计算题 共 102102 分 分 图 4图 3 母星 子星 地心 图 5 A B CD v1 v1 v2 x y 7 16 分 如图 5 所示 球与台阶相碰的恢复系数为 e 接近速度分离速度e 每级台阶的宽度 和高度相同 均等于 l 该球在台 阶上弹跳 每次均弹起同样高度 且在水平部分的同一位置 即 AB CD 求球的水平速度和每次 弹起的高度 球与台阶间无摩擦 8 16 分 特警战士距墙 S0 以速度起跳 如图 6 所示 再 0 用脚蹬墙面一次 身体变为竖直向上的运动以继续升高 墙与 鞋底之间的静摩擦因数为 求能使人体重心有最大总升高的起跳角 图 6 S0 得得 分分 得得 分分 9 20 分 如图 7 所示 A B C D E 五个杂技演员在连续靠 近放置的跳板上表演杂技 他们各自的质量分别为 m1 m2 m3 m4和 m5 A 演员从 h1高度跳到第一个跳板上 B C D 接着一个 个被竖直向上弹起后又竖直落下到相邻的跳板上 跳板的质量可以忽略 试求 E 演员被弹起的高度 h5是多少 10 25 分 如图 8 所示 一根质量可以忽略的细杆 长为 2l 两端和中心处分别固连着质量为 m 的小球 B D 和 C 开 始时静止在光滑的水平桌面上 桌面上另有一质量为 M 的小球 A 以一给定 速度 v0沿垂直于杆 DB 的方向与右端小球 B 作弹性碰撞 求刚碰后小球 A B C D 的速度 并详细讨论以 后可能发生的运动情况 11 25 分 如图 9 所示 一均匀圆盘 质量为 M 半径为 R 静 图 7 图 8 得得 分分 得得 分分 得得 分分 止放在一光滑水平地面上 中心不固定 质量为 m 的人 初始静止站在圆盘边 缘上 人可看作质点 当人以相对速率 u 沿圆盘边缘走动后 盘的转动角速度 大小为 求盘心 O 的速度大小 3 2 R u Mm m 第第 26 届北京市高中力学竞赛决赛试题答案届北京市高中力学竞赛决赛试题答案 景山学校杯 一 填空题一 填空题 1 下午 3 点多 2 分 地球由西向东自转 24 小时转一周 经度为 360 每隔 15 差 1 小时 117 37 80 约 5 个多小时 6 分 2 A B C 2 分 C D 3 分 E F 3 分 3 7 5 2 分 水和塑料块都超重 F弹 F浮 m塑 g a 水 塑 V塑 g a 6 分 4 2 7103 8 分 a 2 1 7 50 20 3 20 3 2 Pm mav W 3 107 2 3 20 3 20 60 5 子星摆动最低处放绳 最 O R A m 图 9 T2 T1 T1 T2 高处收绳 放绳时绳拉力对子星做负功 收绳时做正功 半个周期内负功绝对 值大于正功 拉力总功为负 子星机械能减小 8 分 6 能 不能 2 分 平衡方程为 fR Gr 平衡 时 6 分 二 计算题二 计算题 7 解 球每次弹起的速度 v1都相同 每次落地的速度 v2也相同 由能量 守恒 2 22 1 2 12 1 mvmglmv 2 分 glvvvvglvv yxyx 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 由牛顿碰撞公式 2 分 yy evv 21 在水平方向动量守恒 xxxx vvmvmv 2121 由 可求得 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 分分 e gl v e gl ev yy 平抛公式 2 2 1 111 gttvytvlgtvv yxyy 令 vy v2y 由 可求得球从弹起到落地的时间 1 1 21 1 2 2 12 eg el g e e gl g vv t yy 2 分 代入 中即可求得球的水平速度 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 e egl el leg eg el eg el l t l v x 2 分 令 vy 0 由 可求得球达最大高度所需时间 1 21 1 2 22 1 eg l e ge gl e g v t y AB CD v1 v1 v2 x y 代入 中即可求得球所能达到的最大高度 l e e geg l ge eg l e e gl ey 2 2 2 2 22 1 1 2 2 1 1 2 1 2 4 分 8 分析和解 在解答本题时 注意摩擦力的冲量远大于人体重力的冲量 抓住 主要因素忽略次要因素 是经常用到的手段 人以角 起跳 水平初速度和竖直初速度分别为 00cosx 00siny 从起跳到蹬墙时空中飞行的时间为 0 0cos s t 则人蹬墙前竖直方向的速度为 0 00 0 sin cos yy s gtg 人重心升高 6 222 000 1000 000 111 sin tan 2cos2cos2cos y sss htgtgsg 分 设人蹬墙的时间为 t 因 t 很小 则静摩擦力的冲量远大于人体重力的 冲量 即 由动量定理得 fG II fy IN tm 而在水平方向同样由动量定理可知 cos xxo N tmmm 3 分 人蹬墙后获得竖直向上的速度 0 00 0 sincos cos yyy gs 人蹬墙后再上升的高度 2 0 02 22 02 00 200 0 sincos cos sincos 1 tan 2222cos y gs s hssg ggg 人体重心上升的总高度 22 0 120 sincos 2 Hhhs g 令 tan 则 对 s0一定时 当时 H 最大 0 2 即时 人体的重心总升高最大 7 分 1 arctan 9 解 首先我们注意一下图中的翘板 中间是一个无限重的支柱 A 演员跳 到翘板的一端 同时把 B 演员弹到空中 我们可以看作是演员间 通过 翘板 的碰撞 假定碰撞的持续时间很短 由此我们可以不考虑 重力对碰撞本身的影响 因为在碰撞的时间 t 里 每一个演员和重力相关的冲 量矩 对翘板中心计算 与 t 成正比 是非常小的 碰撞时翘板支点是不动的 我们可以采用角动量守恒定律来研究 又由于 翘板非常轻 我们可以认为翘板的转动惯量为零 根据题中后面的说明和上面的 假设 我们可以认为碰撞时机械能是守恒的 也就是说是弹性碰撞 令表示 A 演员碰撞后的速度 与图上的指向同一个方向 由系统的角 1 1 1 动量和机械能守恒 可以写出 4 分 1 11 122 mrmrmr 4 分 222 1 11122 111 222 mmm 解这个方程组 我们得到两组解 1 1 2 0 2 2 分 12 1 12 mm mm 1 21 12 2m mm 第一组解相当于碰撞之前 而第二组解相当于碰撞之后 B 演员跳到相邻的 mmm M DBC A V0 22222 0ABCD 11111 22222 MMmm vvmvvv 翘板上 在碰撞的瞬间速度是 相继而来的过程和第一次完全相似 因此以 2 后的演员弹起的速度相应地为 5 分 2 32 23 2m mm 3 43 34 2m mm 4 54 45 2m mm 将前面的计算结果代人 可得 E 演员弹起的速度为 1234 5 12233445 16 m m m m mmmmmmmm 3 分 所求的高度 h5可以利用下式计算 11 2gh 55 2gh 于是得到 2 分 2 1234 51 12233445 16 m m m m hh mmmmmmmm 10 解析 小球A B碰撞瞬间 球 A 挤压 B 其作用力方向垂直于 杆 使球 B 获得沿方向的速度 从而在碰撞瞬间使小球 C D 的速度也 0 v B v 沿方向 对质点组 B C D 与 A 组成的系统 碰撞前后动 量守恒 由于小 0 v 球C位于由 B C D 三球组成 的质点组的质心处 所以小球 C的速度也就是质点组的质心 速度 可得 1 4 分 0AC 3MMm vvv 质点组 B C D 与 A 是弹性碰撞 碰撞前后质点组的动能相等 碰撞 后 A B C D 的速度分别为 得 A v B v C v D v 2 4 分 对质点组 B C D 在碰撞瞬间 在 B 处受到 A 球的作用力 若取 B 与 B 球重合的空间固定点 为参考点 则质点组 B C D 在碰撞前后 外力矩等于零 所以质点组角动量守恒 可得 3 4 分 CD 02mlml vv 由杆的刚性条件有 4 4 分 DccB vvvv 由 1 2 3 4 式 可得 5 6 C0 4 56 M Mm vv A0 56 56 Mm Mm vv 7 8 B0 10 56 M Mm vv D0 2 56 M Mm vv 4 分 碰撞后各小球的运动 碰撞后 质点组 B C D 不受外力作用 其质心作匀速运动 即 2 分 C0 4 56 M Mm vv 碰撞后 B D 两小球将绕小球 C 作匀角速度转动 角速度的大小为 2 分 方向为逆时针方向 由 6 式可知 碰 0 6 56 B M lMm C vvv l 后小球 A 的速度的大小和方向与 M m 的大小有关 由于 M m 取值不同而 导致运动情形比较复杂 即可以使 且 A 0v A 0v AC vv 情景的出现 在此不作详细讨论 1 分 AC vv 11 解 如图 人相对盘边沿 P 处的速度为u P 相对盘心的速度 Rvpo 0