【创新设计】（浙江专用）2014届高考数学总复习 第12篇 第1讲 离散型随机变量及其分布列限时训练 理

1 随机变量及其分布列随机变量及其分布列 第第 1 1 讲讲 离散型随机变量及其分布列离散型随机变量及其分布列 分层 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 55 分 一 选择题 每小题 5 分 共 20 分 1 如果X是一个离散型随机变量 那么下列命题中假命题是 A X取每个可能值的概率是非负实数 B X取所有可能值的概率之和为 1 C X取某 2 个可能值的概率等于分别取其中每个值的概率之和 D X在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和 解析 由离散型随机变量的性质 得pi 0 i 1 2 n 且 i 1 n i 1 p 答案 D 2 已知随机变量X的分布列为P X i i 1 2 3 则P X 2 等于 i 2a A B 1 9 1 6 C D 1 3 1 4 解析 1 a 3 P X 2 1 2a 2 2a 3 2a 2 2 3 1 3 答案 C 3 若随机变量X的概率分布列为 Xx1x2 Pp1p2 且p1 p2 则p1等于 1 2 A B 1 2 1 3 C D 1 4 1 6 解析 由p1 p2 1 且p2 2p1可解得p1 1 3 2 答案 B 4 已知随机变量X的分布列为 P X k k 1 2 则P 2 X 4 等于 1 2k A B 3 16 1 4 C D 1 16 5 16 解析 P 2 X 4 P X 3 P X 4 1 23 1 24 3 16 答案 A 二 填空题 每小题 5 分 共 10 分 5 2012 上海虹口 3 月模拟 已知某一随机变量 的概率分布列如下 且E 6 3 则a 4a9 P0 50 1b 解析 由分布列性质知 0 5 0 1 b 1 b 0 4 E 4 0 5 a 0 1 9 0 4 6 3 a 7 答案 7 6 2013 泉州模拟 在一个口袋中装有黑 白两个球 从中随机取一球 记下它的颜色 然后放回 再取一球 又记下它的颜色 写出这两次取出白球数 的分布列为 解析 的所有可能值为 0 1 2 P 0 P 1 C1 2C1 2 C1 4C1 4 1 4 P 2 2C1 2C1 2 C1 4C1 4 1 2 C1 2C1 2 C1 4C1 4 1 4 的分布列为 012 P 1 4 1 2 1 4 答案 012 P 1 4 1 2 1 4 三 解答题 共 25 分 3 7 12 分 在一次购物抽奖活动中 假设某 10 张券中有一等奖券 1 张 可获价值 50 元的 奖品 有二等奖券 3 张 每张可获价值 10 元的奖品 其余 6 张没有奖 某顾客从此 10 张奖券中任抽 2 张 求 1 该顾客中奖的概率 2 该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列 解 1 该顾客中奖 说明是从有奖的 4 张奖券中抽到了 1 张或 2 张 由于是等可能 地抽取 所以该顾客中奖的概率 P C1 4C1 6 C2 4 C 2 10 30 45 2 3 或用间接法 即P 1 C2 6 C 2 10 1 15 45 2 3 2 依题意可知 X的所有可能取值为 0 10 20 50 60 元 且 P X 0 P X 10 C0 4C2 6 C 2 10 1 3 C1 3C1 6 C 2 10 2 5 P X 20 P X 50 C2 3 C 2 10 1 15 C1 1C1 6 C 2 10 2 15 P X 60 C1 1C1 3 C 2 10 1 15 所以X的分布列为 X010205060 P 1 3 2 5 1 15 2 15 1 15 8 13 分 2012 江苏 设 为随机变量 从棱长为 1 的正方体的 12 条棱中任取两条 当两条棱相交时 0 当两条棱平行时 的值为两条棱之间的距离 当两条棱 异面时 1 1 求概率P 0 2 求 的分布列 并求其数学期望E 解 1 若两条棱相交 则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱 所以共有 8C 对相交棱 因此P 0 2 3 8C2 3 C 2 12 8 3 66 4 11 2 若两条棱平行 则它们的距离为 1 或 其中距离为的共有 6 对 故P 222 6 C 2 12 1 11 于是P 1 1 P 0 P 1 2 4 11 1 11 6 11 所以随机变量 的分布列是 012 4 P 4 11 6 11 1 11 因此E 1 6 112 1 11 6 2 11 分层 B 级 创新能力提升 1 2013 长沙二模 若离散型随机变量X的分布列为 X01 P 9c2 c3 8c 则常数c的值为 A 或 B 2 3 1 3 2 3 C D 1 1 3 解析 Error c 1 3 答案 C 2 一袋中有 5 个白球 3 个红球 现从袋中往外取球 每次任取一个记下颜色后放回 直到红球出现 10 次时停止 设停止时共取了X次球 则P X 12 等于 A C 102 B C 92 1012 3 8 5 8 9 12 3 8 5 8 3 8 C C 92 D C 102 9 11 5 8 3 8 9 11 3 8 5 8 解析 X 12 表示第 12 次取到红球 前 11 次有 9 次取到红球 2 次取到白球 因此P X 12 C 92 3 8 9 11 3 8 5 8 C 102 9 11 3 8 5 8 答案 D 3 2013 郑州调研 设随机变量X的概率分布列为 X1234 P 1 3 m 1 4 1 6 则P X 3 1 解析 由 m 1 解得m P X 3 1 P X 2 P X 4 1 3 1 4 1 6 1 4 1 4 1 6 5 12 答案 5 12 5 4 甲 乙两队在一次对抗赛的某一轮中有 3 个抢答题 比赛规定 对于每一个题 没有 抢到题的队伍得 0 分 抢到题并回答正确的得 1 分 抢到题但回答错误的扣 1 分 即 得 1 分 若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分 分数高者胜 则X的所有可能取值 是 解析 X 1 甲抢到一题但答错了 或抢到三题只答对一题 X 0 甲没抢到题 或甲抢到 2 题 但答时一对一错 X 1 时 甲抢到 1 题且答对或甲抢到 3 题 且一 错两对 X 2 时 甲抢到 2 题均答对 X 3 时 甲抢到 3 题均答对 答案 1 0 1 2 3 5 某高中共派出足球 排球 篮球三个球队参加市学校运动会 它们获得冠军的概率分 别为 1 2 1 3 2 3 1 求该高中获得冠军个数X的分布列 2 若球队获得冠军 则给其所在学校加 5 分 否则加 2 分 求该高中得分 的分 布列 解 1 X的可能取值为 0 1 2 3 取相应值的概率分别为 P X 0 1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 9 P X 1 1 2 1 1 3 1 2 3 1 1 2 1 3 1 2 3 1 1 2 1 1 3 2 3 7 18 P X 2 1 2 1 3 1 2 3 1 1 2 1 3 2 3 1 2 1 1 3 2 3 7 18 P X 3 1 2 1 3 2 3 1 9 X的分布列为 X0123 P 1 9 7 18 7 18 1 9 2 得分 5X 2 3 X 6 3X X的可能取值为 0 1 2 3 的可能取值为 6 9 12 15 取相应值的概率分别为 P 6 P X 0 P 9 P X 1 1 9 7 18 P 12 P X 2 P 15 P X 3 7 18 1 9 得分 的分布列为 691215 6 P 1 9 7 18 7 18 1 9 6 某地最近出台一项机动车驾照考试规定 每位考试者一年之内最多有 4 次参加考试 的机会 一旦某次考试通过 便可领取驾照 不再参加以后的考试 否则就一直考 到第 4 次为止 如果李明决定参加驾照考试 设他每次参加考试通过的概率依次为 0 6 0 7 0 8 0 9 求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列 并求李明在一年 内领到驾照的概率 解 X的取值分别为 1 2 3 4 X 1 表明李明第一次参加驾照考试就通过了 故P X 1 0 6 X 2 表明李明在第一次考试未通过 第二次通过了 故P X 2 1 0 6 0 7 0 28 X 3 表明李明在第一 二次考试未通过 第