重庆市大足中学2012-2013学年高二数学下学期第三次月考试题 理 新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年重庆市大足中学高二 下 第三次月考数学试卷学年重庆市大足中学高二 下 第三次月考数学试卷 理科 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 3030 分 分 1 3 分 2012 浙江 已知 i 是虚数单位 则 A 1 2iB 2 iC 2 iD 1 2i 考点 复数代数形式的乘除运算 专题 计算题 分析 由题意 可对复数代数式分子与分母都乘以 1 i 再由进行计算即可得到答案 解答 解 故选 D 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算 解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭 复 数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌握 2 3 分 由 1 2 3 4 6 这 5 个数字 组成无重复数字的三位数中 其中是 2 的倍数 的有 个 A 60B 40C 36D 30 考点 排列 组合及简单计数问题 专题 计算题 分析 先排个位 方法有种 其余的两位任意排有种方法 根据分步计数原理 求得 满足条件的三位数的个数 解答 解 要使这个数是 2 的倍数 必须个位是偶数 故从 2 4 6 中任意选一个排在个 位上 方法有种方法 其余的 2 位没有限制条件 任意排 共有种方法 根据分步计数原理 满足条件的三位数有 36 个 2 故选 C 点评 本题主要考查排列与组合及两个基本原理 排列数公式 组合数公式的应用 属于 中档题 3 3 分 计算 A B 5C D 考点 微积分基本定理 专题 计算题 分析 欲求函数 x2 1 的定积分值 故先利用导数求出 x2 1 的原函数 再结合微积分基本定 理即可求出 解答 解 02 x2 1 dx x3 x 02 23 2 故选 A 点评 本小题主要考查直定积分的简单应用 定积分 利用导数研究原函数等基础知识 考查运算求解能力 属于基础题 4 3 分 下面几种推理过程是演绎推理的是 A 在数列 an 中 由此得出 an 的通项公 式 B 大足中学高一一班有 63 人 二班 65 人 三班 62 人 由此得高一所有班人数都超过 60 人 C 两条直线平行 内错角相等 如果 A 与 B 是两条平行直线的内错角 则 A B D 由平面内正三角形的性质 推知空间正四面体的性质 考点 演绎推理的基本方法 专题 规律型 分析 逐个选项来验证 A 选项和 C 选项都属于归纳推理 D 选项属于类比推理 只有 C 选 项符合题意 解答 解 A 选项 在数列 an 中 由此归 纳出 an 的通项公式 属于归纳推理 3 B 选项 大足中学高一一班有 63 人 二班 65 人 三班 62 人 由此得高一所有班人 数都超过 60 人 也属于归纳推理 C 选项 具有明显的大前提 小前提 结论 属于典型的演绎推理的三段论形式 D 选项 由平面三角形的性质 推测空间四面体性质 属于类比推理 综上 可知 只有 C 选项为演绎推理 故选 C 点评 本题考查演绎推理 掌握几种推理的定义和特点是解决问题的关键 属基础题 5 3 分 已知 x2 n的二项展开式的各项系数和为 32 则二项展开式中 x 的系数为 A 5B 10C 20D 40 考点 二项式定理 专题 计算题 分析 由题意可知 二项展开式的项的系数等于二项式系数 由此求出 n 的值 由通项得 到含 x 的系数项 则答案可求 解答 解 x2 n的二项展开式的各项系数和为 32 即在 x2 n中取 x 1 后所得的值等于 32 所以 2n 32 则 n 5 二项式的展开式的通项为 由 10 3r 1 得 r 3 所以二项展开式中 x 的系数为 故选 B 点评 本题考查了二项式定理 考查了二项展开式的项的系数和二项式系数 考查了学生 生的计算能力 是基础题 6 3 分 用数学归纳法证明命题时 某命题左式为 则 n k 1 与 n k 时相比 左边应添加的项为 A B C D 4 考点 数学归纳法 专题 规律型 分析 n k 时 最后一项为 n k 1 时 最后一项为 由此可得由 n k 变到 n k 1 时 左边增加的项即可 解答 解 由题意 n k 时 最后一项为 n k 1 时 最后一项为 由 n k 变到 n k 1 时 左边增加了 故选 B 点评 本题考查数学归纳法 考查学生分析解决问题的能力 找出规律是解题的关键 属 于基础题 7 3 分 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为 b c 则方程 x2 bx c 0 有实 根的概率为 A B C D 考点 等可能事件的概率 专题 计算题 分析 先根据题中的条件可判断属于等可能事件的概率模型 然后分别求解试验产生的所 有结果 n 基本事件的结果数 m 代入古典概率模型的计算公式 P A 进行计 算 解答 解 将一枚骰子抛掷两次 若先后出现的点数分别为 b c 共有 36 种结果 记 方程 x2 bx c 0 有实根 为事件 A 则 b2 4c 0 A 包含的结果有 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 3 2 4 2 5 2 6 2 4 3 5 3 6 3 4 4 5 4 6 4 5 5 6 5 5 6 6 6 共 19 种结果 由的可能事件概率的计算公式可得 P A 故选 D 点评 本题主要考查了等可能事件概率的求解和一元二次方程有解的充要条件 本题解题 的关键是列举出使得方程有解的可能的情况 本题是一个基础题 8 3 分 方程 x3 6x2 9x 4 0 的实根的个数为 5 A 0B 1C 2D 3 考点 根的存在性及根的个数判断 专题 计算题 分析 由方程 x3 6x2 9x 4 0 的实根的个数 等于函数 f x x3 6x2 9x 4 零点的个 数 我们利用导数法求了函数 f x x3 6x2 9x 4 的极值 分析后即可得到结 论 解答 解 令 f x x3 6x2 9x 4 则 f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 由 f x 0 得 x 3 或 x 1 由 f x 0 得 1 x 3 f x 的单调增区间为 3 1 单调减区间为 1 3 f x 在 x 1 处取极大值 在 x 3 处取极小值 又 f 1 0 f 3 4 0 函数 f x 的图象与 x 轴有两个交点 即方程 x3 6x2 9x 4 0 有两个实根 故选 C 点评 本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断 根据方程根的个数与对应函数的 零点个数相等 我们将问题转化为求函数 f x x3 6x2 9x 4 零点的个数 是解 答本题的关键 9 3 分 2012 自贡一模 下列图象中 有一个是函数 f x x3 ax2 a2 1 x 1 a R a 0 的导数 f x 的图象 则 f 1 的值为 A B C D 或 考点 二次函数的图象 专题 数形结合 分析 求出导函数 据导函数的二次项系数为正得到图象开口向上 利用函数解析式中有 2ax 故函数不是偶函数 得到函数的图象 解答 解 f x x2 2ax a2 1 导函数 f x 的图象开口向上 又 a 0 f x 不是偶函数 其图象不关于 y 轴对称 6 其图象必为第三张图 由图象特征知 f 0 0 且对称轴 a 0 a 1 故 f 1 1 1 故选 B 点评 本题考查导函数的运算法则 二次函数的图象与二次函数系数的关系 开口方向与 二次项系数的符号有关 对称轴公式 10 3 分 2006 江西 将 7 个人 含甲 乙 分成三个组 一组 3 人 另两组 2 人 不 同的分组数为 a 甲 乙分到同一组的概率为 p 则 a p 的值分别为 A a 105 p B a 105 p C a 210 p D a 210 p 考点 等可能事件 分析 本题是一道平均分组问题 将 7 个人 含甲 乙 分成三个组 一组 3 人 另两组 2 人 有两个组都是两个人 而这两个组又没有区别 所以分组数容易重复 甲 乙 分到同一组的概率要分类计算 解答 解 a 105 甲 乙分在同一组的方法种数有 1 若甲 乙分在 3 人组 有 15 种 2 若甲 乙分在 2 人组 有 C53 10 种 故共有 25 种 所以 P 故选 A 点评 平均分组问题是概率中最困难的问题 解题时往往会忽略有些情况是相同的 若 4 人分成两组 则有种分法 二 填空题 共二 填空题 共 5 5 小题 每小题小题 每小题 3 3 分 满分分 满分 1515 分 分 11 3 分 2007 湖北 已知函数 y f x 的图象在 M 1 f 1 处的切线方程是 2 f 1 f 1 3 考点 导数的运算 分析 先将 x 1 代入切线方程可求出 f 1 再由切点处的导数为切线斜率可求出 f 1 的值 最后相加即可 7 解答 解 由已知切点在切线上 所以 f 1 切点处的导数为切线斜率 所以 所以 f 1 f 1 3 故答案为 3 点评 本题主要考查导数的几何意义 即函数在某点的导数值等于以该点为切点的切线的 斜率 12 3 分 某班从 6 名班干部 其中男生 4 人 女生 2 人 中选 3 人参加学校学生会的干 部竞选 在男生甲被选中的情况下 则女生乙也被选中的概率是 考点 古典概型及其概率计算公式 专题 概率与统计 分析 求得所有的选法有 种 在男生甲被选中的情况下 则女生乙也被选中的选法有 种 由此求得在男生甲被选中的情况下 则女生乙也被选中的概率 解答 解 所有的选法有 20 种 在男生甲被选中的情况下 则女生乙也被选中的选法 有 4 种 故在男生甲被选中的情况下 则女生乙也被选中的概率等于 故答案为 点评 本题考查古典概型及其概率计算公式的应用 属于基础题 13 3 分 用火柴棒按图的方法搭三角形 按图示的规律搭下去 则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 an 2n 1 考点 归纳推理 专题 探究型 分析 由题设条件可得出三角形的个数增加一个 则火柴棒个数增加 2 个 所以所用火柴 8 棒数 an 是一个首项为 3 公差为 2 的等差数列 由此易得火柴棒数 an 与所搭三角 形的个数 n 之间的关系式 解答 解 由题意 三角形的个数增加一个 则火柴棒个数增加 2 个 所以所用火柴棒数 an 与是一个首项为 3 公差为 2 的等差数列 所以火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 an 3 2 n 1 2n 1 故答案为 an 2n 1 点评 本题考点是归纳推理 由图形观察出规律是解题的重点 本题查了归纳推理的能力 及根据图形判断的能力 14 3 分 设函数 f x g x x2 曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 则曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 4 考点 利用导数研究曲线上某点切线方程 导数的加法与减法法则 专题 计算题 分析 先根据曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 可得 g 1 2 再利用函数 f x g x x2 可知 f x g x 2x 从而可求曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率 解答 解 由题意 曲线 y g x 在点 1 g 1 处的切线方程为 y 2x 1 g 1 2 函数 f x g x x2 f x g x 2x f 1 g 1 2 f 1 2 2 4 曲线 y f x 在点 1 f 1 处切线的斜率为 4 故答案为 4 点评 本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率 解题的关键是利用导数的几何意义 15 3 分 2012 浙江 若将函数 f x x5表示为 f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 其中 a0 a1 a2 a5为实数 则 a3 10 考点 二项式定理的应用 专题 计算题 分析 将 x5转化 x 1 1 5 然后利用二项式定理进行展开 使之与 f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5进行比较 可得所求 解答 解 f x x5 x 1 1 5 x 1 5 x 1 4 1 x 1 3 1 2 x 1 2 1 3 x 1 1 1 4 1 5而 f x a0 a1 1 x a2 1 x 2 a5 1 x 5 9 a3 1 2 10 故答案为 10 点评 本题主要考查了二项式定理的应用 解题的关键利用 x5 x 1 1 5展开 同时 考查了计算能力 属于基础题 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 满分小题 满分 7575 分 分 16 13 分 2012 重庆 已知函数 f x ax3 bx c 在点 x 2 处取得极值 c 16 求 a b 的值 若 f x 有极大值 28 求 f x 在 3 3 上的最小值 考点 利用导数求闭区间上函数的最值 函数在某点取得极值的条件 专题 综合题 探究型 方程思想 转化思想 分析 由题设 f x ax3 bx c 可得 f x 3ax2 b 又函数在点 x 2 处取得极 值 c 16 可得解此方程组即可得出 a b 的值 II 结合 I 判断出 f x 有极大值 利用 f x 有极大值 28 建立方程求出参 数 c 的值 进而可求出函数 f x 在 3 3 上的极小值与两个端点的函数值 比 较这此值得出 f x 在 3 3 上的最小值即可 解答 解 由题 f x ax3 bx c 可得 f x 3ax2 b 又函数在点 x 2 处取得 极值 c 16 即 化简得 解得 a 1 b 12 II 由 I 知 f x x3 12x c f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令 f x 3x2 12 3 x 2 x 2 0 解得 x1 2 x2 2 当 x 2 时 f x 0 故 f x 在 2 上为增函数 当 x 2 2 时 f x 0 故 f x 在 2 2 上为减函数 当 x 2 时 f x 0 故 f x 在 2 上为增函数 由此可知 f x 在 x1 2 处取得极大值 f 2 16 c f x 在 x2 2 处取得极小 值 f 2 c 16 由题设条件知 16 c 28 得 c 12 此时 f 3 9 c 21 f 3 9 c 3 f 2 16 c 4 因此 f x 在 3 3 上的最小值 f 2 4 点评 本题考查利用导数求闭区间上函数的最值及利用导数求函数的极值 解第一小题的 关键是理解 函数在点 x 2 处取得极值 c 16 将其转化为 x 2 处的导数为 0 与函 数值为 c 16 两个等量关系 第二小时解题的关键是根据极大值为 28 建立方程求出 参数 c 的值 本题考查了转化的思想及方程的思想 计算量大 有一定难度 易因 为不能正确转化导致无法下手求解及计算错误导致解题失败 做题时要严谨认真 严防出现在失误 此类题是高考的常考题 平时学习时要足够重视 10 17 13 分 在长为 12cm 的线段 AB 上任取一点 C 现作一矩形 邻边长分别等于线段 AC CB 的长 求该矩形面积小于 32cm2的概率 考点 几何概型 专题 概率与统计 分析 设 AC x 则 0 x 12 若矩形面积为小于 32 则 x 8 或 x 4 从而利用几何概型 概率计算公式 所求概率为长度之比 解答 解 设 AC x 0 x 12 则 BC 12 x 矩形的面积 S x 12 x x2 12x 32 解得 0 x 4 或 12 x 8 故由几何概型可得所求事件的概率为 P 13 分 点评 本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法 将此概率转化为长度之比是解 决本题的关键 属基础题 18 13 分 计算 1 设 a b R i 为虚数单位 求 a b 的值 2 若从 1 2 3 9 这 9 个整数中同时取 4 个不同的数 其和为偶数 则不同的取 法共有 m 种 求 m 的值 考点 复数代数形式的乘除运算 计数原理的应用 专题 计算题 分析 1 由题意可对复数代数式分子与分母都乘以 1 2i 再进行化简计算 再 由复数相等的条件求出 a 和 b 的值 即可得答案 2 根据题意需要分三类计算 4 个偶数 2 个奇数 2 个偶数 4 个奇数 再由组合公式求解即可 解答 解 1 a bi a 5 b 3 a b 8 2 根据题意偶数为 2 4 6 8 奇数为 1 3 5 7 9 需要分三类计算 4 个偶数 2 个奇数 2 个偶数 4 个奇数 则符合题意的取法共有 m CC CC CC 1 60 5 66 种 点评 本题考查复数代数形式的乘除运算和组合公式 解题的关键是分子分母都乘以分母 的共轭复数和明确进行分类 复数的四则运算是复数考查的重要内容 要熟练掌 握 11 19 12 分 2012 浙江 已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球 且规定 取出一个白球得 2 分 取出一个黑球得 1 分 现从该箱中任取 无放回 且每球取到的机会均等 3 个球 记随机变量 X 为取出此 3 球所得分数之和 1 求 X 的分布列 2 求 X 的数学期望 E X 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 专题 计算题 分析 1 X 的可能取值有 3 4 5 6 求出相应的概率可得所求 X 的分布列 2 利用 X 的数学期望公式 即可得到结论 解答 解 1 X 的可能取值有 3 4 5 6 P X 3 P X 4 P X 5 P X 6 故所求 X 的分布列为 X3456 P 2 所求 X 的数学期望 E X 3 4 5 6 点评 本题主要考查随机事件的概率和随机变量的分布列 数学期望等概念 同时考查抽 象概括 运算能力 属于中档题 20 12 分 今有标号为 1 2 3 4 5 的五封信 另有同样标号的五个信封 现将五封 信任意地装入五个信封 每个信封装入一封信 试求至少有两封信配对的概率 考点 互斥事件的概率加法公式 等可能事件的概率 专题 计算题 分析 至少有两封信配对包括恰有两封信配对 恰有三封信配对 恰有五封信配对三种情 况 而这三种情况对应事件为互斥事件 故分别求概率再取和即可 而每种情况对 应的概率可由古典概型求解 解答 解 设恰有两封信配对为事件 A 恰有三封信配对为事件 B 恰有四封信 也即五封信配对 为事件 C 则 至少有两封信配对 事件等于 A B C 且 A B C 两两互斥 12 P A P B P C 所求概率 P A P B P C 答 至少有两封信配对的概率是 点评 本题考查古典概型 互斥事件的概率加法 排列 组合等知识 考查分析问题 解 决问题的能力 21 12 分 已知函数 f x ax3 bx2 cx a 0 x R 为奇函数 且 f x 在 x 1 处取 得极大值 2 1 求函数 y f x 的解析式 2 记 求函数 y g x 的单调区间 3 在 2 的条件下