第二章圆锥曲线与方程1

1 第二章第二章第二章第二章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2 1 曲线与方程曲线与方程 2 1 1 曲线与方程曲线与方程 2 1 2 求曲线的轨迹方程求曲线的轨迹方程 一 教学目标一 教学目标 一 知识教学点 使学生掌握常用动点的轨迹以及求动点轨迹方程的常用技巧与方法 二 能力训练点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的归纳和介绍 培养学生综合运用各方面知识的能力 三 学科渗透点 通过对求轨迹方程的常用技巧与方法的介绍 使学生掌握常用动点的轨迹 为学习物理等学科打下扎实的 基础 二 教材分析二 教材分析 1 重点 求动点的轨迹方程的常用技巧与方法 解决办法 对每种方法用例题加以说明 使学生掌握这种方法 2 难点 作相关点法求动点的轨迹方 法 解决办法 先使学生了解相关点法的思路 再用例题进行讲解 教学设想 教学设想 激发学生的学习热情 激发学生的求知欲 培养严谨的学习态度 培养积极进取的精神 三 教学过程三 教学过程 学生探究过程 一 复习引入 大家知道 平面解析几何研究的主要问题是 1 根据已知条件 求出表示平面曲线的方程 2 通过方程 研究平面曲线的性质 我们已经对常见曲线圆 椭圆 双曲线以及抛物线进行过这两个方面的研究 今天在上面已经研究的基础 上来对根据已知条件求曲线的轨迹方程的常见技巧与方法进行系统分析 二 几种常见求轨迹方程的方法 补充内容 补充内容 1 直接法 由题设所给 或通过分析图形的几何性质而得出 的动点所满足的几何条件列出等式 再用坐标代替这等式 化简得曲线的方程 这种方法叫直接法 例 1 1 求和定圆 x2 y2 k2 的圆周的距离等于 k 的动点 P 的轨迹方程 2 过点 A a o 作圆 O x2 y2 R2 a R o 的割线 求割线被圆 O 截得弦的中点的轨迹 对 1 分析 动点 P 的轨迹是不知道的 不能考查其几何特征 但是给出了动点 P 的运动规律 OP 2R 或 OP 0 解 设动点 P x y 则有 OP 2R 或 OP 0 即 x2 y2 4R2或 x2 y2 0 故所求动点 P 的轨迹方程为 x2 y2 4R2或 x2 y2 0 对 2 分析 题设中没有具体给出动点所满足的几何条件 但可以通过分析图形的几何性质而得出 即圆 心与弦的中点连线垂直于弦 它们的斜率互为负倒数 由学生演板完成 解答为 设弦的中点为 M x y 连结 OM 则 OM AM kOM kAM 1 其轨迹是以 OA 为直径的圆在圆 O 内的一段弧 不含端点 2 2 定义法 利用所学过的圆的定义 椭圆的定义 双曲线的定义 抛物线的定义直接写出所求的动点的轨迹方程 这 种方法叫做定义法 这种方法要求题设中有定点与定直线及两定点距离之和或差为定值的条件 或利用平 面几何知识分析得出这些条件 直平分线 l 交半径 OQ 于点 P 见图 2 45 当 Q 点在圆周上运动时 求点 P 的轨迹方程 分析 点 P 在 AQ 的垂直平分线上 PQ PA 又 P 在半径 OQ 上 PO PQ R 即 PO PA R 故 P 点到两定点距离之和是定值 可用椭圆定义 写出 P 点的轨迹方程 解 连接 PA l PQ PA PQ 又 P 在半径 OQ 上 PO PQ 2 由椭圆定义可知 P 点轨迹是以 O A 为焦点的椭圆 3 相关点法 若动点 P x y 随已知曲线上的点 Q x0 y0 的变动而变动 且 x0 y0 可用 x y 表示 则将 Q 点坐标表 达式代入已知曲线方程 即得点 P 的轨迹方程 这种方法称为相关点法 或代换法 例 3 已知抛物线 y2 x 1 定点 A 3 1 B 为抛物线上任意一点 点 P 在线段 AB 上 且有 BP PA 1 2 当 B 点在抛物线上变动时 求点 P 的轨迹方程 分析 P 点运动的原因是 B 点在抛物线上运动 因此 B 可作为相关点 应先找出点 P 与点 B 的联系 解 设点 P x y 且设点 B x0 y0 BP PA 1 2 且 P 为线段 AB 的内分点 3 4 待定系数法 求圆 椭圆 双曲线以及抛物线的方程常用待定系数法求 例 4 已知抛物线 y2 4x 和以坐标轴为对称轴 实轴在 y 轴上的双曲 曲线方程 分析 因为双曲线以坐标轴为对称轴 实轴在 y 轴上 所以可设双曲线方 ax2 4b2x a2b2 0 抛物线和双曲线仅有两个公共点 根据它们的对称性 这两个点的横坐标应相等 因此方程 ax2 4b2x a2b2 0 应有等根 1664 4Q4b2 0 即 a2 2b 以下由学生完成 由弦长公式得 即 a2b2 4b2 a2 三 巩固练习 用十多分钟时间作一个小测验 检查一下教学效果 练习题用一小黑板给出 1 ABC 一边的两个端点是 B 0 6 和 C 0 6 另两边斜率的 2 点 P 与一定点 F 2 0 的距离和它到一定直线 x 8 的距离的比是 1 2 求点 P 的轨迹方程 并说明轨 迹是什么图形 3 求抛物线 y2 2px p 0 上各点与焦点连线的中点的轨迹方程 答案 义法 由中点坐标公式得 4 四 教学反思 求曲线的轨迹方程一般地有直接法 定义法 相关点法 待定系数法 还有参数法 复数法也是求曲线的 轨迹方程的常见方法 这等到讲了参数方程 复数以后再作介绍 五 布置作业五 布置作业 1 两定点的距离为 6 点 M 到这两个定点的距离的平方和为 26 求点 M 的轨迹方程 2 动点 P 到点 F1 1 0 的距离比它到 F2 3 0 的距离少 2 求 P 点的轨迹 3 已知圆 x2 y2 4 上有定点 A 2 0 过定点 A 作弦 AB 并延长到点 P 使 3 AB 2 AB 求动点 P 的 轨迹方程 作业答案 1 以两定点 A B 所在直线为 x 轴 线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系 得点 M 的轨迹方程 x2 y2 4 2 PF2 PF 2 且 F1F2 P 点只能在 x 轴上且 x 1 轨迹是一条射线 5 2 22 2 椭椭 圆圆 2 2 12 2 1 椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程 知识与技能目标知识与技能目标 理解椭圆的概念 掌握椭圆的定义 会用椭圆的定义解决实际问题 理解椭圆标准方程的推导过程及 化简无理方程的常用的方法 了解求椭圆的动点的伴随点的轨迹方程的一般方法 过程与方法目标过程与方法目标 1 预习与引入过程 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时 观察平面截圆锥的截口曲线 截面与圆锥侧面的交线 是 什么图形 又是怎么样变化的 特别是当截面不与圆锥的轴线或圆锥的母线平行时 截口曲线是椭圆 再 观察或操作了课件后 提出两个问题 第一 你能理解为什么把圆 椭圆 双曲线和抛物线叫做圆锥曲线 第二 你能举出现实生活中圆锥曲线的例子 当学生把上述两个问题回答清楚后 要引导学生一起探究 P41页上的问题 同桌的两位同学准备无弹性的细绳子一条 约 10cm 长 两端各结一个套 教师准备无 弹性细绳子一条 约 60cm 一端结个套 另一端是活动的 图钉两个 当套上铅笔 拉紧绳子 移动 笔尖 画出的图形是椭圆 启发性提问 在这一过程中 你能说出移动的笔小 动点 满足的几何条件是 什么 板书 2 1 1 椭圆及其标准方程 2 新课讲授过程 i 由上述探究过程容易得到椭圆的定义 板书 把平面内与两个定点 1 F 2 F的距离之和等于常数 大于 12 F F 的点的轨迹叫做椭圆 ellipse 其中这两个定点叫做椭圆的焦点 两定点间的距离叫做椭圆的焦距 即当动点设为M时 椭圆即为点集P 12 2MMFMFa ii 椭圆标准方程的推导过程 提问 已知图形 建立直角坐标系的一般性要求是什么 第一 充分利用图形的对称性 第二 注意 图形的特殊性和一般性关系 无理方程的化简过程是教学的难点 注意无理方程的两次移项 平方整理 设参量b的意义 第一 便于写出椭圆的标准方程 第二 a b c的关系有明显的几何意义 类比 写出焦点在y轴上 中心在原点的椭圆的标准方程 22 22 10 yx ab ab iii 例题讲解与引申 例 1 已知椭圆两个焦点的坐标分别是 2 0 2 0 并且经过点 53 22 求它的标准方 程 分析分析 由椭圆的标准方程的定义及给出的条件 容易求出 a b c 引导学生用其他方法来解 另解 设椭圆的标准方程为 22 22 10 xy ab ab 因点 53 22 在椭圆上 6 则 22 22 259 110 44 6 4 a ab b ab 例 2 如图 在圆 22 4xy 上任取一点P 过点P作x轴的垂线段PD D为垂 足 当点P在圆上运动时 线段PD的中点M的轨迹是什么 分析分析 点P在圆 22 4xy 上运动 由点P移动引起点M的运动 则称点M是点 P的伴随点 因点M为线段PD的中点 则点M的坐标可由点P来表示 从而能求点M的轨迹方 程 引申引申 设定点 6 2A P是椭圆 22 1 259 xy 上动点 求线段AP中点M的轨迹方程 解法剖析解法剖析 代入法求伴随轨迹 设 M x y 11 P x y 点与伴随点的关系 M为线段AP的中点 1 1 26 22 xx yy 代入已知轨迹求出伴随轨迹 22 11 1 259 xy 点 M的轨迹方程为 22 31 1 2594 xy 伴随轨迹表示的范围 例 3 如图 设A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的 斜率之积为 4 9 求点M的轨迹方程 分析分析 若设点 M x y 则直线AM BM的斜率就可以用含 x y的式子表示 由于直线AM BM的斜率之积是 4 9 因此 可以求出 x y之间的关系式 即得到 点M的轨迹方程 解法剖析解法剖析 设点 M x y 则 5 5 AM y kx x 5 5 BM y kx x 代入点M的集合有 4 559 yy xx 化简即可得点M的轨迹方程 引申引申 如图 设 ABC的两个顶点 0Aa 0B a 顶点C在移动 且 ACBC kkk 且0k 试求动点C的轨迹方程 引申目的有两点 让学生明白题目涉及问题的一般情形 当k值在变化时 线段 AB的角色也是从椭圆的长轴 圆的直径 椭圆的短轴 情感 态度与价值观目标情感 态度与价值观目标 通过作图展示与操作 必须让学生认同 圆 椭圆 双曲线和抛物线都是圆锥曲线 是因 它们都是平面与圆锥曲面相截而得其名 必须让学生认同与体会 椭圆的定义及特殊情形当常数等于两定 点间距离时 轨迹是线段 必须让学生认同与理解 已知几何图形建立直角坐标系的两个原则 及引入参 7 量 22 bac 的意义 培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美 让学生认同与领悟 例 1 使用定义解题是首选的 但也可以用其他方法来解 培养学生从定义的角度思考问题的好习惯 例 2 是典 型的用代入法求动点的伴随点的轨迹 培养学生的辩证思维方法 会用分析 联系的观点解决问题 通过 例 3 培养学生的对问题引申 分段讨论的思维品质 能力目标能力目标 1 想象与归纳能力想象与归纳能力 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是椭圆 双曲线和抛物线的实 际例子 能用数学符号或自然语言的描述椭圆的定义 能正确且直观地绘作图形 反过来 根据图形能用数学术语和数学符号表示 2 思维能力思维能力 会把几何问题化归成代数问题来分析 反过来会把代数问题转化为几何问题来 思考 培养学生的数形结合的思想方法 培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究 培养学生的辩证思维能力 3 实践能力实践能力 培养学生实际动手能力 综合利用已有的知识能力 4 数学活动能力数学活动能力 培养学生观察 实验 探究 验证与交流等数学活动能力 5 创新意识能力创新意识能力 培养学生思考问题 并能探究发现一些问题的能力 探究解决问题的一般 的思想 方法和途径 练习练习 第 45 页 1 2 3 4 作业作业 第 53 页 2 3 2 2 1 1 2 2 椭圆的简单几何性质椭圆的简单几何性质 知识与技能目标知识与技能目标 了解用方程的方法研究图形的对称性 理解椭圆的范围 对称性及对称轴 对称中心 离心率 顶点 的概念 掌握椭圆的标准方程 会用椭圆的定义解决实际问题 通过例题了解椭圆的第二定义 准线及焦 半径的概念 利用信息技术初步了解椭圆的第二定义 过程与方法目标过程与方法目标 1 复习与引入过程 引导学生复习由函数的解析式研究函数的性质或其图像的特点 在本节中不仅要注意通过对椭圆的 标准方程的讨论 研究椭圆的几何性质的理解和应用 而且还注意对这种研究方法的培养 由椭圆的标 准方程和非负实数的概念能得到椭圆的范围 由方程的性质得到椭圆的对称性 先定义圆锥曲线顶点 的概念 容易得出椭圆的顶点的坐标及长轴 短轴的概念 通过 P48的思考问题 探究椭圆的扁平程度 量椭圆的离心率 板书 2 1 2 椭圆的简单几何性质 2 新课讲授过程 i 通过复习和预习 知道对椭圆的标准方程的讨论来研究椭圆的几何性质 提问 研究曲线的几何特征有什么意义 从哪些方面来研究 通过对曲线的范围 对称性及特殊点的讨论 可以从整体上把握曲线的形状 大小和位置 要从范 围 对称性 顶点及其他特征性质来研究曲线的几何性质 ii 椭圆的简单几何性质 范围 由椭圆的标准方程可得 22 22 10 yx ba 进一步得 axa 同理可得 8 byb 即椭圆位于直线xa 和yb 所围成的矩形框图里 对称性 由以x 代x 以y 代y和x 代x 且以y 代y这三个方面来研究椭圆的标准方 程发生变化没有 从而得到椭圆是以x轴和y轴为对称轴 原点为对称中心 顶点 先给出圆锥曲线的顶点的统一定义 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线 的顶点 因此椭圆有四个顶点 由于椭圆的对称轴有长短之分 较长的对称轴叫做长轴 较短的叫做短轴 离心率 椭圆的焦距与长轴长的比 a c e 叫做椭圆的离心率 10 e 椭圆图形越扁 时当01a b ce 椭圆越接近于圆 时当a b ce00 iii 例题讲解与引申 扩展 例 4 求椭圆 22 1625400 xy 的长轴和短轴的长 离心率 焦点和顶点的坐标 分析分析 由椭圆的方程化为标准方程 容易求出 a b c 引导学生用椭圆的长轴 短轴 离 心率 焦点和顶点的定义即可求相关量 扩展扩展 已知椭圆 22 550mxym m 的离心率为 10 5 e 求m的值 解法剖析解法剖析 依题意 0 5mm 但椭圆的焦点位置没有确定 应分类讨论 当焦 点在x轴上 即05m 时 有5 5abm cm 52 55 m 得3m 当焦点在y轴上 即5m 时 有 5 5am bcm 51025 53 m m m 例 5 如图 一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面的一部分 过对对称的截口BAC是椭圆的一 部分 灯丝位于椭圆的一个焦点 1 F上 片门位于另一个焦点 2 F上 由椭圆一个焦点 1 F发出的光线 经 过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点 2 F 已知 12 BCF F 1 2 8F Bcm 12 4 5F Fcm 建立适当的坐标系 求截口BAC所在椭圆的方程 解法剖析解法剖析 建立适当的直角坐标系 设椭圆的标准方程为 22 22 1 xy ab 算出 a b c的值 此题应 注意两点 注意建立直角坐标系的两个原则 关于 a b c的近似值 原则上在没有注意精确度时 看题中其他量给定的有效数字来决定 引申引申 如图所示 神舟 截人飞船发射升空 进入预定轨道开始 9 巡天飞行 其轨道是以地球的中心 2 F为一个焦点的椭圆 近地点A距地面200km 远地点B距地面 350km 已知地球的半径6371Rkm 建立适当的直角坐标系 求出椭圆的轨迹方程 例 6 如图 设 M x y与定点 4 0F的距离和它到直线l 25 4 x 的距离的比是常数 4 5 求点 M的轨迹方程 分析分析 若设点 M x y 则 2 2 4MFxy 到直线 l 25 4 x 的距离 25 4 dx 则容易得点M的轨迹方程 引申引申 用 几何画板 探究 若点 M x y与定点 0F c的 距离和它到定直线l 2 a x c 的距离比是常数 c e a 0ac 则点M的轨迹方程是椭圆 其中定点 0F c是焦点 定直线l 2 a x c 相应于F的准线 由椭圆 的对称性 另一焦点 0Fc 相应于 F 的准线 l 2 a x c 情感 态度与价值观目标情感 态度与价值观目标 在合作 互动的教学氛围中 通过师生之间 学生之间的交流 合作 互动实现共同探究 教学相长 的教学活动情境 结合教学内容 培养学生科学探索精神 审美观和科学世界观 激励学生创新 必须让 学生认同和掌握 椭圆的简单几何性质 能由椭圆的标准方程能直接得到椭圆的范围 对称性 顶点和离 心率 必须让学生认同与理解 已知几何图形建立直角坐标系的两个原则 充分利用图形对称性 注 意图形的特殊性和一般性 必须让学生认同与熟悉 取近似值的两个原则 实际问题可以近似计算 也 可以不近似计算 要求近似计算的一定要按要求进行计算 并按精确度要求进行 没有作说明的按给定 的有关量的有效数字处理 让学生参与并掌握利用信息技术探究点的轨迹问题 培养学生学习数学的兴趣 和掌握利用先进教学辅助手段的技能 能力目标能力目标 1 分析与解决问题的能力分析与解决问题的能力 通过学生的积极参与和积极探究 培养学生的分析问题和解决问 题的能力 2 思维能力思维能力 会把几何问题化归成代数问题来分析 反过来会把代数问题转化为几何问题来 思考 培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究 培养学生的辩证思维能力 3 实践能力实践能力 培养学生实际动手能力 综合利用已有的知识能力 4 创新意识能力创新意识能力 培养学生思考问题 并能探究发现一些问题的能力 探究解决问题的一般 的思想 方法和途径 练习练习 第 52 页 1 2 3 4 5 6 7 作业 作业 第 53 页 4 5 10 补充 补充 1 1 课题课题 双曲线第二定义双曲线第二定义 学法指导 学法指导 以问题为诱导 结合图形 引导学生进行必要的联想 类比 化归 转化 教学目标教学目标 知识目标 椭圆第二定义 准线方程 能力目标 1 使学生了解椭圆第二定义给出的背景 2 了解离心率的几何意义 3 使学生理解椭圆第二定义 椭圆的准线定义 4 使学生掌握椭圆的准线方程以及准线方程的应用 5 使学生掌握椭圆第二定义的简单应用 情感与态度目标 通过问题的引入和变式 激发学生学习的兴趣 应用运动变化的观点看待问题 体现数 学的美学价值 教学重点 教学重点 椭圆第二定义 焦半径公式 准线方程 教学难点 教学难点 椭圆的第二定义的运用 教具准备 教具准备 与教材内容相关的资料 教学设想 教学设想 激发学生的学习热情 激发学生的求知欲 培养严谨的学习态度 培养积极进取的精神 教学过程 教学过程 学生探究过程 复习回顾 1 椭圆819 22 yx的长轴长为 18 短轴长为 6 半焦距为26 离心率为 3 22 焦点坐标 为 26 0 顶点坐标为 9 0 0 3 准线方程为 4 227 y 2 短轴长为 8 离心率为 5 3 的椭圆两焦点分别为 1 F 2 F 过点 1 F作直线l交椭圆于 A B 两点 则 2 ABF 的周长为 20 引入课题 习题 4 教材 P50 例 6 椭圆的方程为1 1625 22 yx M1 M2为椭圆上的点 求点 M1 4 2 4 到焦点 F 3 0 的距离 2 6 若点 M2为 4 y0 不求出点 M2的纵坐标 你能求出这点到焦点 F 3 0 的距离吗 解 2 0 2 34 yMF 且1 1625 4 2 0 2 y 代入消去 2 0 y得 5 13 25 169 MF 推广 你能否将椭圆1 2 2 2 2 b y a x 上任一点 yxM到焦点 0 0 ccF的距离表示成点 M 横 坐标x的函数吗 11 解 1 2 2 2 2 22 b y a x ycxMF 代入消去 2 y 得 22 2 2 222 2 ax a c x a b bccxxMF 22 c a xe c a x a c ax a c 问题问题 1 1 你能将所得函数关系叙述成命题吗 用文字语言表述 椭圆上的点 M 到右焦点 0 cF的距离与它到定直线 c a x 2 的距离的比等于离心率 a c 问题问题 2 2 你能写出所得命题的逆命题吗 并判断真假 逆命题中不能出现焦点与离心率 动点M到定点 0 cF的距离与它到定直线 c a x 2 的距离的比等于常数 ca a c 的点的轨迹是椭 圆 引出课题 椭圆的第二定义 当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数 10 e a c e时 这个点的轨 迹是椭圆 定点是椭圆的焦点 定直线叫做椭圆的准线 常数e是椭圆的离心率 对于椭圆1 2 2 2 2 b y a x 相应于焦点 0 cF的准线方程是 c a x 2 根据对称性 相应于焦点 0 cF 的准线方程是 c a x 2 对于椭圆1 2 2 2 2 b x a y 的准线方程是 c a y 2 可见椭圆的离心率就是椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线距离的比 这就是离心率的几何意义 由椭圆的第二定义e d MF 可得 右焦半径公式为exa c a xeedMF 2 右 左焦半径公式为exa c a xeedMF 2 右 典型例题 例 1 求椭圆1 1625 22 yx 的右焦点和右准线 左焦点和左准线 解 由题意可知右焦点 0 cF右准线 c a x 2 左焦点 0 cF 和左准线 c a x 2 变式 求椭圆819 22 yx方程的准线方程 解 椭圆可化为标准方程为 1 981 22 xy 故其准线方程为 4 227 2 c a y 12 小结 求椭圆的准线方程一定要化成标准形式 然后利用准线公式即可求出 例 2 椭圆1 1625 22 yx 上的点M到左准线的距离是5 2 求M到左焦点的距离为 变式 求M到右焦点的距离为 解 记椭圆的左右焦点分别为 21 F F到左右准线的距离分别为 21 d d由椭圆的第二定义可知 e d MF 5 3 1 1 a c e d MF 5 15 2 5 3 11 edMF5 1 1 MF 又由椭的第一定义可知 5 8 102 221 MFaMFMF 另解 点 M 到左准线的距离是 2 5 所以点 M 到右准线的距离为 6 85 2 5 3 50 5 22 2 c a 5 8 6 85 5 3 22 2 2 edMFe d MF 小结 椭圆第二定义的应用和第一定义的应用 例 1 点 P 与定点 A 2 0 的距离和它到定直线8 x的距离的比是 1 2 求点 P 的轨迹 解法一 设 yxP为所求轨迹上的任一点 则 2 1 8 2 22 x yx 由化简得1 1216 22 yx 故所 的轨迹是椭圆 解法二 因为定点 A 2 0 所以2 c 定直线8 x所以8 2 c a x解得4 a 又因为 2 1 a c e故所求的轨迹方程为1 1216 22 yx 变式 点 P 与定点 A 2 0 的距离和它到定直线5 x的距离的比是 1 2 求点 P 的轨迹 分析 这道题目与刚才的哪道题目可以说是同一种类型的题目 那么能否用上面的两种方法来解呢 解法一 设 yxP为所求轨迹上的任一点 则 2 1 5 2 22 x yx 由化简得 09463 22 yxx配方得1 34 1 22 yx 故所的轨迹是椭圆 其中心在 1 0 解法二 因为定点 A 2 0 所以2 c 定直线8 x所以5 2 c a x解得10 2 a 故所求的轨 迹方程为1 610 22 yx 13 问题 1 求出椭圆方程1 34 22 yx 和1 34 1 22 yx 的长半轴长 短半轴长 半焦距 离心率 问题 2 求出椭圆方程1 34 22 yx 和1 34 1 22 yx 长轴顶点 焦点 准线方程 解 因为把椭圆1 34 22 yx 向右平移一个单位即可以得到椭圆1 34 1 22 yx 所以问题 1 中的所 有问题均不变 均为 2 1 1 3 3 a c ecba 1 34 22 yx 长轴顶点 焦点 准线方程分别为 0 2 0 1 4 x 1 34 1 22 yx 长轴顶点 焦点 准线方程分别为 0 12 0 11 14 x 反思 由于是标准方程 故只要有两上独立的条件就可以确定一个椭圆 而题目中有三个条件 所以我们 必须进行检验 又因为 10 2 a c e另一方面离心率就等于 2 1 这是两上矛盾的结果 所以所求方程是 错误的 又由解法一可知 所求得的椭圆不是标准方程 小结 以后有涉及到 动点到定点的距离和它到定直线的距离的比是常数时 最好的方法是采用求轨迹方 程的思路 但是这种方法计算量比较大 解法二运算量比较小 但应注意到会不会是标准方程 即如果三个数据可以符合课本例 4 的关系的话 那 么其方程就是标准方程 否则非标准方程 则只能用解法一的思维来解 例 4 设 AB 是过椭圆右焦点的弦 那么以 AB 为直径的圆必与椭圆的右准线 A 相切 B 相离 C 相交 D 相交或相切 分析 如何判断直线与圆的位置关系呢 解 设 AB 的中点为 M 则 M 即为圆心 直径是 AB 记椭圆的右焦点为 F 右准线为l 过点 A B M 分别作出准线l的垂线 分别记为ddd 21 由梯形的中位线可知 2 21 dd d 又由椭圆的第二定义可知e d AF 1 e d BF 2 即 21 ddeBFAF 又 22 2 21 dd e BFAFAB 且10 e 2 AB d 故直线与圆相离 例 5 已知点M为椭圆1 1625 22 yx 的上任意一点 1 F 2 F分别为左右焦点 且 2 1 A求 3 5 1 MFMA 的最小值 14 分析 应如何把 3 5 1 MF表示出来 解 左准线 1 l 3 25 2 c a x 作 1 lMD 于点 D 记 MDd 由第二定义可知 5 3 1 a c e d MF dMF 5 3 1 3 5 1 MFd 故有 3 5 1 MDMAdMAMFMA 所以有当 A M D 三点共线时 MA MD 有最小值 3 25 1 即 3 5 1 MFMA 的最小值是 3 28 变式 1 5 3 1 MFMA 的最小值 解 28 3 28 3 3 5 3 5 3 11 MFMAMFMA 变式 2 5 3 1 MFMA 的最小值 解 5 28 3 28 5 3 3 5 5 3 5 3 11 MFMAMFMA 巩固练习 1 已知 是椭圆 上一点 若 到椭圆右准线的距离是 则 到左焦点的距离为 2 若椭圆 的离心率为 则它的长半轴长是 答案 1 2 1 或 2 教学反思教学反思 1 椭圆第二定义 焦半径公式 准线方程 2 椭圆定义的简单运用 3 离心率的求法以及焦半径公式的应用 课后作业 1 例题 5 的两个变式 2 已知 为椭圆 上的两点 是椭圆的右焦点 若 的中点到椭圆左准线的距离是 试确定椭 圆的方程 F 1 A M D 15 解 由椭圆方程可知 两准线间距离为 设 到右准线距离分别为 由 椭圆定义有 所以 则 中点 到右准线距离为 于是 到左准线距离为 所求椭圆方程为 思考 1 方程 2 1 1 2 22 yxyx表示什么曲线 解 2 2 2 2 1 1 22 yx yx 1 2 2 即方程表示到定点的距离与到定直线的距离的比常数 且该常数 小于 1 方程表示椭圆 例 06 四川高考 15 如图把椭圆的长轴 AB 分成 8 等分 过每个等分点作x轴的垂线交椭圆的上半部 分于 721 PPP 七个点 F 是椭圆的一个焦点 则 721 FPFPFP 解法一 5 3 a c e 设 i P的横坐标为 i x 则ixi 4 5 5 不妨设其焦点为左焦点 由 5 3 a c e d FPi 得iiexa c a xeFP iii 4 3 2 4 5 5 5 3 5 2 35 721 4 3 72 721 FPFPFP 解法二 由题意可知 1 P和 7 P关于y轴对称 又由椭圆的对称性及其第一定义可知 aFPFP2 71 同理可知aFPFP2 62 aFPFP2 53 aFP 4 故357 721 aFPFPFP 2 2 椭圆中焦点三角形的性质及应用椭圆中焦点三角形的性质及应用 定义 椭圆上任意一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形 16 性质一 已知椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为 21 FF设焦点三角形 21F PF中 21 PFF则 2 tan 2 21 bS PFF cos2 2 21 2 2 2 1 2 21 2 PFPFPFPFFFc cos1 2 21 2 21 PFPFPFPF cos1 2 cos1 2 44 cos1 2 4 222 22 21 21 bca cPFPF PFPF 12 2 2 12 1 sinsintan 21 cos2 F PF b SPF PFb 性质二 已知椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左右两焦点分别为 21 FF设焦点三角形 21F PF 若 21PF F 最大 则点 P 为椭圆短轴的端点 证明 设 oo yxP 由焦半径公式可知 o exaPF 1 o exaPF 1 在 21PF F 中 21 2 21 2 1 2 1 2 cos PFPF FFPFPF 21 2 21 2 21 2 42 PFPF cPFPFPFPF 1 2 4 1 2 44 2 21 22 oo exaexa b PFPF ca 1 2 222 2 o xea b axa 0 22 axo 性质三性质三 已知椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为 21 FF设焦点三角形 21F PF中 21 PFF则 21cos 2 e 证明证明 设 2211 rPFrPF 则在 21PF F 中 由余弦定理得 1 2 22 2 42 2 cos 21 22 21 2 21 2 21 21 2 21 2 2 2 1 rr ca rr crrrr rr FFrr 211 2 22 1 2 2 22 2 2 22 221 22 e a ca rr ca 命题得证 2000 年高考题 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两焦点分别为 21 FF若椭圆上存在一点 P使得 1200 21 PFF求椭圆的离心率e的取值范围 17 简解简解 由椭圆焦点三角形性质可知 21120cos 20 e 即 2 21 2 1 e 于是得到e的取值范围是 1 2 3 性质四 已知椭圆方程为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 两焦点分别为 21 FF设焦点三角形 21F PF 1221 FPFFPF则椭圆的离心率 sinsin sin e 1221 FPFFPF 由正弦定理得 sinsin 180sin 1221 PFPFFF o 由等比定理得 sinsin sin 2121 PFPFFF 而 sin 2 sin 21 c FF sinsin 2 sinsin 21 a PFPF sinsin sin a c e 已知椭圆的焦点是 F1 1 0 F2 1 0 P 为椭圆上一点 且 F1F2 是 PF1 和 PF2 的等差中 项 1 求椭圆的方程 2 若点 P 在第三象限 且 PF1F2 120 求 tanF1PF2 解 解 1 由题设 2 F1F2 PF1 PF2 2a 又 2c 2 b 3 椭圆的方程为 34 22 yx 1 2 设 F1PF2 则 PF2F1 60 椭圆的离心率 2 1 e 则 60sin 2 3 sin 60sin 120sin 180sin 2 1 o oo o 整理得 5sin 3 1 cos 5 3 cos1 sin 故 5 3 2 tan tanF1PF2 tan 11 35 25 3 1 5 3 2 18 2 32 32 32 3 双曲线双曲线双曲线双曲线 2 2 2 2 1 1 双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 知识与技能目标知识与技能目标 理解双曲线的概念 掌握双曲线的定义 会用双曲线的定义解决实际问题 理解双曲线标准方程的推 导过程及化简无理方程的常用的方法 了解借助信息技术探究动点轨迹的 几何画板 的制作或操作方 法 过程与方法目标过程与方法目标 1 预习与引入过程 预习教科书 56 页至 60 页 当变化的平面与圆锥轴所成的角在变化时 观察平面截圆锥的截口曲线 截面与圆锥侧面的交线 是什么图形 又是怎么样变化的 特别是当截面与圆锥的轴线或平行时 截口 曲线是双曲线 待观察或操作了课件后 提出两个问题 第一 你能理解为什么此时的截口曲线是双曲线 而不是两条抛物线 第二 你能举出现实生活中双曲线的例子 当学生把上述两个问题回答清楚后 要引 导学生一起思考与探究 P56页上的问题 同桌的两位同学准备无弹性的细绳子两条 一条约 10cm 长 另一 条约 6cm 每条一端结一个套 和笔尖带小环的铅笔一枝 教师准备无弹性细绳子两条 一条约 20cm 另 一条约 12cm 一端结个套 另一端是活动的 图钉两个 当把绳子按同一方向穿入笔尖的环中 把绳 子的另一端重合在一起 拉紧绳子 移动笔尖 画出的图形是双曲线 启发性提问 在这一过程中 你能 说出移动的笔小 动点 满足的几何条件是什么 板书 2 2 1 双曲线及其标准方程 2 新课讲授过程 i 由上述探究过程容易得到双曲线的定义 板书 把平面内与两个定点 1 F 2 F的距离的差的绝对值等于常数 小于 12 F F 的点的轨迹叫 做双曲线 hyperbola 其中这两个定点叫做双曲线的焦点 两定点间的距离叫做双曲线的焦距 即当动 点设为M时 双曲线即为点集P 12 2M MFMFa ii 双曲线标准方程的推导过程 提问 已知椭圆的图形 是怎么样建立直角坐标系的 类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角 坐标系 无理方程的化简过程仍是教学的难点 让学生实际掌握无理方程的两次移项 平方整理的数学活动过 程 类比椭圆 设参量b的意义 第一 便于写出双曲线的标准方程 第二 a b c的关系有明显的几 何意义 19 类比 写出焦点在y轴上 中心在原点的双曲线的标准方程 22 22 10 0 yx ab ba iii 例题讲解 引申与补充 例 1 已知双曲线两个焦点分别为 1 5 0F 2 5 0F 双曲线上一点P到 1 F 2 F距离差的绝 对值等于6 求双曲线的标准方程 分析分析 由双曲线的标准方程的定义及给出的条件 容易求出 a b c 补充补充 求下列动圆的圆心M的轨迹方程 与 C 2 2 22xy 内切 且过点 2 0A 与 1 C 2 2 11xy 和 2 C 2 2 14xy 都外切 与 1 C 2 2 39xy 外切 且与 2 C 2 2 31xy 内切 解题剖析解题剖析 这表面上看是圆与圆相切的问题 实际上是双曲线的定义问题 具体解 设动圆M的半径为 r C与 M内切 点A在 C外 2MCr MA r 因此有 2MAMC 点M的轨迹是以C A为焦点的双曲线的左支 即M的轨迹方程是 2 2 2 212 7 y xx M与 1 C 2 C均外切 1 1MCr 2 2MCr 因此有 21 1MCMC 点M的轨迹是以 2 C 1 C为焦点的双曲线的上支 M的轨迹方程是 2 2 43 41 34 x yy MA与 1 CA外切 且MA与 2 CA内切 1 3MCr 2 1MCr 因此 12 4MCMC 点M的轨迹是以 1 C 2 C为焦点的双曲线的右支 M的轨迹方程是 22 12 45 xy x 例 2 已知A B两地相距800m 在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s 且声速为 340 m s 求炮弹爆炸点的轨迹方程 分析分析 首先要判断轨迹的形状 由声学原理 由声速及A B两地听到爆炸声的时间差 即可知 A B两地与爆炸点的距离差为定值 由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程 扩展扩展 某中心接到其正东 正西 正北方向三个观察点的报告 正西 正北两个观察点同时听到了一 声巨响 正东观察点听到该巨响的时间比其他两个观察点晚4s 已知各观察点到该中心的距离都是 1020m 试确定该巨响发生的位置 假定当时声音传播的速度为340 m s 相关点均在同一平面内 解法剖析解法剖析 因正西 正北同时听到巨响 则巨响应发生在西北方向或东南方向 以因正东比正西晚4s 20 则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上 如图 以接报中心为原点O 正东 正北方向分别为x轴 y轴方向 建立直角坐标 系 设A B C分别是西 东 北观察点 则 1020 0A 1020 0B 0 1020C 设 P x y为巨响发生点 A C同时听到巨响 OP所在直线为yx 又因B点 比A点晚4s听到巨响声 43401360PBPAm 由双曲线定义知 680a 1020c 340 5b P点在双曲线方程为 22 22 1 6805 340 xy 680 x 联立 求出P点坐标为 680 5 680 5P 即巨响在正西北方向680 10m处 探究探究 如图 设A B的坐标分别为 5 0 5 0 直线AM BM相交于点M 且它们的斜率之积为 4 9 求点M的轨迹方程 并与 2 1 例 3 比较 有什么发现 探究方法 若设点 M x y 则直线AM BM的斜率就可以用含 x y的式子表示 由于直线 AM BM的斜率之积是 4 9 因此 可以求出 x y之间的关系式 即得到点M的轨迹方程 情感 态度与价值观目标情感 态度与价值观目标 通过课件 a 的展示与操作 必须让学生认同 与圆锥的轴平行的平面去截圆锥曲面所得截口曲线 是一条双曲线而不是两条抛物线 必须让学生认同与体会 双曲线的定义及特殊情形当常数等于两定点间 距离时 轨迹是两条射线 必须让学生认同与理解 已知几何图形建立直角坐标系的两个原则 及引入参 量 22 bca 的意义 培养学生用对称的美学思维来体现数学的和谐美 让学生认同与领悟 像例 1 这 基础题配备是必要的 但对定义的理解和使用是远远不够的 必须配备有一定灵活性 有一定的思维空间 的补充题 例 2 是典型双曲线实例的题目 对培养学生的辩证思维方法 会用分析 联系的观点解决问题 有一定的帮助 但要准确判定爆炸点 必须对此题进行扩展 培养学生归纳 联想拓展的思维能力 能力目标能力目标 1 想象与归纳能力想象与归纳能力 能根据课程的内容能想象日常生活中哪些是双曲线的实际例子 能用数 学符号或自然语言的描述双曲线的定义 能正确且直观地绘作图形 反过来根据图形能用 数学术语和数学符号表示 2 思维能力思维能力 会把几何问题化归成代数问题来分析 反过来会把代数问题转化为几何问题来 思考 培养学生的数形结合的思想方法 培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究 培养学生的辩证思维能力 3 实践能力实践能力 培养学生实际动手能力 综合利用已有的知识能力 4 数学活动能力数学活动能力 培养学生观察 实验 探究 验证与交流等数学活动能力 5 创新意识能力创新意识能力 培养学生思考问题 并能探究发现一些问题的能力 探究解决问题的一般 的思想 方法和途径 21 2 2 2 2 2 2 双曲线的简单几何性质双曲线的简单几何性质 知识与技能目标知识与技能目标 了解平面解析几何研究的主要问题 1 根据条件 求出表示曲线的方程 2 通过方程 研究曲 线的性质 理解双曲线的范围 对称性及对称轴 对称中心 离心率 顶点 渐近线的概念 掌握双曲线 的标准方程 会用双曲线的定义解决实际问题 通过例题和探究了解双曲线的第二定义 准线及焦半径的 概念 利用信息技术进一步见识圆锥曲线的统一定义 过程与方法目标过程与方法目标 1 复习与引入过程 引导学生复习得到椭圆的简单的几何性质的方法 在本节课中不仅要注意通过对双曲线的标准方程 的讨论 研究双曲线的几何性质的理解和应用 而且还注意对这种研究方法的进一步地培养 由双曲线 的标准方程和非负实数的概念能得到双曲线的范围 由方程的性质得到双曲线的对称性 由圆锥曲线 顶点的统一定义 容易得出双曲线的顶点的坐标及实轴 虚轴的概念 应用信息技术的 几何画板 探 究双曲线的渐近线问题 类比椭圆通过 56 P的思考问题 探究双曲线的扁平程度量椭圆的离心率 板 书 2 2 2 双曲线的简单几何性质 2 新课讲授过程 i 通过复习和预习 对双曲线的标准方程的讨论来研究双曲线的几何性质 提问 研究双曲线的几何特征有什么意义 从哪些方面来研究 通过对双曲线的范围 对称性及特殊点的讨论 可以从整体上把握曲线的形状 大小和位置 要从 范围 对称性 顶点 渐近线及其他特征性质来研究曲线的几何性质 ii 双曲线的简单几何性质 范围 由双曲线的标准方程得 22 22 10 yx ba 进一步得 xa 或xa 这说明 双曲线在不等式xa 或xa 所表示的区域 对称性 由以x 代x 以y 代y和x 代x 且以y 代y这三个方面来研究双曲线的标准 方程发生变化没有 从而得到双曲线是以x轴和y轴为对称轴 原点为对称中心 顶点 圆锥曲线的顶点的统一定义 即圆锥曲线的对称轴与圆锥曲线的交点叫做圆锥曲线的顶 点 因此双曲线有两个顶点 由于双曲线的对称轴有实虚之分 焦点所在的对称轴叫做实轴 焦点不在的 对称轴叫做虚轴 渐近线 直线 b yx a 叫做双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线 离心率 双曲线的焦距与实轴长的比 a c e 叫做双曲线的离心率 1e iii 例题讲解与引申 扩展 例 3 求双曲线 22 916144yx 的实半轴长和虚半轴长 焦点的坐标 离心率 渐近线方程 分析分析 由双曲线的方程化为标准方程 容易求出 a b c 引导学生用双曲线的实半轴长 虚半轴长 22 离心率 焦点和渐近线的定义即可求相关量或式子 但要注意焦点在y轴上的渐近线是 a yx b 扩展扩展 求与双曲线 22 1 169 xy 共渐近线 且经过 2 3 3A 点的双曲线的标准方及离心率 解法剖析解法剖析 双曲线 22 1 169 xy 的渐近线方程为 3 4 yx 焦点在x轴上时 设所求的双曲线 为 22 22 1 169 xy kk 2 3 3A 点在双曲线上 2 1 4 k 无解 焦点在y轴上时 设所求的双 曲线为 22 22 1 169 xy kk 2 3 3A 点在双曲线上 2 1 4 k 因此 所求双曲线的标准方程为 22 1 9 4 4 yx 离心率 5 3 e 这个要进行分类讨论 但只有一种情形有解 事实上 可直接设所求的 双曲线的方程为 22 0 169 xy m mR m 例 4 双曲线型冷却塔的外形 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面如图 1 它的最小半径 为12m 上口半径为13m 下口半径为25m 高为55m 试选择适当的坐标系 求出双曲线的方程 各长度量精确到1m 解法剖析解法剖析 建立适当的直角坐标系 设双曲线的标准方程为 22 22 1 xy ab 算出 a b c的值 此题应注意两点 注意建立直角坐标 系的两个原则 关于 a b c的近似值 原则上在没有注意精确度时 看 题中其他量给定的有效数字来决定 引申引申 如图所示 在P处堆放着刚购买的草皮 现要把这些草皮沿着道路PA或PB送 到呈矩形的足