【创新设计】（江苏专用）2014届高考数学一轮复习 第十一章 第1讲 两个基本计数原理配套训练 理 新人教A版

1 第十一章 计数原理计数原理 第第 1 1 讲讲 两个基本计数原理两个基本计数原理 分层训练 A 级 基础达标演练 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 由 0 1 2 3 这四个数字组成的四位数中 有重复数字的四位数共有 个 解析 可用排除法 由 0 1 2 3 可组成的四位数共有 3 43 192 个 其中无重复的 数字的四位数共有 3A 18 个 故共有 192 18 174 个 3 3 答案 174 2 2012 长春市三测 现有 4 名教师参加说题比赛 共有 4 道备选题目 若每位选手从中 有放回地随机选出一道题进行说题 其中恰有一道题没有被这 4 位选中的情况有 种 解析 首先选择题目 从 4 道题目中选出 3 道 选法为 C 而后再将获得同一道题目 3 4 的 2 位老师选出 选法为 C 最后将 3 道题目 分配给 3 组老师 分配方式为 A 即 2 43 3 满足题意的情况共有 C C A 144 种 3 4 2 4 3 3 答案 144 3 某次活动中 有 30 人排成 6 行 5 列 现要从中选出 3 人进行礼仪表演 要求这 3 人中 的任意 2 人不同行也不同列 则不同的选法种数为 用数字作答 解析 其中最先选出的一个人有 30 种方法 此时不能再从这个人所在的行和列共 9 个 位置上选人 还剩一个 5 行 4 列的队形 故选第二个人有 20 种方法 此时不能再从该 人所在的行和列上选人 还剩一个 4 行 3 列的队形 此时第三个人的选法有 12 种 根 据分步乘法计数原理 总的选法种数是 30 20 12 7 200 答案 7 200 4 2012 汕头模拟 如图 用 6 种不同的颜色把图中 A B C D四块区域分开 若相邻区域不能涂同一种颜色 则不同的涂法共有 种 解析 从A开始 有 6 种方法 B有 5 种 C有 4 种 D A同色 1 种 D A不同色 3 种 不同涂法有 6 5 4 1 3 480 种 答案 480 2 5 高三年级的三个班去甲 乙 丙 丁四个工厂参加社会实践 三个班去何工厂可自由选 择 但甲工厂必须有班级要去 则不同的分配方案有 种 解析 三个班去四个工厂不同的分配方案共 43种 甲工厂没有班级去的分配方案共 33 种 因此满足条件的不同的分配方案共有 43 33 37 种 答案 37 6 2011 全国卷改编 4 位同学从甲 乙 丙 3 门课程中选修 1 门 则恰有 2 人选修课程 甲的不同选法有 种 解析 分三步 第一步先从 4 位同学中选 2 人选修课程甲 共有 C 种不同选法 第二 2 4 步给第 3 位同学选课程 有 2 种选法 第三步给第 4 位同学选课程 也有 2 种不同选 法 故共有 C 2 2 24 种 2 4 答案 24 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 如图 用四种不同颜色给图中的A B C D E F六个点涂色 要 求每个点涂一种颜色 且图中每条线段的两个端点涂不同颜色 则 不同的涂色方法共有多少种 解 先涂A D E三个点 共有 4 3 2 24 种 涂法 然后再按 B C F的顺序涂色 分为两类 一类是B与E或D同色 共有 2 2 1 1 2 8 种 涂法 另一类是B与E或D不同色 共有 1 1 1 1 2 3 种 涂法 所以涂色方法共有 24 8 3 264 种 8 现安排一份 5 天的工作值班表 每天有一个人值班 共有 5 个人 每个人都可以值多天 班或不值班 但相邻两天不准由同一个人值班 问此值班表共有多少种不同的排法 解 可将星期一 二 三 四 五分给 5 个人 相邻的数字不分给同一个人 星期一 可分给 5 人中的任何一人有 5 种分法 星期二 可分给剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法 星期三 可分给除去分到星期二的剩余 4 人中的任何一人有 4 种分法 同理星期四和星期五都有 4 种不同的分法 由分步计数原理共有 5 4 4 4 4 1 280 种 不同的排法 分层训练 B 级 创新能力提升 1 2012 无锡调研 将数字 1 2 3 4 5 6 按第一行 1 个数 第二行 2 个数 第三行 3 个数 的形式随机排列 设Ni i 1 2 3 表示第i行中最大的数 则满足N1 N2 N3的所有排 列的个数是 用数字作答 解析 由已知数字 6 一定在第三行 第三行的排法种数为 A A 60 剩余的三个数字 1 3 2 5 中最大的一定排在第二行 第二行的排法种数为 A A 4 由分步计数原理满足条件的 1 2 1 2 3 排列个数是 240 答案 240 2 2013 盐城检测 数字 1 2 3 9 这九个数字填写在如图的 9 个 空格中 要求每一行从左到右依次增大 每列从上到下也依次增大 当数字 4 固定在中心位置时 则所有填写空格的方法共有 种 解析 必有 1 4 9 在主对角线上 2 3 只有两种不同的填法 对于它们的每一种填法 5 只有两种填法 对于 5 的每一种填法 6 7 8 只有 3 种不 同的填法 由分步计数原理知共有 22 3 12 种 填法 答案 12 3 2010 上海 从集合U a b c d 的子集中选出 4 个不同的子集 需同时满足以下 两个条件 1 U都要选出 2 对选出的任意两个子集A和B 必有A B或A B 那么 共有 种不同的选 法 解析 将选法分成两类 第一类 其中一个是单元素集合 则另一集合为含两个或三个 元素且含有单元素集合中的元素 有 C 6 24 种 1 4 第二类 其中一个是两个元素集合 则另一个是含有这两个元素的三元素集合 有 C 2 12 种 2 4 综上共有 24 12 36 种 答案 36 4 2012 揭阳一中检测 用n个不同的实数a1 a2 an可得到 n 个不同的排列 每个排列为一行写成一个n 行的数阵 对第i 行ai1 ai2 ain 记bi ai1 2ai2 3ai3 1 nn ain i 1 2 3 n 例如 用 1 2 3 可得数阵如图 由于 此数阵中每一列各数之和都是 12 所以 b1 b2 b6 12 2 12 3 12 24 那么 在用 1 2 3 4 5 形成的数阵中 b1 b2 b120等于 解析 在用 1 2 3 4 5 形成的数阵中 每一列的和为 1 2 3 4 5 A 360 b1 b2 b120 360 2 360 3 360 4 360 5 360 3 36 4 4 0 1 080 答案 1 080 4 5 2012 扬州调研一 用n种不同的颜色为两块广告牌着色 如图甲 乙所示 要求在 四个区域中相邻 有公共边界 的区域不用同一种颜色 1 若n 6 为甲着色时共有多少种不同的方法 2 若为乙着色时共有 120 种不同的方法 求n的值 解 完成着色这件事 共分为四个步骤 可以依次考虑为 这四个区域着 色时各自的方法数 再利用分步乘法计数原理确定出总的着色种数 因此有 1 为 区域着色时有 6 种方法 为 区域着色时有 5 种方法 为 区域着色时有 4 种 方法 为 区域着色时有 4 种方法 依据分步 乘法 计数原理 不同的着色方法为 6 5 4 4 480 种 2 由题意知 为 区域着色时有n种方法 为 区域着色时有 n 1 种方法 为 区 域着色时有 n 2 种方法 为 区域着色时有 n 3 种方法 由分步计数原理得不同的 着色数为n n 1 n 2 n 3 n n 1 n 2 n 3 120 而 120 5 4 3 2 n 5 6 2012 镇江调研二 已知集合A a1 a2 a3 a4 B 0 1 2 3 f是从A到B的映 射 1 若B中每一元素都有原象 这样不同的f有多少个 2 若B中的元素 0 无原象 这样的f有多少个 3 若f满足f a1 f a2 f a3 f a4 4 这样的f又有多少个 解 1 显然对应是一一对应的 即a1找象有 4 种方法 a2找象有 3 种方法 a3找象有 2 种方法 a4找象有 1 种方法 所以不同的f共有 4 3 2 1 24 个 2 0 无原象 1 2 3 有无原象不限 所以为A中每一元素找象时都有 3 种方法 所以不 同的f共有 34 81 个 3 分为如下四类 第一类 A中每一元素都与 1 对应 有 1 种方法 第二类 A中有两个元素对应 1 一个元素对应 2 另一个元素与 0 对应 有 C C 12 种 方法 2