高考数学复习点拨 身边的统计案例

用心 爱心 专心 身边的统计案例身边的统计案例 统计是用来研究生活中的随机现象的一种重要的手段 而随机现象在生活中比比皆是 所以 统计的思想方法在生活中随时都可粉墨登场 一显身手 下面我们就用回归分析和独 立性检验的思想方法 研究一下我们身边几个统计案例 例例 1 有人统计了同一个省的 6 个城市某一年的人均国内生产总值 即人均 GDP 和 这一年各城市患白血病的儿童数量 如下表 人均 GDP 万元 x1086431 患白血病的儿童数 y 351312207175132180 1 画出散点图 2 求对的回归直线方程 yx 3 如果这个省的某一城市同时期年人均 GDP 为 12 万元 估计这个城市一年患白血病的 儿童数目 分析 分析 利用公式分别求出的值 即可确定回归直线方程 然后再进行预测 ab 解 解 1 作与对应的散点图 如右图所示 xy 2 计算得67 1286 17 226 33 5 6 1 yyxxyx i i i 33 55 6 1 2 i i xx 25 23 33 55 67 1286 b25 10233 5 25 2317 226 a 对的回归直线方程是 yx25 10225 23 xy 3 将代入得 估计这个城市一年12 x25 10225 23 xy38125 1021225 23 y 患白血病的儿童数目约为 381 评评注 注 本题涉及的是一个和我们生活息息相关 也是一个愈来愈严峻的问题 环保问 题 本题告诉了我们一个沉痛的事实 现如今 一个城市愈发达 这个城市患白血病的儿童愈 多 原因在于 城市的经济发展大都以牺牲环境为代价的 经济发展造成了大面积的环境污 染 空气 水源中含有的大量的有害物质是导致白血病患者增多的罪魁祸首 所以 我们一 定要增强自我保护意识和环境保护意识 例例 2 寒假中 某同学为组织一次爱心捐款 于 2008 年 2 月 1 日在网上给网友发了张 帖子 并号召网友转发 下表是发帖后一段时间的收到帖子的人数统计 天数 x1234567 人数 y711212466115325 1 作出散点图 并猜测与之间的关系 xy 万元人均 GDP 1108643 100 200 300 人数 16 题图 用心 爱心 专心 2 建立与的关系 预报回归模型并计算残差 xy 3 如果此人打算在 2008 年 2 月 12 日 即帖子传播时间共 10 天 进行募捐活动 根据 上述回归模型 估计可去多少人 分析 分析 先通过散点图 看二者是否具有线性相关关系 若不具有 可通过相关函数变换 转化为线性相关关系 解 解 1 散点图略 从散点图可以看出与不具有线性相关关系 同时可发现样本xy 点分布在某一个指数函数曲线的周围 其中是参数 mx key mk 2 对两边取对数 把指数关系变成线性关系 令 则变换后的样本 mx key yzln 点分布在直线的周围 这样就可以利用线性回归模型来建立与 ln mbkaabxz x 之间的非线性回归方程了 数据可以转化为 y 天数 x1234567 人数 y1 9462 3983 0453 1784 1904 7455 784 求得回归直线方程为 133 1 620 0 xz 133 1 620 0 x ey 3 截止到 2008 年 2 月 12 日 此时 人 10 x1530 133 1 10620 0 ey 估计可去 1530 人 评注 评注 现如今是网络时代 很多同学都会通过互联网发帖子 所以此类问题为同学们司 空见惯 但如何预测发帖后的效果 这却是个新课题 通过本题你是否已明确 例例 3 有人发现了一个有趣的现象 中国人的邮箱名称里含有数字的比较多 而外国 人邮箱名称里含有数字的比较少 为了研究国籍和邮箱名称里是否含有数字的关系 他收集 了 124 个邮箱名称 其中中国人的 70 个 外国人的 54 个 中国人的邮箱中有 43 个含数 字 外国人的邮箱中有 27 个含数字 1 根据以上数据建立一个 2 2 的列联表 2 他发现在这组数据中 外国人邮箱名称里含数字的也不少 他不能断定国籍和邮箱名 称里含有数字是否有关 你能帮他判断一下吗 分析 分析 按题中数据建列联表 然后根据列联表数据求出值 即可判定 k 解 解 1 2 2 的列联表 中国人外国人总计 有数字432770 无数字213354 用心 爱心 专心 总计6460124 2 假设 国籍和邮箱名称里是否含有数字无关 由表中数据得 201 6 60645470 21273343 124 2 k 因为 所以有理由认为假设 国籍和邮箱名称里是否含有数字无关 是不合024 5 k 理的 即有的把握认为 国籍和邮箱名称里是否含有数字有关 0 0 5 97 评注 评注 独立性检验类似于反证法 其一般步骤为 第一步 首先假设两个分类变量几乎 没有关系 几乎独立 第二步 求随机变量的值 第三步 判断两个分类变量有关的把握 即k 概率 有多大 例例 4 针对时下的 韩剧热 某校团委对 学生性别和是否喜欢韩剧是否有关 作 了一次调查 其中女生人数是男生人数的 男生喜欢韩剧的人数占男生人数的 女生 2 1 6 1 喜欢韩剧人数占女生人数的 3 2 1 若有的把握认为是否喜欢韩剧和性别有关 则男生至少有多少人 0 0 95 2 若没有充分的证据显示是否喜欢韩剧和性别有关 则男生至多有多少人 分析 分析 有的把握认为回答结果对错和性别有关 说明 没有充分的证据 0 0 95841 3 k 显示回答结果对错和性别有关 说明 设出男生人数 并用它分别表示各类别人数 706 2 k 代入的计算公式 建立不等式求解即可 2 K 解 解 设男生人数为 依题意可得列联表如下 x 喜欢韩剧不喜欢韩剧总计 男生 6 x 6 5xx 女生 3 x 6 x 2 x 总计 2 xx x 2 3 1 若有的把握认为回答结果的对错和性别有关 则 0 0 95841 3 k 由 解得 841 3 8 3 22 6636 5 2 3 2 2 x x xx x xxxxx K24 10 x 为整数 若有的把握认为回答结果的对错和性别有关 则男生至少有 6 2 xx 0 0 95 12 人 2 没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关 则 706 2 k 由 解得 706 2 8 3 22 6636 5 2 3 2 2 x x xx x xxxxx K216 7 x 用心 爱心 专心 为整数 若没有充分的证据显示回答结果的对错和性别有关 则男生至多有 6 2