高二数学复数的运算人教实验版（B）知识精讲

用心 爱心 专心 高二数学复数的运算人教实验版 高二数学复数的运算人教实验版 B 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 复数的运算 二 学习目标 掌握复数的加法 减法 乘法和除法的运算法则 能运用这些法则计算相关问题 三 考点分析 1 复数的加法和减法 Rd c b a i db ca dic bia 2 复数的乘法和除法 1 复数的乘法按多项式相乘进行 即 i bcad bdac bdibciadiac dic bia 2 2 复数除法是乘法的逆运算 其实质是分母实数化 i dc adbc dc bdac dic bia 2222 注 做复数除法运算时 有如下技巧 利用此结论可使一些特殊的计算过程简化 i bia i bia i aib i bia aib bia 3 复数的加减运算是按照向量相加减的平行四边形和三角形法则进行的 见图 1 图 2 图 1图 2 4 复数与点的轨迹 1 两点间的距离公式 zz d 21 2 线段的中垂线 zz zz 21 3 圆的方程 以点 P 为圆心 r 为半径 r Pz 4 椭圆 2a 为正常数 a2 zz zz 21 zz a2 21 5 双曲线 2a 为正常数 a2 zz zz 2l zz a2 21 典型例题典型例题 例 1 计算 77 i 31 i 22 i3 i 22 解 解 原式 7 7 i3i i1 2 i3 i1 i 2 用心 爱心 专心 7 77 2 i3 i 22 2 i3 i1 i 2 i3 i1 i 2 7 2 i3 i1 2 7732 i 2 3 2 1 i i1 i1 2 2 i 31 i i1 i 8 2 i 388 388 例 2 已知 求的值 1 x 1 x 2006 2006 x 1 x 解 解 01xx 1 x 1 x 2 1x i 2 3 2 1 x 3 xxx 266832006 2266832006 1 2 1 2 x 1 x x 1 x x 1 x 22 2 2 2006 2006 例 3 已知复数 1 求 2 若 求的最大值 3 1 i1 iz z 1 1 z zz 1 解 解 1 i1 2 i1 i 2 i i1 iz 3 1 2222 z 22 1 2 解法一 1 z 设 sincosz i 22sinicos zz 1 22 2 sin 2 cos 4 sin 249 当时 取得最大值 1 4 sin 2 1 zz 249 从而得到的最大值为 zz 1 122 解法二 可看成半径为 1 圆心为 0 0 的圆 1 z 而对应坐标系中的点 2 2 1 z 的最大值可以看成点 2 2 到圆上的点距离最大 zz 1 由下图可知 122 zz max1 用心 爱心 专心 例 4 已知关于 x 的方程有实数根 b 09 6 2 Raaixix 1 求实数的值 ba 2 若复数满足 当 z 为何值时有最小值 并求出z0 2 zbiaz z 的最小值 z 解 解 1 是方程的实根b 09 6 2 Raaixix 0 96 2 ibabb 0 096 2 ba bb 3 ba 2 设 Ryxyixz 0 2 33 ziz 2 33 yixiyix 即 4 3 3 2222 yxyx 整理 得8 1 1 22 yx 复数对应点的轨迹是以为圆心 以为半径的圆 z 1 1 1 O22 如图所示 连结圆心和原点 O 并延长交圆于点 P 当复数 z 为点 P 对应的复数时 最 1 O 1 O z 小可求得 1 1 P iz 12 min z 例 5 已知 z 是虚数 求证 为实数的充要条件是 z 1 z 1 z 证明 证明 1 证法一 设 且 yixz Ry x 0y 则 22 yx yix yix yix 1 yix z 1 z i yx y y yx x x 2222 当 即 则 1 z 1yx 22 Rx2 z 1 z 当 即 又 R z 1 z 0 yx y y 22 0y 即 1yx 22 1 z 因此 是的充要条件 z 为虚数 1 z R z 1 z 用心 爱心 专心 证法二 z 1 z 1 z zz 1 z 2 Rzz z 1 z 当 即 R z 1 z z 1 z z 1 z z 1 z 0 zz zz zz 0 z 1 z 1 zz z 为虚数 0zz 即 即 0 zz 1 1 1zz 1 z 2 为的充要条件 z 为虚数 1 z R z 1 z 模拟试题模拟试题 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 1 复数的值是 4 i 1 1 A 4iB 4iC 4 D 4 2 设 为复数 则下列四个结论中正确的是 1 z 2 z A 若 则0zz 2 2 2 1 2 2 2 1 zz B 若 则0zz 2 2 2 1 0zz 21 C 21 2 2121 zz4 zz zz D 是纯虚数或零 11 zz 3 复数对应的点在虚轴上 则 i 2aa a2a z 22 A 或B 且2a 1a 2a 1a C 或D 2a 0a 0a 4 若复数 z 满足 则 z 等于 i 21 10 z z A B i 43 i 43 C D i 43 i 43 5 设 则等于 z1 z f i 32z1 i5z2 zz f 21 A B C D i 44 i 44 i 44 i 44 6 若 且 则的最小值是 Cz 1 i 22z i 22z A 2B 3C 4D 5 二 填空题 本题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 7 已知 ABC 中 对应的复数分别为 则对应的复 AB ACi 21 i 32 BC 数为 8 若 则 z1 z f i 32z1 i5z2 zz f 21 9 计算 i 21 i2 i1 i 31 6 3 用心 爱心 专心 10 已知 则的最小值是 0m i 1m2 3m z z 三 解答题 本大题共 4 题 共 50 分 11 已知复数 若 求实数 a b 的值 i2 i1 3 i1 z 2 i1bazz2 12 若复数 z 满足 求证 z 1 z z R 1 2 13 若复数 z 满足 求的最大 最小值 233 ziz z 14 已知关于 x 的实系数方程的两根分别为 且04a4aax2x 22 1 x 2 x 求 a 的值 3 x x 21 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 解 本小题主要考查复数的基本知识 利用复数代数形式的运算法则解决此类问题 4 i 2 i1 i i1 i i1 i 1 1 24 4 4 44 答案 D 2 D 3 C 4 D 5 C 6 B 7 i 51 8 i 44 9 0 10 10 11 解析 i1 i2 i3 i2 i 33i 2 z 则得 即得i1b i1 a i1 2 i1i a2 ba 解得 3a 4b 12 证明 设zxyi xyR zxy 11 22 z z xyi xyi11 22 xyi xyxyi xxyyxyi xyx y x xyx y R 12 11 14 2 14 22 2222 22222 22222 13 解法一 数形结合法 设 则zxyi xyR 233 xyiixyi 即233 2222 xyxy 化简 得 xy 448 22 它表示以 为圆心 以为半径的圆CC442 2 表示点到原点 O 0 0 的距离 而点 x y 在圆 C 上 zxy 22 xy 由平面几何知识 可知 z 的最大值为 最小值为6 22 2 解法二 利用复数的模的性质 zizi z 3333 2 即 去绝对值 得 z z 3 2 2 z z z 2 3 2 2 用心 爱心 专心 解这个关于的不等式 得 z2 26 2 z 当时 上式取等号ziR 33 由 把代入233 ziz zi 33 得 解得或3840 2 2 2 3 当时 取最大值 2 z6 2 当时 取最小值 2 3 z2 2 14 解析 16a16