高考数学 开放探究别致璀璨

1 开放探究 别致璀璨开放探究 别致璀璨 高考数学开放探索题型高考数学开放探索题型 大大 数学开放题是相对于条件完备 结论确定的封闭题而言的 是指那些条件不完备 结 论不确定的数学问题 条件完备 答案固定的数学题在发展学生思维 提高学生素质方面 带有一定的局限性 而开放性试题以其复杂多变 综合性强 知识覆盖面宽 注重考察探 索精神和创新意识等特征而逐渐成为高考热点 纵观近几年高考试题 开放性试题的趋势 有增无减 本文对部分高考数学开放探究性试题进行归类解析 以供参考 一 条件追溯型一 条件追溯型 此类试题中结论给出 但题设的条件不充分 需探求结论成立的条件或部分条件 其 主要类型包括条件未知 条件不足 条件有余 条件有误四种情况 高考中以前两种居多 一般需执果索因 分析倒推探求结论成立的条件 求解此类问题时 应运用 执果索因法 寻求结论成立的充分条件 例例 1 1 已知均为正数 cba 证明 并确定为何值时 等号成立 36 111 2222 cba cbacba 解析解析 因为 a b c 均为正数 由平均值不等式得 2 222 3 1 3 3 111 3 abcabc abc abc 2 2 3 111 9 abc abc 故 22 2222 33 111 3 9 abcabcabc abc 又 原不等式成立 22 33 3 9 2 276 3abcabc 当且仅当 a b c 时 式和 式等号成立 当且仅当时 式等号成 22 33 3 9 abcabc 立 即当且仅当 a b c 时 原式等号成立 1 4 3 例例 2 2 在平面直角坐标系中 双曲线的中心在原点 它的一个焦点坐标为 5 0 分别是两条渐近线的方向向量 任取双曲线上的点 若 1 2 1 e 2 2 1 e P 则 满足的一个等式是 1 2 OPaebe abR ab 解析解析 因为 是渐进线方向向量 所以双曲线渐近线方程为 1 2 1 e 2 2 1 e 又xy 2 1 1 2 5 bac 2 双曲线方程为 1 4 2 2 y x 1 2 OPaebe 22 baba 化简得 4ab 11 4 22 2 2 ba ba 评注 评注 对于条件未知的探索性问题 可用执果索因的演绎法或由特殊到一般的归纳法 而另一类缺少条件的探索性问题 则一般从结论出发 并利用已知条件 进行逆向推理 推得的终结点便是所求的条件 这类题的答案往往是不唯一的 答案与已知条件对整个问 题而言只要充分的 相容的 独立的 就视为正确的 对于考查学生发散性思维能力有较 好作用 二 结论探索型二 结论探索型 此类题型的结论不明确 或结论不唯一 求解此类问题时 可以 执因索果 直推结 论 也可以综合运用观察 分析 类比 划归 讨论等方法探索结论 再 执果索因 论 证结果 例例 3 3 已知定点A 1 0 F 2 0 定直线l x 不在x轴上的动点P与点F的 1 2 距离是它到直线l的距离的 2 倍 设点P的轨迹为E 过点F的直线交E于B C两点 直 线AB AC分别交l于点M N 求E的方程 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F 并说明理由 w w w k s5 u c o m 解析解析 1 设P x y 则 化简得x2 1 y 0 22 1 2 2 2 xyx 2 3 y 2 当直线BC与x轴不垂直时 设BC的方程为y k x 2 k 0 与双曲线x2 1 联立消去y得 3 k 2x2 4k2x 4k2 3 0 2 3 y 由题意知 3 k2 0 且 0 设B x1 y1 C x2 y2 则y1y2 k2 x1 2 x2 2 w w w k s5 u c o m 2 2 9 3 k k 而x1 x2 1 故直线AB的方程为y x 1 M点的坐标为 1 1 1 y x 1 1 31 2 2 1 y x 同理可得w w w k s5 u c 1 1 33 2 2 1 y FM x 2 2 33 2 2 1 y FN x o m 0 FM FN A 当直线BC与x轴垂直时 易得 0w w w k s5 u c o mFM FN A 综上 0 即FM FN 故以线段MN为直径的圆经过点F FM FN A 3 评注 评注 这类问题一般结论都不确定或不惟一 常需由特殊出发 归纳 引申 推广到 一般情况 由浅人深 由特殊到一般 灵活运用归纳 类比 分类讨论等数学思想方法多 角度地进行探索 四 存在判断型四 存在判断型 由已知条件判断结论是否存在的探索性问题 这类题型常以适合某种条件的结论 存 在 不存在 是否存在 等语句表述 解答这类问题 一般是先对结论作出肯定 的假设 然后由此出发 结合已知条件进行推理论证 若导出合理的结论 则存在性随之 解决 若导出了矛盾 也就否定了存在性 例例 4 4 如图所示 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是棱 DD1的中点 求直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值 在棱 C1D1上是否存在一点 F 使 B1F 平面 A1BE 证明你的结论 解析解析 以 AB AD AA1分别为 x 轴 y 轴 z 轴 建立空间直角坐标系易求直线 BE 与平面 ABB1A1所成的角的正弦值为 2 3 设 x y z 是平面 A1BE 的一个法向量 则由 0 0 得 x z 0 nn 1 BAn BE x y z 0 取n 2 1 1 2 xz yz 2 z 得 2 1 2 设 F 是棱 C1D1上的点 则 F t 1 1 0 t 1 又 B1 1 0 1 111 1 1 0 A BEB FtB F 而平面 于是 n n 111 B F A BEB F A 平面0 1 1 0 2 1 2 02 1 10tt A 这说明在在棱 C1D1上存在一点 F 使 11 1 C D 2 tF 为的中点 11 C D的中点 B1F 平面 A1BE 评注 评注 这是一道立体几何型的开放探究题 解此类问题常用假设法 即 假设 推理 否定 或肯定 假设 得出结论 其实质上是先假设结论 再 执果索因 即判断 某一数学对象是否存在的问题 这类问题方法灵活 构思精巧 不但要求考生判断存在与 否 而且要对判断的合理性作出严格的数学证明 而且在高考中最为普遍 也最容易设置 只需将明确的 定性的结论改造成需要探索的 讨论的设问方式就可以了 五 类比推广型五 类比推广型 类比推理题 其特点是根据两个对象或两类事物之间存在着一些相同或相似的属性 猜测它们之间可能具有其它一些相同或相似的属性的思维方法 主要类型有 研究命题本 身 对命题进行拓广 探索解决问题的方法 对命题进行论证 穷举归纳 完善命题等三 类 由特殊到一般 是解决这类题型的思维主线 例例 5 5 观察下列等式 cos2a 2 1 2 cos a cos4a 8 8 1 4 cos a 2 cos a cos6a 32 48 18 1 6 cos a 4 cos a 2 cos a A D B C A1 D1 B1 C1 E 4 cos8a 128 256 160 32 1 8 cos a 6 cos a 4 cos a 2 cos a cos10a m 1280 1120 n p 1 10 cos a 8 cos a 6 cos a 4 cos a 2 cos a 可以推测 m n p 解析解析 因为所以 观察可得 1 22 3 82 5 322 7 1282 9 2512m 所以 m n p 962 400n 50p 例例 6 6 若数列满足 对任意的 只有有限个正整数使得成立 记 n anN m m an 这样的的个数为 则得到一个新数列 例如 若数列是m n a n a n a 则数列是 已知对任意的 1 2 3 n n a 0 1 2 1 n Nn 则 2 n an 5 a n a 解析解析 因为 而 所以 m 1 2 所以2 5 m a 2 n an 5 a 1 234 56789 10111213141516 0 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 a aaa aaaaa aaaaaaa 因为 所以 1 4 9 16 归纳得 1 a 2 a 3 a 4 a 2 n an 评注 评注 类比是创造性的 模仿 联想是 由此及彼 的思维跳跃 在开放题的教学中 引导学生将所求的问题与熟知的信息相类比 进行多方位的联想 将式子结构 运算法则 解题方法 问题的结论等引申 推广或迁移 可由已知探索未知 由旧知探索新知 这既 有利于培养学生的创新思维能力 又有利于提高学生举一反三 触类旁通的应变灵活性 六 方案设计型六 方案设计型 此类题型具有答案多元型和解法的多样性 解题时必须全方位 多层次 多角度地分 析条件和结论 尝试使用不同的方法 采用多种途径去探索与论证 力求保证解答过程的 严谨性和完备性 给出一些条件 利用条件设计出最优方案 例例 7 7 某港口 O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上 在小艇出发时 轮船位于港口 O 北偏西且与该港口相距 20 海里的 A 处 并以 30 海里 小时的航行速度30 沿正东方向匀速行驶 假设该小船沿直线方向以海里 小时的航行速度匀速行驶 经过 tv 小时与轮船相遇 1 若希望相遇时小艇的航行距离最小 则小艇航行速度的大小应为多少 2 假设小艇的最高航行速度只能达到 30 海里 小时 试设计航行方案 即确定航行方向 与航行速度的大小 使得小艇能以最短时间与轮船相遇 并说明理由 解析解析 5 由题意得10 3 AC 10 ACOCOC ACAC 故且对于线段上任意点P有O PO C 设 OD COD 0 90 10 3tanRt CODCD 则在中 10 3 cos 由于从出发到相遇 轮船与小艇所需要的时间分别为和 10 10 3tan 30 t 10 3 cos t v 所以 解得 10 10 3tan 30 10 3 cosv 15 33 30 sin 30 sin 30 2 vv 又故 当取得最小值 且最小值为 30 时 10 10 3tan 30 t 2 3 此时 在中 故可设计航行方案如下 航行方向为北偏东OAB 20OAOBAB 航行速度为 30 海里 小时 小艇能以最短时间与轮船相遇30 评注 评注 解决途径和解题方法超越常规 有一定的创造性成分 需要用观察 类比 联想 模拟等似真推理来探路 再借助逻辑思维进行严格的推理论证 这种试题要求考生 上下 求