新课标数学历年高考试题汇总及详细答案解析

2014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科 新课标卷理科 新课标卷 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设集合 M 0 1 2 N 则 2 320 x xx MN A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 答案 D 把 M 0 1 2 中的数 代入不等式经检验 x 1 2 满足 所以选 D 023 2 xx 2 设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称 则 1 z 2 z 1 2zi 1 2 z z A 5B 5 C 4 iD 4 i 答案 B 5 4 1 2 2 21 2211 Bzz izzziz 故选 关于虚轴对称 与 3 设向量 a b 满足 a b a b 则 a b 106 A 1B 2C 3D 5 答案 A 1 62 102 6 10 2222 Aba babababababa 故选联立方程解得 4 钝角三角形 ABC 的面积是 AB 1 BC 则 AC 1 2 2 A 5 B 5 C 2D 1 答案 B 5 cos2 4 3 ABC 4 4 3 4 2 2 sin 2 1 sin12 2 1 sin 2 1 222 ABC BbBaccabB BB BBBacS 故选解得 使用余弦定理 符合题意 舍去 为等腰直角三角形 不时 经计算当或 5 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是 0 75 连续两为优良的概率是 0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后 一天的空气质量为优良的概率是 A 0 8 B 0 75 C 0 6 D 0 45 答案答案 A 8 0 75 06 0 App p 故选解得则据题有 优良的概率为则随后一个空气质量也设某天空气质量优良 6 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1cm 图中粗线画出的是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到 则切削掉部分的体积与 原来毛坯体积的比值为 A B C D 17 27 5 9 10 27 1 3 答案答案 C 27 10 54 34 54 342 944 2 342 546 963 2 1 C v v 故选积之比削掉部分的体积与原体 体积 高为径为 右半部为大圆柱 半 高为小圆柱 半径加工后的零件 左半部 体积 高加工前的零件半径为 7 执行右图程序框图 如果输入的 x t 均为 2 则输出的 S A 4 B 5 C 6 D 7 答案答案 C 3 7 2 2 5 2 1 3 1 2 2 C KSM tx 故选 变量变化情况如下 8 设曲线 y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为 y 2x 则 a A 0 B 1 C 2 D 3 答案答案 D 3 2 0 0 0 1 1 1ln Daff x axfxaxxf 故选联立解得且 9 设 x y 满足约束条件 则的最大值为 70 31 0 350 xy xy xy 2zxy A 10 B 8 C 3 D 2 答案答案 B 8 2 5 07 013 2 Bz yxyxyxz 故选取得最大值 处的交点与在两条直线 可知目标函数三角形 经比较斜率 画出区域 可知区域为 10 设 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C 于 A B 两点 O 为 2 3yx 坐标原点 则 OAB 的面积为 A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 答案答案 D 4 9 4 3 2 1 6 3 2 2 3 32 2 3 3 4 3 22 3 4 3 22 2 2 OAB DnmS nmnmnnmm nBFmAFBA 故选 解得 直角三角形知识可得 则由抛物线的定义和 分别在第一和第四象限 设点 11 直三棱柱 ABC A1B1C1中 BCA 90 M N 分别是 A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 A B C D 1 10 2 5 30 10 2 2 答案答案 C 10 30 56 41 0 cos 2 1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 1 2 0 2 2 2 0 2 111111 C ANBM ANBM ANBMNMBA CCBCACZYXCCACBC 故选 则轴 建立坐标系 令为 如图 分别以 12 设函数 若存在的极值点满足 则 m 3sin x f x m f x 0 x 2 22 00 xf xm 的取值范围是 A B C D 66 44 22 14 答案答案 C 2 3 4 3 4 2 3 3 sin3 2 22 2 0 2 0 0 2 0 Cmm mm xfx m xxf m x xf 故选解得 即的极值为 xx xxxf xxf fxfy 16 设点 M 1 若在圆 O 上存在点 N 使得 OMN 45 则的取值 0 x 22 1xy 0 x 范围是 答案答案 1 1 1 1 x 1 1 x 1 M x1 yO 00 0 故形外角知识 可得由圆的切线相等及三角 在直线上其中和直线在坐标系中画出圆 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列满足 1 n a 1 a 1 31 nn aa 证明是等比数列 并求的通项公式 1 2 n a n a 证明 12 3111 2 n aaa 答案答案 1 无无 2 无无 1 的等比数列 公比为是首项为3 2 3 2 1 2 1 2 1 3 2 1 13 2 1 a N n13 1 1 1n 11 aa aa aaa n nn nn 2 证毕 所以 时 当 知 由 2 31111 2 3 3 1 1 2 3 3 1 1 3 1 1 3 1 3 1 3 1 1 1111 3 1 1 3 21 1 1 1 1 3 21 2 1 3 2 3 2 1 1 321 1 21 321 1 1 Nn aaaa aaaa a n a a aa n n n n n nn n n n n n n n 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 证明 PB 平面 AEC 设二面角 D AE C 为 60 AP 1 AD 求三棱锥 E ACD 的体积 3 答案答案 1 无无 2 无无 1 设 AC 的中点为 G 连接 EG 在三角形 PBD 中 中位线 EG PB 且 EG 在平面 AEC 上 所以 PB 平面 AEC 2 设 CD m 分别以 AD AB AP 为 X Y Z 轴建立坐标系 则 的体积为所以 三棱锥 的高即为三棱锥 面且的中点 则为设 解得 解得一个 则法向量为同理设平面 解得一个 则法向量为设平面 8 3 8 3 2 1 3 2 3 2 1 3 1 3 1 2 1 2 2 3 2 1 33 3 cos 3 cos 3 3 0 0 0 1 0 0 0 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 3 2 1 0 2 3 0 0 3 0 0 0 22 22 22 22 2 222222 1 111111 ACDE EFSVACDE ACDEF EF PAEFPAADF m mmnn nn nn mmn AEnACnzyxnACE n AEnADnzyxnADE mACAEAD mCEDA ACDACDE y b 20 本小题满分 12 分 设 分别是椭圆的左右焦点 M 是 C 上一点且与 x 轴垂 1 F 2 F 2 2 22 10 y x ab ab 2 MF 直 直线与 C 的另一个交点为 N 1 MF 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 3 4 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 求 a b 1 5MNFN 答案答案 1 2 1 2 72 7 ba 1 2 1 2 1 02 32 4 3 2 1 4 3 2222 2 21 1 的离心率为解得 联立整理得 且由题知 Ce eecba ca b FF MF 2 72 7 72 7 1 4 2 3 2 3 4 422 222 1111 11 2 2 ba bacba a c eNFMFceaNFecaMF ccNM mMFmNF a b MF 所以 联立解得 且 由焦半径公式可得两点横坐标分别为 可得由两直角三角形相似 由题可知设 即知 由三角形中位线知识可 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x2 xx eex 讨论的单调性 f x 设 当时 求的最大值 24g xfxbf x 0 x 0g x b 已知 估计 ln2 的近似值 精确到 0 001 1 414221 4143 答案答案 1 0 2 1 2 2 1 2 2 上单增在所以 Rxf e e e eeexfRxxeexf x x x xxxxx 2 2 22 0 0 0 2 2 2 0 0 tt 0 x 2 2 2 0 0 0mm 0 x 2 2 2 0 2 2 2 0 2 4 4 22 0 0 mm 0 x 2 4 4 22 0 0 0 2 4 4 0 0 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 的最大值为 所以 即即 且 即即 使 则 同理 令 即 即 使 则令 bbeeeebee eeeebeeeeeebee xmeebeexm meebeexm eebee eebee xheebeexh hxxeebxeexh xxeebxeexbfxfxg xxxxxx xxxxxxxxxxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx xxxx 3 2 2 2ln 4 1 2 3 2 4 1 2 3 2 2ln 2 3 242ln6 2ln2 2 1 282ln2 2 1 2 2 ln8 2 ln 2 ln8 2ln2 02ln 8 2 2 2 2 2ln 0 2ln 2 2 2ln2 2 1 2 2 ln 0 2 ln 02ln 所以 即 解得 即即 则令知 由解得 即则设 ff ffxxfxf ffx 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 同按所做的第一题计分 做答时请 写清题号 22 本小题满分 10 选修 4 1 几何证明选讲 如图 P 是O 外一点 PA 是切线 A 为切点 割线 PBC 与O 相交于 点 B C PC 2PA D 为 PC 的中点 AD 的延长线交O 于点 E 证明 BE EC AD DE 2 2 PB 答案答案 1 无无 2 无 无 1 EC BEBE CE BE BE BE DEB PDA AE CE EB 2 所以 即即 则连接 为等腰三角形 DBDD DPADBADPABBCEPAB BBDPABAB PADPDPADCPDPAPC 2 2 2 2PA PA PAPB PB PA PADCBD PADC BDDEAD PBPBPBPB PCPBPCPB PADCPDPCPB 23 本小题满分 10 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 以坐标原点为极点 x 轴为极轴建立极坐标系 半圆 C 的极坐标方 程为 2cos 0 2 求 C 的参数方程 设点 D 在 C 上 C 在 D 处的切线与直线垂直 根据 中你得到 32l yx 的参数方程 确定 D 的坐标 所以 D 点坐标为或 3 1 1 22 31 1 22 24 本小题满分 10 选修 4 5 不等式选讲 设函数 f x 1 0 xxa a a 证明 2 f x 若 求的取值范围 35f a 2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国理科数学年普通高等学校招生全国统一考试全国理科数学 1 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 答题前 考生务必将自己的 姓名 准考证号填写在答题卡上 2 回答第 卷时 选出每个小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如 需改动 用橡皮搽干净后 再选涂其他答案标号 写在本试卷上无效 3 回答第 卷时 将答案写在答题卡上 答在本试题上无效 4 考试结束 将本试题和答题卡一并交回 第 卷 一 选择题 共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每个小题给出的四个选项中 只有一 项是符合题目要求的一项 1 已知集合 A B 2 2 则 x 2 230 xx xxAB 2 1 1 2 1 1 1 2 ABCD 答案 A 2 3 2 1 1 i i A1 i B1 i C1 i D1 i 答案 D 3 设函数 的定义域都为 R 且是奇函数 是偶函数 则下列结论 f x g x f x g x 正确的是 是偶函数 是奇函数A f x g xB f x g x 是奇函数 是奇函数C f x g xD f x g x 答案 C 4 已知是双曲线 的一个焦点 则点到的一条渐近线的FC 22 3 0 xmym m FC 距离为 3 A3BC3mD3m 答案 A 5 4 位同学各自在周六 周日两天中任选一天参加公益活动 则周六 周日都有同学参加公 益活动的概率 A 1 8 B 3 8 C 5 8 D 7 8 答案 D 6 如图 圆 O 的半径为 1 A 是圆上的定点 P 是圆上的动点 角的始边为射线x 终边为射线 过点作直线的垂线 垂足为 将点到直线OAOPPOAMM 的距离表示为的函数 则 在 0 上的图像大致为OPx f xy f x 答案 选 C 1 cos sin sin2 2 f xxxx 7 执行下图的程序框图 若输入的分别为 1 2 3 则输出的 a b kM A 20 3 B 16 5 C 7 2 D 15 8 答案 D 8 设 且 则 0 2 0 2 1 sin tan cos A3 2 B2 2 C3 2 D2 2 答案 1 cos 1 sin1 2 tan cos sin tan 242 又因 所以 变形后选 B 0 2 0 2 422 9 不等式组的解集记为 有下面四个命题 1 24 xy xy D 1 p 22x yD xy 2 p 22x yD xy 3 p 23x yD xy 4 p 21x yD xy 其中真命题是 A 2 p 3 pB 1 p 4 pC 1 p 2 pD 1 p 3 p 答案 C 10 已知抛物线 的焦点为 准线为 是 上一点 是直线与的C 2 8yx FlPlQPFC 一个交点 若 则 4FPFQ QF 3 2A 7 2 B 5 2 CD 答案 D 11 已知函数 f x 32 31axx 若存在唯一的零点 且 0 则的取值范围为 f x 0 x 0 xa 2 2 1 1 ABCD 答案 取 a 2 研究的性质后知有两个零点不符合题意 故排除 C f x f x 取 a 3 则有唯一零点 但零点小于 0 故排除 A f x 取时有两个零点 故排除 D 2a f x 于是选 B 12 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 粗实线画出的是某多面体的三视图 则该多面体 的六条棱中 最长的棱的长度为 6 4A6 2B4 2CD 答案 该多面体是一个三棱锥 S ABC 其中 底面 ABC 为等腰三角形 AC BC AB 4 侧棱 SA 垂直底面 ABC 且 SA 4 于是可算出最长棱长为 SB SC 6 2 5 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两个部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个考生都必须作 答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 本大题共四小题 每小题二 填空题 本大题共四小题 每小题5分 分 13 的展开式中的系数为 用数字填写答案 8 xy xy 27 x y 答案 20 14 甲 乙 丙三位同学被问到是否去过 A B C 三个城市时 甲说 我去过的城市比乙多 但没去过 B 城市 乙说 我没去过 C 城市 丙说 我们三人去过同一个城市 由此可判断乙去过的城市为 答案 三人必定都去过 A 城 故可判断乙去过 A 城 15 已知 A B C 是圆 O 上的三点 若 则与的夹角为 1 2 AOABAC AB AC 答案 90 16 已知分别为的三个内角的对边 2 且 a b cABC A B Ca 则面积的最大值为 2 sinsin sinbABcbC ABC 答案 3 三三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列 的前项和为 n an n S 1 其中为常数 1 a0 n a 1 1 nnn a aS 证明 2nn aa 是否存在 使得 为等差数列 并说明理由 n a 证明 1 1 1 nnn a aS 121 1 nnn aaS 由 得 121 nnnn aaaa 所以 0 n anN 1 0 n a 2nn aa 假设 为等差数列 公差为 d 则 n a 2 1 1 22 nn dd adnd Snn 因为对恒成立 所以 1 1 nnn a aS nN 对恒成立 2 1 1 1 1 22 dd dnd dnnn nN 即 对恒成立 222 2 1 1 1 22 dd d ndd ndnn nN 则 解得 2 2 2 1 2 11 d d d dd d 4 2d 所以存在使得 为等差数列 2 n a 18 本小题满分 12 分 从某企业的某种产品中抽取 500 件 测量这些产品的一项质量指标 值 由测量结果得如下频率分布 直方图 求这 500 件产品质量指标值 的样本平均数和样本方差x 同一组数据用该区间的中点 2 s 值作代表 由频率分布直方图可以认 为 这种产品的质量指标值服从正态分布 其中近似为样本平均数 Z 2 N x 近似为样本方差 2 2 s i 利用该正态分布 求 187 8212 2 PZ ii 某用户从该企业购买了 100 件这种产品 记表示这 100 件产品中质量指标值为于X 区间 187 8 212 2 的产品件数 利用 i 的结果 求 EX 附 12 2 150 若 则 0 6826 0 9544 Z 2 N PZ 22 PZ 解 1 170 0 02 180 0 09 190 0 22200 0 33210 0 24220 0 08230 0 02200 x 2222222 300 02200 09 100 220 0 33 100 24200 08300 02150s i 由 1 知 所以 0 6828200 15012 2 187 8212 2 PZ ii 由已知得 于是 100 0 6828 XB 100 0 682868 28EX 19 本小题满分 12 分 如图三棱锥中 侧面为菱形 111 ABCABC 11 BBC C 1 ABBC 证明 1 ACAB 若 AB BC 求二 1 ACAB o 1 60CBB 面角的余弦值 111 AABC 解 因为侧面为菱形 11 BBC C 所以 设垂足为 O 则点 O 为的中点 11 BCBC 1 BC 又因 所以平面 AB 而在平面 AB内 于是有 1 BCAB 1 BC 1 COA 1 C 1 BCOA 于是 AC 1 AB 在菱形中 则有为等边三角形 设 BC 2 则 11 BBC C o 1 60CBB 1 BBC OC 1 OB 3 在中 2 所以 OA 1 1 ACB 1 ACAB 1 ACAB 1 CB 又因 AB BC 2 所以为直角三角形 AOB OAOB 又因 OB 于是可以 OB O OA 为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 1 OB 1 OAOB 1 B A 0 0 1 C 0 1 0 1 0 B 1 3 0 0 C 1 0 因为于是 11 AACC 1 3 1 1 A 平面的法向量 平面的法向量为 11 AAB 1 3 3 m 111 ABC 1 3 3 n 于是法向量夹角余弦为 1 7 由于二面角为锐角 所以二面角的余弦为 111 AABC 111 AABC 1 7 20 本小题满分 12 分 已知点 0 2 椭圆 的离心率为AE 22 22 1 0 xy ab ab 是椭圆的焦点 直线的斜率为 为坐标原点 3 2 FAF 2 3 3 O 求的方程 E 设过点的直线 与相交于两点 当的面积最大时 求 的方程 AlE P QOPQ l 解 由椭圆 E 的离心率为得 3 2 3 2 c a 因为直线 AF 的斜率为 且得 所以 c 2 3 3 0 2 0 AF c 22 3 3c 3 于是 a 2 b 1 椭圆 E 的方程为 2 2 1 4 x y 设直线 的方程为 l 2 xm y 1122 P x yQ xy 由方程组得 22 44 2 xy xm y 2222 4 4440mym ym 则有 22 1212 22 44 1 44 mm yyy y mm 于是 42 22 12 22222 1616 1 16 43 4 4 4 mm yym mmm 而其中 2 12 2 14 2 43 24 OPQ m Smyym m 2 2 43 4 4 tt t 2 tm 设 利用判别式法 求出的最大值是 2 2 43 4 tt g t t g t 4 7 g 1 16 于是的最大值为 且此时 直线 l 的方程为或 OPQ S 1 4 2 7 m 7 2 2 yx 7 2 2 yx 21 本小题满分 12 分 设函数 曲线在点 1 处的 1 ln x x be f xaex x yf x 1 f 切线为 求 证明 1 2ye x a b 1f x 解 1 由已知得 而 1 2 1 f fe 1 2 1 ln 1 x xx be fxaexaex xx 于是 2 1 b a 由 得 要证需证 1 2 ln x x e f xex x 1f x 1 ln2 xx xexex 需证 2 ln x x xx ee 设 2 lng xxx e x x h x e 利用导数研究两函数性质 知在上存在最小值 g x 0 1 g e 1 e 在上存在最大值 h x 0 1 h 1 e 于是在上必定有恒成立 0 g xh x 于是 1f x 点评 化复杂函数为简单函数 是我们处理这一问题的关键 请考生从第 请考生从第 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果 多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框方框 涂黑 涂黑 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 四边形 ABCD 是 O 的内接四边形 AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E 且 CB CE 证明 D E 设 AD 不是 O 的直径 AD 的中点为 M 且 MB MC 证明 ADE 为等边三角 形 答案 D CBE E 2 利用可证 D A E 从而得出 ADE 为等边三角形 AMBDMC 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 已知曲线 直线 为参数 C 22 1 49 xy l 2 22 xt yt t 写出曲线的参数方程 直线 的普通方程 Cl 过曲线上任一点作与 夹角为的直线 交 于点 求的最大值与最CPl o 30lA PA 小值 答案 1 曲线 C 的参数方程为 其中为参数 2cos 3sin x y 直线 l 的普通方程为 260 xy 设点 P 点 P 到直线 l 的距离为 d 则 2cos 3sin 4cos3sin6 22 5 PAd 设 4cos3sin6 0 2 f 由的值域为 于是的最大值为 最小值为 f 11 1 PA 22 5 2 5 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 若 且 0 0ab 11 ab ab 求的最小值 33 ab 是否存在 使得 并说明理由 a b236ab 解 由得 而 所以 11 ab ab abab ab 2abab 2ab 当且仅当时取等号 2ab 而当且仅当时取等号 33 24 2abab ab 2ab 于是的最小值为 33 ab 4 2 因为 所以0 0ab 232 64 36abab 于是不能存在 使得 a b236ab 20132013 年普通高等学校数学年普通高等学校数学 全国新课标卷全国新课标卷 II II 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只分 在每小题给出的四个选项中 只 有一项是符合题目要求的 有一项是符合题目要求的 1 2013 课标全国 理 1 已知集合M x x 1 2 4 x R R N 1 0 1 2 3 则M N A 0 1 2 B 1 0 1 2 C 1 0 2 3 D 0 1 2 3 2 2013 课标全国 理 2 设复数z满足 1 i z 2i 则z A 1 i B 1 I C 1 i D 1 i 3 2013 课标全国 理 3 等比数列 an 的前n项和为Sn 已知 S3 a2 10a1 a5 9 则a1 A B C D 1 3 1 3 1 9 1 9 4 2013 课标全国 理 4 已知m n为异面直线 m 平面 n 平面 直线l满足l m l n l l 则 A 且 l B 且 l C 与 相交 且交线垂直于 l D 与 相交 且交线平行于 l 5 2013 课标全国 理 5 已知 1 ax 1 x 5的展开式中x2 的系数为 5 则a A 4 B 3 C 2 D 1 6 2013 课标全国 理 6 执行下面的程序框图 如果输入的 N 10 那么输出的S A 111 1 2310 B 111 1 2 3 10 C 111 1 2311 D 111 1 2 3 11 7 2013 课标全国 理 7 一个四面体的顶点在空间直角坐标系 O xyz中的坐标分别是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 画 该四面体三视图中的正视图时 以zOx平面为投影面 则得到的正 视图可以为 8 2013 课标全国 理 8 设a log36 b log510 c log714 则 A c b a B b c a C a c b D a b c 9 2013 课标全国 理 9 已知a 0 x y满足约束条件 若z 2x y的最小值为 1 则a 1 3 3 x xy ya x A B C 1 D 2 1 4 1 2 10 2013 课标全国 理 10 已知函数f x x3 ax2 bx c 下 列结论中错误的是 A x0 R f x0 0 B 函数 y f x 的图像是中心对称图形 C 若 x0 是 f x 的极小值点 则 f x 在区间 x0 单调递 减 D 若 x0 是 f x 的极值点 则 f x0 0 11 2013 课标全国 理 11 设抛物线C y2 2px p 0 的焦点为 F 点M在C上 MF 5 若以MF为直径的圆过点 0 2 则C的 方程为 A y2 4x 或 y2 8x B y2 2x 或 y2 8x C y2 4x 或 y2 16x D y2 2x 或 y2 16x 12 2013 课标全国 理 12 已知点A 1 0 B 1 0 C 0 1 直线y ax b a 0 将 ABC分割为面积相等的两部分 则b的取 值范围是 A 0 1 B C 2 1 1 22 2 1 1 23 D 1 1 3 2 第第 卷卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每 个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要 求做答 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 4 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 分 13 2013 课标全国 理 13 已知正方形ABCD的边长为 2 E 为CD的中点 则 AE BD 14 2013 课标全国 理 14 从n个正整数 1 2 n中任 意取出两个不同的数 若取出的两数之和等于 5 的概率为 则 1 14 n 15 2013 课标全国 理 15 设 为第二象限角 若 则 sin cos 1 tan 42 16 2013 课标全国 理 16 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知S10 0 S15 25 则nSn的最小值为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 2013 课标全国 理 17 本小题满分 12 分 ABC的内角 A B C的对边分别为a b c 已知a bcos C csin B 1 求B 2 若b 2 求 ABC面积的最大值 18 2013 课标全国 理 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 D E分别是AB BB1的中点 AA1 AC CB 2 2 AB 1 证明 BC1 平面A1CD 2 求二面角D A1C E的正弦值 19 2013 课标全国 理 19 本小题满分 12 分 经销商 经销某种农产品 在一个销售季度内 每售出 1 t 该产品 获利润 500 元 未售出的产品 每 1 t 亏损 300 元 根据历史资料 得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图 如图所示 经销商 为下一个销售季度购进了 130 t 该农产 品 以X 单位 t 100 X 150 表示下一 个销售季度内的市场需求量 T 单位 元 表示下一个销售季度内经 销该农产品的利润 1 将T表示为X的函数 2 根据直方图估计利润T不少于 57 000 元的概率 3 在直方图的需求量分组中 以各组的区间中点值代表该组的各个 值 并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概 率 例如 若需求量X 100 110 则取X 105 且X 105 的概率 等于需求量落入 100 110 的频率 求T的数学期望 20 2013 课标全国 理 20 本小题满分 12 分 平面直角坐标系 xOy中 过椭圆M a b 0 右焦点的直线交 22 22 1 xy ab 30 xy M于A B两点 P为AB的中点 且OP的斜率为 1 2 1 求M的方程 2 C D为M上两点 若四边形ACBD的对角线CD AB 求四边形 ACBD面积的最大值 21 2013 课标全国 理 21 本小题满分 12 分 已知函数f x ex ln x m 1 设x 0 是f x 的极值点 求m 并讨论f x 的单调性 2 当m 2 时 证明f x 0 请考生在第 22 23 24 题中任选择一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 做答时请写清题号 22 2013 课标全国 理 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何 证明选讲 如图 CD为 ABC外接圆的切线 AB的延长线交直线CD于点 D E F分别为弦AB与弦AC上的点 且 BC AE DC AF B E F C四点共圆 1 证明 CA是 ABC外接圆的直径 2 若DB BE EA 求过B E F C四点的圆的面积与 ABC外接 圆面积的比值 23 2013 课标全国 理 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标 系与参数方程 已知动点P Q都在曲线C t为参数 上 对应参数分别 2cos 2sin xt yt 为t 与t 2 0 2 M为PQ的中点 1 求M的轨迹的参数方程 2 将M到坐标原点的距离d表示为 的函数 并判断M的轨迹是 否过坐标原点 24 2013 课标全国 理 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等 式选讲 设a b c均为正数 且a b c 1 证明 1 ab bc ac 1 3 2 222 1 abc bca 20132013 年普通高等学校数学年普通高等学校数学 全国新课标卷全国新课标卷 II II 第第 卷卷 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 1212 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个分 在每小题给出的四个 选项中 只有一项是符合题目要求的 选项中 只有一项是符合题目要求的 1 答案 答案 A 解析 解析 解不等式 x 1 2 4 得 1 x 3 即 M x 1 x 3 而N 1 0 1 2 3 所以M N 0 1 2 故选 A 2 答案 答案 A 解析 解析 1 i 2i2i 1 i 1 i1 i 1 i z 22i 2 3 答案 答案 C 解析 解析 设数列 an 的公比为q 若q 1 则由a5 9 得a1 9 此 时S3 27 而a2 10a1 99 不满足题意 因此q 1 q 1 时 S3 a1 q 10a1 3 1 1 1 aq q q 10 整理得q2 9 3 1 1 q q a5 a1 q4 9 即 81a1 9 a1 1 9 4 答案 答案 D 解析 解析 因为m l m l 所以l 同理可得l 又因为m n为异面直线 所以 与 相交 且l平行于它们的交 线 故选 D 5 答案 答案 D 解析 解析 因为 1 x 5的二项展开式的通项为 0 r 5 r Z Z 5 Cr r x 则含x2的项为 ax 10 5a x2 所以 22 5 C x 1 5 C x 10 5a 5 a 1 6 答案 答案 B 解析 解析 由程序框图知 当k 1 S 0 T 1 时 T 1 S 1 当k 2 时 1 2 T 1 1 2 S 当k 3 时 1 2 3 T 11 1 22 3 S 当k 4 时 1 2 3 4 T 111 1 22 32 3 4 S 当k 10 时 k增加 1 变为 1 2 3 410 T 111 1 2 3 10 S 11 满足k N 输出S 所以 B 正确 7 答案 答案 A 解析 解析 如图所示 该四面体在空间直角坐标系O xyz的图像为下图 则它在平面zOx上的投影即正视图为 故选 A 8 答案 答案 D 解析 解析 根据公式变形 lg6lg2 1 lg3lg3 a lg10lg2 1 lg5lg5 b 因为 lg 7 lg 5 lg 3 所以 lg14lg2 1 lg7lg7 c 即c b a 故选 D lg2lg2lg2 lg7lg5lg3 9 答案 答案 B 解析 解析 由题意作出所表示的区域如图阴 1 3 x xy 影部分所示 作直线 2x y 1 因为直线 2x y 1 与直线x 1 的交点坐标为 1 1 结合题意知直线y a x 3 过点 1 1 代入得 1 2 a 所以 1 2 a 10 答案 答案 C 解析 解析 x0是f x 的极小值点 则y f x 的图像大 致如下图所示 则在 x0 上不单调 故 C 不正 确 11 答案 答案 C 解析 解析 设点M的坐标为 x0 y0 由抛物线的定义 得 MF x0 5 则x0 5 2 p 2 p 又点F的坐标为 所以以MF为直径的圆的方程为 x x0 0 2 p y y0 y 0 2 p x 将x 0 y 2 代入得px0 8 4y0 0 即 4y0 8 0 所以 2 0 2 y y0 4 由 2px0 得 解之得p 2 或p 8 2 0 y1625 2 p p 所以C的方程为y2 4x或y2 16x 故选 C 12 答案 答案 B 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每 个试题考生都必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 答案 答案 2 解析 解析 以AB所在直线为x轴 AD所在直线为y轴建立 平面直角坐标系 如图所示 则点A的坐标为 0 0 点B的坐标为 2 0 点D的坐标为 0 2 点E的坐 标为 1 2 则 1 2 2 2 所以AE BD 2AE BD 14 答案 答案 8 解析 解析 从 1 2 n中任取两个不同的数共有种取法 两数之和 2 Cn 为 5 的有 1 4 2 3 2 种 所以 即 2 21 C14 n 241 1 114 2 n n n n 解得n 8 15 答案 答案 10 5 解析 解析 由 得 tan 即 sin 1tan1 tan 41tan2 1 3 cos 1 3 将其代入 sin2 cos2 1 得 2 10 cos1 9 因为 为第二象限角 所以 cos sin sin 3 10 10 10 10 cos 10 5 16 答案 答案 49 解析 解析 设数列 an 的首项为a1 公差为d 则 S10 10a1 45d 0 1 10 9 10 2 ad S15 15a1 105d 25 1 15 14 15 2 ad 联立 得a1 3 2 3 d 所以Sn 2 1 2110 3 2333 n n nnn 令f n nSn 则 32 110 33 f nnn 2 20 3 fnnn 令f n 0 得n 0 或 20 3 n 当时 f n 0 时 f n 0 所以当时 20 3 n 20 0 3 n 20 3 n f n 取最小值 而n N N 则f 6 48 f 7 49 所以当 n 7 时 f n 取最小值 49 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 解 1 由已知及正弦定理得 sin A sin Bcos C sin Csin B 又A B C 故 sin A sin B C sin Bcos C cos Bsin C 由 和C 0 得 sin B cos B 又B 0 所以 4 B 2 ABC的面积 12 sin 24 SacBac 由已知及余弦定理得 4 a2 c2 2cos 4 ac 又a2 c2 2ac 故 当且仅当a c时 等号成立 4 22 ac 因此 ABC面积的最大值为 2 1 18 解 1 连结AC1交A1C于点F 则F为AC1中点 又D是AB中点 连结DF 则BC1 DF 因为DF 平面A1CD BC1平面A1CD 所以BC1 平面A1CD 2 由AC CB 得 AC BC 2 2 AB 以C为坐标原点 的方向为x轴正方向 建立如图所示的空间直CA 角坐标系C xyz 设CA 2 则D 1 1 0 E 0 2 1 A1 2 0 2 1 1 0 CD 0 2 1 2 0 2 CE 1 CA 设n n x1 y1 z1 是平面A1CD的法向量 则即 1 0 0 CD CA n n 11 11 0 220 xy xz 可取n n 1 1 1 同理 设m m是平面A1CE的法向量 则可取m m 2 1 2 1 0 0 CE CA m m 从而 cos n n m m 3 3 n m n m 故 sin n n m m 6 3 即二面角D A1C E的正弦值为 6 3 19 解 1 当X 100 130 时 T 500X 300 130 X 800X 39 000 当X 130 150 时 T 500 130 65 000 所以 80039000 100130 65000 130150 XX T X 2 由 1 知利润T不少于 57 000 元当且仅当 120 X 150 由直方图知需求量X 120 150 的频率为 0 7 所以下一个销售季 度内的利润T不少于 57 000 元的概率的估计值为 0 7 3 依题意可得T的分布列为 T 45 000 53 000 61 000 65 000 P0 10 20 30 4 所以ET 45 000 0 1 53 000 0 2 61 000 0 3 65 000 0 4 59 400 20 解 1 设A x1 y1 B x2 y2 P x0 y0 则 22 11 22 1 xy ab 22 22 22 1 xy ab 21 21 1 yy xx 由此可得 2 2121 2 2121 1 bxxyy ayyxx 因为x1 x2 2x0 y1 y2 2y0 0 0 1 2 y x 所以a2 2b2 又由题意知 M的右焦点为 0 故a2 b2 3 3 因此a2 6 b2 3 所以M的方程为 22 1 63 xy 2 由 22 30 1 63 xy xy 解得或 4 3 3 3 3 x y 0 3 x y 因此 AB 4 6 3 由题意可设直线CD的方程为 y 5 3 3 3 xnn 设C x3 y3 D x4 y4 由得 3x2 4nx 2n2 6 0 22 1 63 yxn xy 于是x3 4 2 22 9 3 nn 因为直线CD的斜率为 1 所以 CD 2 43 4 2 9 3 xxn 由已知 四边形ACBD的面积 2 18 6 9 29 SCDABn 当n 0 时 S取得最大值 最大值为 8 6 3 所以四边形ACBD面积的最大值为 8 6 3 21 解 1 f x 1 ex xm 由x 0 是f x 的极值点得f 0 0 所以m 1 于是f x ex ln x 1 定义域为 1 f x 1 e 1 x x 函数f x 在 1 单调递增 且f 0 0 1 e 1 x x 因此当x 1 0 时 f x 0 当x 0 时 f x 0 所以f x 在 1 0 单调递减 在 0 单调递增 2 当m 2 x m 时 ln x m ln x 2 故只需证 明当m 2 时 f x 0 当m 2 时 函数f x 在 2 单调递增 1 e 2 x x 又f 1 0 f 0 0 故f x 0 在 2 有唯一实根x0 且x0 1 0 当x 2 x0 时 f x 0 当x x0 时 f x 0 从而当x x0时 f x 取得最小 值 由f x0 0 得 ln x0 2 x0 0 ex 0 1 2x 故f x f x0 x0 0 0 1 2x 2 0 0 1 2 x x 综上 当m 2 时 f x 0 请考生在第 22 23 24 题中任选择一题作答 如果多做 则按所做 的第一题计分 做答时请写清题号 22 解 1 因为CD为 ABC外接圆的切线 所以 DCB A 由题设知 BCDC FAEA 故 CDB AEF 所以 DBC EFA 因为B E F C四点共圆 所以 CFE DBC 故 EFA CFE 90 所以 CBA 90 因此CA是 ABC外接圆的直径 2 连结CE 因为 CBE 90 所以过B E F C四点的圆的直 径为CE 由DB BE 有CE DC 又BC2 DB BA 2DB2 所以 CA2 4DB2 BC2 6DB2 而DC2 DB DA 3DB2 故过B E F C四点的圆的面积与 ABC外 接圆面积的比值为 1 2 23 解 1 依题意有P 2cos 2sin Q 2cos 2 2sin 2 因此M cos cos 2 sin sin 2 M的轨迹的参数方程为 为参数 0 2 coscos2 sinsin2 x y 2 M点到坐标原点的距离 0 2 22 22cosdxy 当 时 d 0 故M的轨迹过坐标原点 24 解 1 由a2 b2 2ab b2 c2 2bc c2 a2 2ca 得a2 b2 c2 ab bc ca 由题设得 a b c 2 1 即a2 b2 c2 2ab 2bc 2ca 1 所以 3 ab bc ca 1 即ab bc ca 1 3 2 因为 2 2 a ba b 2 2 b cb c 2 2 c ac a 故 2 a b c 222 abc abc bca