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中 国 科 学 技 术 大 学20092010学年第1学期考试试卷考试科目:线性代数得分:学生所在系:姓名:学号一、 填空题（每题5分，共40分）（1）.（2）向量生成的的子空间的维数等于。（3）设阶方阵A满足，其中I是单位阵，则 .（4）设，则的全体特征值为。（5）设是正定矩阵，则的取值范围是。（6）每个元素的绝对值都相等的实二阶正交阵一共有个。（7）设矩阵与相似，则 ， .（8）设是赋予通常内积的三维欧氏空间, 是长度为1的向量, 是由方程 给定的平面. 设线性变换A把中的向量映为它在平面上的投影向量, 那么A在标准正交基 之下的矩阵是_.二、解答题（共60分）1（10分）问为何值时，线性方程组.有唯一解、无解或有无穷多解？并在有无穷多解时求其通解。2（10分）设是数域上的阶方阵的不同特征值，是的属于的线性无关的特征向量，。证明：向量组线性无关。3（10分）设为欧氏空间中的向量。证明：线性无关的充分必要条件是矩阵为正定阵，其中是中的内积。4（15分）用正交变换化二次型为标准形，并指出曲面的类型。5.（15分）设。（1）证明是实数域上的线性空间，并求的维数。（2）设线性变换。求的一组基使在这组基下的矩阵为
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