【志鸿全优设计】2013-2014学年高中数学 第二章 第3节函数的单调性目标导学 北师大版必修1

1 3 3 函数的单调性函数的单调性 1 理解函数单调性的定义 2 会用函数单调性的定义判断函数的单调性 3 能从给定的函数图像上直观得出函数的单调性及单调区间 1 增函数 1 定义 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两数 x1 x2 A 当x1 x2时 都有 那么 就称函数y f x 在区间A上是增加的 有时也称函数y f x 在区间A上是递增的 设x1 x2 A x1 x2 f x 在A上是增加的 x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x1 f x2 x1 x2 2 几何意义 函数f x 的图像在区间A上是 的 3 图示 如图所示 做一做 1 下列命题正确的是 A 定义在 a b 上的函数f x 如果存在x1 x2 a b 使得x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数 B 定义在 a b 上的函数f x 如果有无穷多对x1 x2 a b 使得x1 x2时 有f x1 f x2 那么f x 在 a b 上为增函数 C 如果f x 在区间I1上为增函数 在区间I2上也为增函数 那么f x 在I1 I2上 也一定为增函数 D 如果f x 在区间I上为增函数且f x1 f x2 x1 x2 I 那么x1 x2 2 减函数 1 定义 在函数y f x 的定义域内的一个区间A上 如果对于任意两数 x1 x2 A 当x1 x2时 都有 那么 就称函数y f x 在区间A上是减少的 有时也称函数y f x 在区间A上是递减的 设x1 x2 A x1 x2 f x 在A上是减少的 x1 x2 f x1 f x2 0 0 f x1 f x2 x1 x2 2 几何意义 函数f x 的图像在区间A上是 的 2 3 图示 如图所示 做一做 2 1 设函数f x 2a 1 x b是 R R 上的减函数 则有 A a B a C a D a 1 2 1 2 1 2 1 2 做一做 2 2 函数f x 在 R R 上是减函数 则有 A f 3 f 5 B f 3 f 5 C f 3 f 5 D f 3 f 5 3 单调性 1 定义 如果函数y f x 在定义域的某个子集上是 或是 那么就称函 数y f x 在这个子集上具有单调性 如果函数y f x 在 内是增加的或是减少 的 我们分别称这个函数为增函数或减函数 统称为单调函数 2 几何意义 函数f x 的图像在区间A上是 或 的 一个函数出现两个或者两个以上单调区间时 不能用 而应该用 和 来表 示 如函数y 其定义域为 0 0 不能说函数在 0 1 x 0 上递减 而只能说函数在 0 和 0 上递减 书写函数的单调区间时 区间端点的开或闭没有严格规定 习惯上 若函数在区间端 点处有定义 则写成闭区间 当然写成开区间也可以 若函数在区间端点处没有定义 则 必须写成开区间 做一做 3 1 函数y x2的单调增区间为 A 0 B 0 C 1 D 做一做 3 2 已知函数y f x 的图像如图所示 则它的单调减区间为 4 最大值和最小值 1 定义 一般地 对于函数y f x 其定义域为D 如果存在x0 D f x0 M 使得对于任意的x D 都有f x M 或f x M 那么 我们称M是函数y f x 的最大 小 值 即当x x0时 f x0 是函数y f x 的最大 小 值 记作ymax f x0 或 ymin f x0 2 几何意义 函数y f x 的最大 小 值是其图像上最高 低 点的纵坐标 3 做一做 4 函数f x x 1 在区间 3 6 上的最大值和最小值分别是 A 6 3 B 5 2 C 9 3 D 7 4 答案 答案 1 1 f x1 f x2 2 上升 做一做 1 D A B 项中的x1 x2不具有任意性 C 项中f x 在I1和I2上均为增 函数 但在I1 I2上的单调性无法判定 2 1 f x1 f x2 2 下降 做一做 2 1 D f x 是 R R 上的减函数 2a 1 0 即a 1 2 做一做 2 2 C 函数f x 在 R R 上是减函数 3 5 f 3 f 5 3 1 增加的 减少的 整个定义域 2 上升 下降 做一做 3 1 A 做一做 3 2 和 3 2 1 2 做一做 4 B 函数f x x 1 在区间 3 6 上是增加的 则当 3 x 6 时 f 3 f x f 6 即 2 f x 5 所以最大值和最小值分别是 5 2 理解函数的单调性 剖析 剖析 函数的单调性刻画了函数的图像特征 它反映了函数图像的变化趋势 当自变量 增大时 函数值是增大还是减小 图像是上升还是下降 函数y f x 在区间D上是增函 数 减函数 等价于对于D中任意的两个自变量x1 x2且x1 x2 都有f x1 f x2 f x1 f x2 其中 任意 二字是关键 不能用具体的两个自变量代替 否则会产生 错误 比如函数f x 取x1 1 x2 1 f x1 1 f x2 1 f x1 f x2 如 1 x 果由此推出f x 是增函数就会产生错误 原因就在于x1 x2是定值 不具有任意性 1 x 另一方面 从反面考虑 由于存在x1 1 x2 1 f x1 1 f x2 1 f x1 f x2 我们可以下这样的结论 f x 在整个定义域上肯定不是减函数 由定义还可 1 x 以看出 函数的单调性是函数定义域内某个区间上的性质 因此它是一个局部的性质 并 且在考察单调性时 必须先看函数的定义域 如果一个函数有多个单调增 减 区间 这些 增 减 区间应该用逗号隔开 即 局部 而不能用并集的符号连接 并完之后就成了 整 体 例如f x 的单调减区间可以写成 0 0 或者写成 0 1 x 和 0 但不能写成 0 0 由于函数的单调性是反映函数图像变 化趋势的 所以在一点处没法讨论函数的单调性 比如函数y x2的单调增区间可以写成 0 也可以写成 0 但是如果定义域中不包含这个点 则必须使用开区间 表示 如果要证明一个函数的单调性 要严格按照定义进行 步骤如下 1 取值 在指定区间上任意取两个自变量x1 x2且x1 x2 2 变形 主要是配方或分解因式 通分等 3 定号 判断f x1 f x2 的符号 4 4 结论 由定义给出结论 题型一 判断或证明函数的单调性 例 1 证明函数f x x 在 0 1 上是减少的 1 x 分析 分析 在 0 1 上任取x1 x2 且x1 x2 只需证明f x1 f x2 即可 反思 反思 证明函数单调性 主要有 2 种方法 1 定义法 其步骤是 在所给的区间上任取两个自变量x1和x2 通常令 x1 x2 比较f x1 和f x2 的大小 通常是用作差比较法比较大小 此时比较它们大小 的步骤是作差 变形 看符号 再归纳结论 2 图像法 借助图像 依据函数单调性的几何意义来判断 此法适合客观题 选择题 和填空题 题型二 求函数的单调区间 例 2 画出函数y x2 2 x 3 的图像 并指出函数的单调区间 分析 分析 只需画出函数的图像 看曲线在哪些区间是上升的 在哪些区间是下降的 即 可确定函数的单调区间 反思 反思 利用函数图像确定函数的单调区间 具体做法是 先化简函数解析式 然后再 画出它的草图 最后根据函数定义域与草图的位置 状态 确定函数的单调区间 题型三 函数单调性的应用 例 3 已知函数f x 在区间 0 上是减函数 试比较f a2 a 1 与f的 3 4 大小 分析 分析 要比较两函数值的大小 需先比较自变量的大小 反思 反思 利用函数单调性的定义比较大小 一方面是正向应用 即若y f x 在给定区 间上是增函数 当x1 x2时 f x1 f x2 当x1 x2时 f x1 f x2 另一方面是逆向 应用 即若y f x 在给定区间上是增函数 当f x1 f x2 时 x1 x2 当f x1 f x2 时 x1 x2 当y f x 在给定区间上是减函数时 同理可得相应的结论 例 4 已知f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 2 f 1 x 求x的取值 范围 分析 分析 欲求x的取值范围 需由f x 2 f 1 x 得出x 2 与 1 x的大小关系 同 时要注意函数的定义域 反思 反思 解答此类问题的关键是充分利用函数的单调性 将函数值的不等关系转化为自 变量取值的不等关系 即将抽象不等式转化为具体不等式求解 题型四 单调性与最值的综合运用 例 5 已知函数y f x 对任意x y R R 均有f x f y f x y 且当x 0 时 f x 0 f 1 2 3 1 判断并证明f x 在 R R 上的单调性 2 求f x 在 3 3 上的最大 最小值 分析 分析 抽象函数的性质要紧扣定义 并同时注意特殊值的应用 反思 反思 证明函数的单调性 必须用定义严格证明 不能用特殊值去检验 判断函数的 最值 往往从单调性入手 5 题型五 易错辨析 易错点 对单调区间与在区间上单调两个概念理解错误 例 6 若函数y x a 在区间 4 上是减少的 则实数a的取值范围是 错解 解 函数y x a 的图像如图所示 由于函数在区间 4 上是减少的 因此 a 4 错因分析 错因分析 错解中把函数在区间 4 上是减少的误认为函数的单调减区间是 4 若把原题目改为 函数y x a 的单调减区间是 4 则a 4 符合题 意 答案 答案 例 1 证明 设 0 x1 x2 1 则 f x1 f x2 x1 1 x1 x2 1 x2 x1 x2 x1 x2 x2 x1 x1x2 1 1 x1x2 x1 x2 x1x2 1 x1x2 0 x1 x2 1 x1x2 1 0 x1 x2 0 则f x1 f x2 0 即f x1 f x2 f x x 在 0 1 上是减少的 1 x 例 2 解 解 y x2 2 x 3 Error 函数图像如图所示 函数在 1 和 0 1 上是增加的 函数在 1 0 和 1 上是减少的 所以函数的单调增区间是 1 和 0 1 单调减区间是 1 0 和 1 例 3 解 解 a2 a 1 2 a 1 2 3 4 3 4 与a2 a 1 都是区间 0 上的值 3 4 又 f x 在区间 0 上是减函数 6 f f a2 a 1 3 4 例 4 解 解 由题意可知Error 解得 1 x 2 f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 2 f 1 x x 2 1 x x 3 2 1 x 为满足题设条件的x的取值范围 3 2 例 5 解 解 1 令x y 0 可得f 0 0 令y x可得f x f x 在 R R 上任取x1 x2 则f x2 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 x2 x2 x1 0 又 x 0 时 f x 0 f x2 x1 0 即f x2 f x1 由定义可知f x 在 R R 上为单调递减函数 2 f x 在 R R 上是减函数 f x 在 3 3 上是减少的 f 3 最大 f 3 最小 f 3 f 2 f 1 f 1 f 1 f 1 3 2 2 3 f 3 f 3 2 即f x 在 3 3 上的最大值为 2 最小值为 2 例 6 正解 解 函数y x a 的图像如图所示 所以只要a 4 或a在 4 的右侧 都 能保证函数y x a 在区间 4 上是减少的 因此a 4 1 函数y x2 6x 10 在区间 2 4 上是 A 递减函数 B 递增函数 C 先递增再递减 D 先递减再递增 2 函数的单调递减区间是 6 y x A 0 B 0 C 0 0 D 0 0 3 下列函数中 在区间 0 2 上增加的是 A y 3 x B y x2 1 C y x2 D y x2 2x 3 4 函数f x x2 x 的单调递减区间是 5 求证 函数f x 在 1 上是减少的 1 1x 7 答案 答案 1 D 由函数图像可知 函数y x2 6x 10 在区间 2 4 上先递减再递增 选 D 2 C 由y 的图像知 选 C 6 x 3 B 排除法 选项 A y 3 x在 R R 上是减函数 选项 C y x2在 0 上是 减少的 选项 D y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 1 时