（7年真题推荐）山东省2007-2013年高考数学 真题分类汇编 立体几何

1 立体几何立体几何 一 选择题 一 选择题 1 08 山东卷 6 右图是一个几何体的三视图 根据图中数据 可得该几何体的表面积是 A 9 B 10 C 11 D 12 答案 D 2 2009 山东卷理 一空间几何体的三视图如图所示 则该几 何体的体积为 A 22 3 B 42 3 C 2 3 2 3 D 2 3 4 3 解析 该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的 圆柱的底面半径为 1 高为 2 体积为2 四棱锥的底面 边长为2 高为3 所以体积为 2 12 3 23 33 所以该几何体的体积为 2 3 2 3 答案 C 命题立意 本题考查了立体几何中的空间想象能力 由三视图能够想象得到空间的立体图 并能准确地 计算出 几何体的体积 3 2009 山东卷理 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的 一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的 一条直线 m 则 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充 分条件 答案 B 命题立意 本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 4 2009 山东卷文 已知 表示两个不同的平面 m 为平面 内的一条直线 则 是 m 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 解析 由平面与平面垂直的判定定理知如果 m 为平面 内的一条直线 m 则 2 2 侧 左 视图 2 2 2 正 主 视图 俯视图 2 反过来则不一定 所以 是 m 的必要不充分条件 答案 B 命题立意 本题主要考查了立体几何中垂直关系的判定和充分必要条件的概念 5 5 20102010 山东数 山东数 在空间 下列命题正确的是 A 平行直线的平行投影重合 B 平行于同一直线的两个平面平行 C 垂直于同一平面的两个平面平行 D 垂直于同一平面的两条直线平行 答案 D 解析 由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理可以得出答案 命题意图 考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质 属基础题 6 6 20112011 山东山东 1111 11 右图是长和宽分别相等的两个矩形 给定下列三个命题 存在三 棱柱 其正 主 视图 俯视图如下图 存在四棱柱 其正 主 视图 俯 视图如右图 存在圆柱 其正 主 视图 俯视图如右图 其中真命 题的个数是 A 3 B 2 C 1 D 0 答案 A 7 2012 山东卷文 13 如图 正方体的棱长为 1 E 为线段上 1111 ABCDABC D 1 BC 的一点 则三棱锥的体积为 1 ADED 答案 1 6 8 2013 山东理 4 已知三棱柱的侧棱与底面垂直 体积为 底面 111 ABCABC 9 4 是边长为的正三角形 若为底面的中心 则与平面所成角的大 3 P 111 ABC PAABC 小为 A B C D 5 12 3 4 6 答案 4 B 9 2013 山东文 4 一个四棱锥的侧棱长都相等 底面是正方形 其正 主 视图如右图所示 则该四棱锥侧面积和体积分别是 3 A 4 5 8 B 8 4 5 3 C 8 4 51 3 D 8 8 答案 4 B 二 解答题 二 解答题 1 08 山东卷 20 本小题满分 12 分 如图 已知四棱锥P ABCD 底面ABCD为菱形 PA 平 面ABCD E F分别是BC PC的中点 60ABC 证明 AE PD 若H为PD上的动点 EH与平面PAD所成最大角 的正切值为 求二面角E AF C的余弦值 6 2 证明 由四边形ABCD为菱形 ABC 60 可 得 ABC为正三角形 因为 E为BC的中点 所以AE BC 又 BC AD 因此AE AD 因为PA 平面ABCD AE平面ABCD 所以PA AE 而 PA平面PAD AD平面PAD 且PA AD A 所以 AE 平面PAD 又 PD平面PAD 所以 AE PD 解 设AB 2 H 为PD上任意一点 连接AH EH 由 知 AE 平面PAD 则 EHA为EH与平面PAD所成的角 在 Rt EAH中 AE 3 所以 当AH最短时 EHA最大 即 当AH PD时 EHA最大 此时 tan EHA 36 2 AE AHAH 因此 AH 又 AD 2 所以 ADH 45 2 所以 PA 2 解法一 因为 PA 平面ABCD PA平面PAC 所以 平面PAC 平面ABCD 过E作EO AC于O 则EO 平面PAC 过O作OS AF于S 连接ES 则 ESO为二面角E AF C的平面角 在 Rt AOE中 EO AE sin30 AO AE cos30 3 2 3 2 4 又 F 是 PC 的中点 在 Rt ASO中 SO AO sin45 3 2 4 又 22 3830 494 SEEOSO 在 Rt ESO中 cos ESO 3 2 15 4 530 4 SO SE 即所求二面角的余弦值为 15 5 解法二 由 知AE AD AP两两垂直 以 A 为坐标原点 建立如图所示的空间 直角坐标系 又 E F 分别为 BC PC 的中点 所以 E F 分别为 BC PC 的中点 所以 A 0 0 0 B 1 0 C C 1 0 3 D 0 2 0 P 0 0 2 E 0 0 F 3 3 1 1 22 所以 3 1 3 0 0 1 22 AEAF 设平面AEF的一法向量为 111 mx y z 则 因此 0 0 m AE m AF A A 1 111 30 31 0 22 x xyz 取 1 1 0 2 1 zm 则 因为 BD AC BD PA PA AC A 所以 BD 平面AFC 故 为平面AFC的一法向量 BD 又 BD 3 3 0 所以 cos m BD 2 315 5 512 m BD mBD A A 5 因为 二面角E AF C为锐角 所以所求二面角的余弦值为 15 5 2 2009 山东卷理 本小题满分 12 分 如图 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 底面 ABCD 为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F 分别是棱 AD AA1 AB 的中点 1 证明 直线 EE1 平面 FCC1 2 求二面角 B FC1 C 的余弦值 解法一 1 在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 取 A1B1的中点 F1 连接 A1D C1F1 CF1 因为 AB 4 CD 2 且 AB CD 所以 CDA1F1 A1F1CD 为平行四边形 所以 CF1 A1D 又因为 E E1分别是棱 AD AA1的中点 所以 EE1 A1D 所以 CF1 EE1 又因为 1 EE 平面 FCC1 1 CF 平面 FCC1 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 取 CF 的 中点 O 则 OB CF 又因为直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中 CC1 平面 ABCD 所以 CC1 BO 所以 OB 平面 CC1F 过 O在平面 CC1F 内作 OP C1F 垂足为 P 连接 BP 则 OPB 为二面角 B FC1 C 的一个平面角 在 BCF 为正三角形中 3OB 在 Rt CC1F 中 OPF CC1F 11 OPOF CCC F 22 12 2 2 22 OP 在 Rt OPF 中 22 114 3 22 BPOPOB 2 7 2 cos 714 2 OP OPB BP 所 以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 解法二 1 因为 AB 4 BC CD 2 F 是棱 AB 的中点 所以 BF BC CF BCF 为正三角形 因为 ABCD 为 E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 6 等腰梯形 所以 BAC ABC 60 取 AF 的中点 M 连接 DM 则 DM AB 所以 DM CD 以 DM 为 x 轴 DC 为 y 轴 DD1为 z 轴建立空间直角坐标系 则 D 0 0 0 A 3 1 0 F 3 1 0 C 0 2 0 C1 0 2 2 E 3 2 1 2 0 E1 3 1 1 所以 1 31 1 22 EE 3 1 0 CF 1 0 0 2 CC 1 3 1 2 FC 设平面 CC1F的法向量为 nx y z 则 1 0 0 n CF n CC 所以 30 0 xy z 取 1 3 0 n 则 1 31 131 00 22 n EE 所 以 1 nEE 所以直线 EE1 平面 FCC1 2 0 2 0 FB 设平面 BFC1的法向量为 1111 nx y z 则 1 11 0 0 n FB n FC 所以 1 111 0 320 y xyz 取 1 2 0 3 n 则 1 2 130032n n 2 1 3 2n 22 1 20 3 7n 所以 1 1 1 27 cos 7 27 n n n n n n 由图可知二面角 B FC1 C 为锐角 所以二面角 B FC1 C 的余弦值为 7 7 命题立意 本题主要考查直棱柱的概念 线面位置关系的判定和二面角的计算 考查空 间想象能力和推理运算能力 以及应用向量知识解答问题的能力 3 3 20102010 山东文数 山东文数 20 本小题满分 12 分 在如图所示的几何体中 四边形ABCD是正方形 MA 平面ABCD PDMA E G F分别为 MB PB PC的中点 且2ADPDMA I 求证 平面EFG 平面PDC II 求三棱锥PMAB 与四棱锥PABCD 的体积 之比 7 4 4 20102010 山东理数 山东理数 19 本小题满分 12 分 如图 在五棱锥P ABCDE中 PA 平面 ABCDE AB CD AC ED AE BC ABC 45 AB 22 BC 2AE 4 三角形PAB是等腰三角形 求证 平面PCD 平面PAC 求直线PB与平面PCD所成角的大小 求四棱锥P ACDE的体积 解析 证明 因为 ABC 45 AB 22 BC 4 所以在ABC 中 由余弦定理 得 222 AC 2 2 4 2 2 24cos45 8 解得AC 2 2 所以 222 AB AC 8 8 16 BC 即ABAC 又PA 平面ABCDE 所以PA AB 又 PAACA 所以ABAC 平面P 又AB CD 所以ACCD 平面P 又因为 CDCD 平面P 所以平面PCD 平面PAC 8 由 知平面PCD 平面PAC 所以在平面PAC内 过点 A 作AHC P于 H 则 AHCD 平面P 又AB CD AB 平面CDP内 所以AB平行于平面CDP 所以点 A 到平面CDP的距离等于点 B 到平面CDP的距离 过点 B 作 BO 平面CDP于点 O 则 PBO 为所求角 且AH BO 又容易求得AH 2 所以 1 sinPBO 2 即PBO 30 所以直线PB与平面PCD所成角的大小为30 由 知ACCD 平面P 所以ACCD 又AC ED 所以四边形 ACDE 是直 角梯形 又容易求得DE2 AC 2 2 所以四边形 ACDE 的面积为 1 22 223 2 所以四棱锥P ACDE的体积为 1 2 23 3 2 2 5 2011 山东理数 19 在如图所示的几何体中 四边形 ABCD 为平行四边形 ACB 90 平面 EF 若 是线段 的中点 求证 平面 若 求二面角 的大小 答案 I 证法一 因为 EF AB FG BC EG AC 90ACB 所以 90 EGFABC EFG 由于 AB 2EF 因此 BC 2FC 连接 AF 由于 FG BC 1 2 FGBC 在中 M 是线段 AD 的中点 ABCDA 则 AM BC 且 1 2 AMBC 因此 FG AM 且 FG AM 所以四边形 AFGM 为平行四边形 因此 GM FA 又平面 ABFE 平面 ABFE FA GM 所以 GM 平面 AB 证法二 因为 EF AB FG BC EG AC 90ACB 所以 90 EGFABC EFG 由于 AB 2EF 因此 BC 2FC 取 BC 的中点 N 连接 GN 9 因此四边形 BNGF 为平行四边形 所以 GN FB 在中 M 是线段 AD 的中点 连接 MN ABCDA 则 MN AB 因为 MNGNN 所以平面 GMN 平面 ABFE 又平面 GMN GM 所以 GM 平面 ABFE II 解法一 因为 90 ACB 所以C AD 90 又平面 ABCD EA 所以 AC AD AE 两两垂直 分别以 AC AD AE 所在直线为 x 轴 y 轴和 z 轴 建立如图所法的空间直角坐标系 不妨设22 ACBCAE 则由题意得 A 0 0 0 B 2 2 0 C 2 0 0 E 0 0 1 所以 2 2 0 0 2 0 ABBC 又 1 2 EFAB 所以 1 1 1 1 1 1 FBF 设平面 BFC 的法向量为 111 mx y z 则0 0 m BCm BF 所以取 1 11 0 y xz 11 11 zx 得 所以 1 0 1 m 设平面 ABF 的法向量为 222 nxyz 则0 0 n ABn BF 所以 22 22 2 1 1 0 xy yx z 取得 则 1 1 0 n 所以 1 cos 2 m n m n mn 10 因此二面角 A BF C 的大小为60 解法二 由题意知 平面平面 ABCD ABFE 取 AB 的中点 H 连接 CH 因为 AC BC 所以 CHAB 则平面 ABFE CH 过 H 向 BF 引垂线交 BF 于 R 连接 CR 则 CRBF 所以为二面角 A BF C 的平面角 HRC 由题意 不妨设 AC BC 2AE 2 在直角梯形 ABFE 中 连接 FH 则 又FHAB 2 2 AB 所以1 2 HFAEBH 因此在中 Rt BHF 6 3 HR 由于 1 2 2 CHAB 所以在中 Rt CHR 2 tan3 6 3 HRC 因此二面角 A BF C 的大小为60 6 2011 山东文数 19 如图 在四棱台 1111 ABCDABC D 中 1 D D 平面ABCD 底 面ABCD是平行四边形 AB 2AD 11 AD A B BAD 60 证明 1 AABD 证明 11 CCA BD 平面 答案 I 证法一 因为平面 ABCD 且平面 ABCD 1 D D BD 所以 1 D DBD 又因为 AB 2AD 60BAD 在中 由余弦定理得ABD 2222 2cos603BDADABAD ABAD 所以 222 ADBDAB 11 因此 ADBD 又 1 ADD DD 所以 11 BDADD A 平面 又平面 ADD1A1 1 AA 故 1 AABD 证法二 因为平面 ABCD 且平面 ABCD 1 D D BD 所以 1 BDD D 取 AB 的中点 G 连接 DG 在中 由 AB 2AD 得 AG AD ABD 又 所以为等边三角形 60BAD ADG 因此 GD GB 故 DBGGDB 又60AGD 1 DD 所以G D B 30 故AD B AD G G D B 60 30 90 所以BDAD 又AD D 所以平面 ADD1A1 BD 又平面 ADD1A1 1 AA 故 1 AABD II 连接 AC A1C1 设 连接 EA1ACBDE 因为四边形 ABCD 为平行四边形 所以 1 2 ECAC 由棱台定义及 AB 2AD 2A1B1知 A1C1 EC 且 A1C1 EC 所以边四形 A1ECC1为平行四边形 因此 CC1 EA1 又因为 EA平面 A1BD 平面 A1BD 1 1 CC 所以 CC1 平面 A1BD 7 2012 山东卷文 19 本小题满分 12 分 12 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M为线段AE的中点 120BCD 求证 平面 DMBEC 19 19 I 设中点为O 连接OC OE 则由知 BDBCCD COBD 又已知 所以平面OCE CEBD BD 所以 即OE是BD的垂直平分线 BDOE 所以 BEDE II 取AB中点N 连接 MN DN M是AE的中点 MNBE 是等边三角形 ABDDNAB 由 BCD 120 知 CBD 30 所以 ABC 60 30 90 即 BCAB 所以ND BC 所以平面MND 平面BEC 故DM 平面BEC 8 2 013 山东理 18 本小题满分 12 分 如图所示 在三棱锥 PABQ 中 PB 平 面 ABQ BABPBQ D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中点 2AQBD PD与 EQ交于点G PC与 FQ交于点H 连接GH 求证 AB GHA 求二面角D GHE 的余弦值 13 答案 18 解 证明 因为 D C E F 分别是 AQ BQ AP BP 的中点 所以EF AB DC AB 所以EF DC 又EF 平面PCD DC 平