（新课程）高中数学《1.1.3导数的几何意义》教案 新人教A版选修2-2

1 1 1 3 1 1 3 导数的几何意义导数的几何意义 教学目标 1 了解平均变化率与割线斜率之间的关系 2 理解曲线的切线的概念 3 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义 并会用导数的几何意义解题 教学重点 曲线的切线的概念 切线的斜率 导数的几何意义 教学难点 导数的几何意义 教学过程 一 创设情景 一 平均变化率 割线的斜率 二 瞬时速度 导数 我们知道 导数表示函数y f x 在x x0处的瞬时变化率 反映了函数y f x 在x x0 附近的变化情况 导数的几何意义是什么呢 0 fx 二 新课讲授 一 曲线的切线及切线的斜率 一 曲线的切线及切线的斜率 如图 3 1 2 当沿着曲线 1 2 3 4 nnn P xf xn 趋近于点时 割线的变化趋势是什么 f x 00 P xf x n PP 我们发现 当点沿着曲线无限接近点P即 x 0 时 割线趋近于确定的位置 这 n P n PP 个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线切线 图 3 1 2 2 问题 问题 割线的斜率与切线PT的斜率有什么关系 n PP n kk 切线PT的斜率为多少 k 容易知道 割线的斜率是 当点沿着曲线无限接近点P时 n PP 0 0 n n n f xf x k xx n P 无限趋近于切线PT的斜率 即 n kk 00 0 0 lim x f xxf x kfx x 说明 说明 1 1 设切线的倾斜角为 那么当 x 0 时 割线 PQ 的斜率 称为曲线在点P处的 切线的斜率 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数在处的导数 0 xx 2 2 曲线在某点处的切线 1 与该点的位置有关 2 要根据割线是否有极限位置来判断 与求解 如有极限 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线 的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 二 导数的几何意义 二 导数的几何意义 函数函数y y f f x x 在在x x x x0 0处的导数等于在该点处的导数等于在该点处的切线的斜率 处的切线的斜率 00 xf x 即 00 0 0 lim x f xxf x fxk x 说明 求曲线在某点处的切线方程的基本步骤求曲线在某点处的切线方程的基本步骤 求出P点的坐标 求出函数在点处的变化率 得到曲线在点 0 x 00 0 0 lim x f xxf x fxk x 的切线的斜率 00 xf x 利用点斜式求切线方程 二 导函数 二 导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当时 是一个确定的数 那么 0 fx 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 记作 或 fx y 即 0 lim x f xxf x fxy x 注 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 三 函数 三 函数在点在点处的导数处的导数 导函数 导函数 导数 导数 之间的区别与联系 之间的区别与联系 f x 0 x 0 fx fx 1 函数在一点处的导数 就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极 0 fx 限 它是一个常数 不是变数 2 函数的导数 是指某一区间内任意点x而言的 就是函数 f x 的导函数 3 函数在点处的导数就是导函数在处的函数值 这也是 求 f x 0 x 0 fx fx 0 xx 3 函数在点处的导数的方法之一 0 x 三 典例分析 例例 1 1 1 1 求曲线y f x x2 1 在点P 1 2 处的切线方程 2 求函数y 3x2在点处的导数 1 3 解 解 1 1 222 1 00 1 1 11 2 limlim2 x xx xxx y xx 所以 所求切线的斜率为 2 因此 所求的切线方程为即22 1 yx 20 xy 2 2 因为 2222 1 111 33 13 1 limlimlim3 1 6 11 x xxx xx yx xx 所以 所求切线的斜率为 6 因此 所求的切线方程为即36 1 yx 630 xy 2 求函数f x 在附近的平均变化率 并求出在该点处的导数 xx 2 1x 解 x x xx x y 3 2 1 1 2 2 00 1 1 2 1 limlim 3 3 xx yxx fx xx AA 例 2 课本例 2 如图 3 1 3 它表示跳水运动中高度随时间变化的函数 根据图像 请描述 比较曲线 2 4 96 510h xxx 在 附近的变化情况 h t 0 t 1 t 2 t 解 我们用曲线在 处的切线 刻画曲线在上 h t 0 t 1 t 2 t h t 述三个时刻附近的变化情况 1 当时 曲线在处的切线平行于轴 所以 0 tt h t 0 t 0 lx 在附近曲线比较平坦 几乎没有升降 0 tt 2 当时 曲线在处的切线的斜率 1 tt h t 1 t 1 l 1 0h t 所以 在附近曲线下降 即函数在附近单调 1 tt 2 4 96 510h xxx 1 tt 递减 3 当时 曲线在处的切线的斜率 所以 在附近曲线 2 tt h t 2 t 2 l 2 0h t 2 tt 4 下降 即函数在附近单调递减 2 4 96 510h xxx 2 tt 从图 3 1 3 可以看出 直线的倾斜程度小于直线的倾斜程度 这说明曲线在附近 1 l 2 l 1 t 比在附近下降的缓慢 2 t 例 3 课本例 3 如图 3 1 4 它表示人体血管中药物浓度 单位 随 cf t mg mL 时间 单位 变化的图象 根据图像 估计时 血管中药物tmin0 2 0 4 0 6 0 8t 浓度的瞬时变化率 精确到 0 1 解 血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率 就是药物浓度在此时刻的导数 从图 f t 像上看 它表示曲线在此点处的切线的斜率 f t 如图 3 1 4 画出曲线上某点处的切线 利用网格估计这条切线的斜率 可以得到此时刻 药物浓度瞬时变化率的近似值 作处的切线 并在切线上去两点 如 则它的斜率为 0 8t 0 7 0 91 1 0 0 48 0 480 91 1 4 1 00 7 k 所以 0 8 1 4 f 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估